Bài 2: Phương trình vi phân cấp II

Phương trình vi phân cấp hai là phương trình có dạng $G(x,y,y{y}^{\prime },y^{″})=0(\ast )$ hoặc $y^{″}=f(x,y,y^{\prime })$

• Nghiệm tổng quát của (*) có dạng $y=\phi (x,C_1,C_2)$, cho $(C_1,C_2)$ một giá trị cụ thể ta có một nghiệm riêng.
• Thường ta tìm được nghiệm của phương trình (*) dưới dạng $F(x,y,C_1,C_2)=0$ cho ta mối liên hệ giữa biến độc lập và nghiệm tổng quát của phương trình vi phân cấp hai được gọi là phương trình tổng quát của nó.

i. Phương trình có vế phải không phụ thuộc y, y' có dạng:  $y^{″}=f(x)$

$\Rightarrow y^{″}=\int f(x)dx+C_1\Rightarrow y=\int \left[\int f(x)dx\right]dx+C_{1}x+C_2,C_1,C_2\in R$

Ví dụ: Tìm nghiệm tổng quát và nghiệm riêng của phương trình $y^{″}=cos2x$ thỏa (D): $y(0)=0,y^{\prime }(0)=1$

Giải

$y^{\prime }=\int \cos 2xdx+C_1=\frac{1}{2}\sin 2x+C_1$

$\Rightarrow y=\int \left(\frac{1}{2}\sin 2x+C_1\right)dx=-\frac{1}{4}\cos 2x+C_{1}x+C_2$

Vậy $y=-\frac{1}{4}\cos 2x+C_{1}x+C_2$là nghiệm tổng quát

Vì $\{\begin{array}{l}y(0)=0\\ y^{\prime }(0)=1\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}-\frac{1}{4}+C_2=0\\ 0+C_1=1\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{C}_1=1\\ C_2=\frac{1}{4}\end{array}$

Nên nghiêm riêng thỏa (D) là: $y=-\frac{1}{4}\cos 2x+x+\frac{1}{4}$

ii. Phương trình có vế phải không chứa y dạng: $y^{″}=f(x,y^{\prime })$

Đặt $y^{\prime }=u,y^{″}=u^{\prime }$ phương trình thành $u^{\prime }=f(x,u)$ Đây là phương trình cấp 1.

Ví dụ: Giải phương trình:   $y^{″}=x-\frac{y^{\prime }}{x}$    (1)

Giải: Đặt y' = u ⇒ y" = u'. Khi đó (1) thành

$u^{\prime }=x-\frac{u}{x}\iff u^{\prime }+\frac{u}{x}=x$

Đây là phương trình tuyến tính cấp 1 có nghiệm là:

$u=\frac{x^2}{3}+\frac{C_1}{x}hay{y}^{\prime }=\frac{x^2}{3}+\frac{C_1}{x}$

Vậy nghiệm tổng quát là:

$y=\int \left(\frac{x^2}{3}+\frac{C_1}{x}\right)=\frac{x^2}{9}+C_1\ln \left|x\right|+C_2$

iii. Phương trình có vế phải không chứa x dạng: $y^{″}=f(y,y^{\prime })$

Đặt y' = u, xem u là hàm của y lấy đạo hàm hai vế theo x, ta có:

$u^{\prime }=y^{″}=\frac{du}{dx}=\frac{du}{dy}\frac{dy}{dx}=u\frac{du}{dy}$

Khi đó phương trình thành: $u\frac{du}{dy}=f(y,u)$.

Đây là phương trình vi phân cấp 1 với u là hàm và y là biến độc lập. Nếu phương trình này giải được, ta có:

$u=\phi (y,C_1)hay\frac{dy}{dx}=\phi (y,C_1)haydy=\phi (y,C_1)dx$

Ví dụ: Giải phương trình: $2y{y}^{″}+(y^{\prime }{)}^2=0$.

