Bài 1: Mệnh đề toán học

Một mệnh đề toán học là một phát biểu chỉ lấy một trong hai giá trị đúng hoặc sai. Tính đúng sai của mệnh đề toán học gọi là chân trị (giá trị chân lý) của mệnh đề. Một mệnh đề toán học được ký hiệu là p, q, r...

Ví dụ:

• “Mặt trời mọc ở hướng tây” là một mệnh đề toán học.
• “Công ty A kinh doanh rất hiệu quả” không phải là một mệnh đề toán học.
• “Sản phẩm của hãng B rất được ưa chuộng” không phải là một mệnh đề toán học.
• “Với mọi \(a,b \in R\) ta có \({(a + b)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2}\) ” là một mệnh đề toán học đúng.

Hai mệnh đề p và q được gọi là tương đương với nhau nếu chúng có cùng chân trị. Ký hiệu: p ⇔ q

Giao của hai mệnh đề p và q, ký hiệu là \(p \wedge q\) (đọc là “ p và q ”) là một mệnh đề mà chỉ đúng khi p và q cùng đúng.

Ví dụ:

\(p:x > 3,q:x \le 7\)

\(p \wedge q:(x > 3) \wedge (x \le 7) \Leftrightarrow 3 < x \le 7\)

Ta có: \((i)\,p \wedge p \Leftrightarrow p\)

\((ii)\,p \wedge q \Leftrightarrow q \wedge p\)

\((iii)\,p \wedge (q \wedge r) \Leftrightarrow (p \wedge q) \wedge r\)

(iv) Nếu q là một mệnh đề đúng thì: \(p \wedge q \Leftrightarrow p\)

Hợp của hai mệnh đề p và q, ký hiệu là \(p \vee q\)(đọc là “ p hay q”), là một mệnh đề mà chỉ sai khi p, q cùng sai.

Ví dụ:

\(\begin{array}{l} p:{x^2} + 2x - 8 = 0,q:{x^2} = 1\\ p \vee q:{x^2} + 2x - 8 = 0 \vee {x^2} = 1 \end{array}\)

Ta có: 

\(\begin{array}{l} (i)\,p \vee p \Leftrightarrow p\\ (ii)\,p \vee q \Leftrightarrow q \vee p\\ (iii)\,(p \vee q) \vee r \Leftrightarrow p \vee (q \vee r) \end{array}\)

(iv) Nếu q là một mệnh đề toán học sai thì: \(p \vee q \Leftrightarrow p\)

Ví dụ:

\(\begin{array}{l} {x^3} + {x^2} - 2 = 0 \vee {x^2} < 0 \Leftrightarrow {x^3} + {x^2} - 2 = 0\\ {x^2} - x - 2 \le 0 \wedge {x^2} \ge 0 \Leftrightarrow {x^2} - x - 2 \le 0 \end{array}\)

Tính chất:

\(\begin{array}{l} (i)\,\,p \wedge (q \vee r) \Leftrightarrow (p \wedge q) \vee (p \wedge r)\\ (ii)\,\,p \vee (q \wedge r) \Leftrightarrow (p \vee q) \wedge (p \vee r) \end{array}\)

Ví dụ:

\(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x \le 5\\ x < 1 \vee 2 < x \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \le 5\\ x < 1 \end{array} \right. \vee \left\{ \begin{array}{l} x \le 5\\ 2 < x \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow x < 1 \vee 2 < x \le 5 \end{array}\)

 Cho hai mệnh đề p, q. Mệnh đề “nếu p thì q” hay “p suy ra q" ký hiệu“p ⇔ q là một mệnh đề chỉ sai khi p đúng q sai.

Ví dụ:

p : mặt trời mọc ở hướng tây

q : tôi là tổng thống

p ⇒ q : nếu mặt trời mọc ở hướng tây thì tôi là tổng thống (mệnh đề này đúng vì p sai)

Ví dụ:

\(\begin{array}{l} p:1 < x < 2\\ \sim p:x \le 1 \vee 2 \le x\\ p:{A^2} < 0, \sim p:{A^2} \ge 0 \end{array}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l} (i) \sim ( \sim p) \Leftrightarrow p\\ (ii)\, \sim (p \wedge q) \Leftrightarrow \sim p\, \vee \sim q\\ (iii) \sim (p \vee q) \Leftrightarrow \sim p\,\, \wedge \sim q\\ (iv)\,\, \sim (p \Rightarrow q) \Leftrightarrow p\, \wedge \sim q\\ (v)p \Rightarrow q \Leftrightarrow \, \sim p \vee q \end{array}\)

Chú ý: Các tính chất ở phần trên có thể chứng minh bằng cách dùng bảng chân trị.

Ví dụ: Chứng minh: \( \sim (p \Rightarrow q) \Leftrightarrow p \wedge \sim q\)

Giải:

Mệnh đề “mọi x , x có tính chất p” được ký hiệu là “ \(\forall x\) , p”. Phủ định của nó là “\(\exists x, \sim p\)”, đọc là “tồn tại x mà x không có tính chất p”.

Ví dụ: Phủ định của mệnh đề “\(\forall a,b{(a + b)^2} = {a^2} + {b^2}\)” là mệnh đề “\(\exists a,b{(a + b)^2} \ne {a^2} + {b^2}\)”.

Mệnh đề “tồn tại x, x có tính chất p” ký hiệu “\(\exists x,p\)" và phủ định của nó là: “\(\forall x, \sim p\)” đọc là “mọi x, x không có tính chất p”.

Ví dụ: Phủ định của mệnh đề “\(\exists x,{x^2} < 0\) ” là mệnh đề “\(\forall x,{x^2} \ge 0\)”.