Giải: Đặt  $y^{\prime }=u\Rightarrow y^{″}=u\frac{du}{dy}$, phương trình thành:

$2yu\frac{du}{dy}+u^2=0$

$\iff u=0(hayy=c)(\ast \ast )hay\frac{du}{u}=-\frac{dy}{2y}$

Ta có

$\frac{du}{u}=-\frac{dy}{2y}\iff 2\ln \left|u\right|=\ln \frac{c}{\left|y\right|},c>0$

$\iff u=\frac{C_1}{\sqrt{\left|y\right|}},C_1=\pm c\ne 0\iff \frac{dy}{dx}=\frac{C_1}{\sqrt{\left|y\right|}},C_1\ne 0$

$\iff y={\left(hx+k\right)}^{\frac{2}{3}},h,k\in R,h\ne 0$

Nếu cho h = 0 ⇒ họ nghiệm (**)

⇒ nghiệm tổng quát là $y={\left(hx+k\right)}^{\frac{2}{3}},h,k\in R$

 Định nghĩa: Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 là phương trình có dạng: $y^{″}+a_1{y}^{\prime }+a_{2}y=f(x)(a)$hay $y^{″}+a(x)y^{\prime }+b(x)y=c(x)$

• Nếu f(x) = 0 thì (a) được gọi là phương trình tuyến tính thuần nhất.
• Nếu $a_1,a_2$ là hàng số thì (a) gọi là phương trình tuyến tính có hệ số không đổi (hệ số hàng)

Phương trình tuyến tính cấp hai thuần nhất: $y^{″}+a_1(x)y^{\prime }+a_2(x)y=0(b)$

Ta có các kết quả:

i. Tính chất 1: Nếu $y_1(x)$ và $y_2(x)$ là hai nghiệm của (b) thì $y=C_1{y}_1(x)+C_2{y}_2\left(x\right)$là nghiệm của (b) (với $C_1,C_2\in R$)

Định nghĩa: Các hàm số $y_1(x)$ và $y_2(x)$ được gọi là độc lập tuyến tính trên D nếu tỉ số của chúng không phải là hàng số: $\frac{y_1(x)}{y_2(x)}\ne cons\tan t$. Nói cách khác, không tồn tại $c\in R$ sao cho $y_1(x)=c.y_2(x)hay{y}_2(x)=c.y_1(x),\mathrm{\forall }x\in D$. Ngược lại, ta nói chúng phụ thuộc tuyến tính.

Ví dụ:

• Các hàm $y_1=4x,y_2=e^x$ độc lập tuyến tính trên R
• Các hàm $y_1=2x^2+2,y_2=x^2+1$ là phụ thuộc tuyến tính trênR.

ii. Tính chất 2: Nếu $y_1(x),y_2(x)$ là 2 nghiệm độc lập tuyến tính của (b) thì $y=C_1{y}_1(x)+C_2{y}_2(x)$ (trong đó $C_1,C_2$ là 2 hàng số tùy ý) là nghiệm tổng quát của (b).

iii. Tính chất 3: Nếu biết một nghiệm riêng $y_2(x)$ của (b) thì có thể tìm được một nghiệm riêng $y_2(x)$ của (b) với $y_1(x),y_2(x)$ độc lập tuyến tính bàng cách đặt

$y_2=y_1(x)u(x)$

Ví dụ: Tìm nghiệm tổng quát của $y^{″}+\frac{2x}{1-x^2}{y}^{\prime }-\frac{2x}{1-x^2}y=0$ biết một nghiệm riêng y₁ = x.

Giải: Ta tìm một nghiệm $y_2=x.u(x)$, thay $y_2$ vào phương trình đã cho ta có:

$(2u^{\prime }+x{u}^{″})+\frac{2x}{1-x^2}(u+x{u}^{\prime })-\frac{2ux}{1-x^2}=0$

$\iff u^{″}x(1-x^2)+2u^{\prime }=0$

Đặt $z=u^{\prime }\Rightarrow z^{\prime }x(1-x^2)+2z=0$với $z\ne 0$ phương trình thành $\frac{dz}{z}=-\frac{2dx}{x(1-x^2)}\Rightarrow z=\frac{C_1(1-x^2)}{x^2},C_1\ne 0$

Cho $C_1=-1$,ta được: $z=\frac{x^2-1}{x^2}=1-\frac{1}{x^2}$hay $\frac{du}{dx}=1-\frac{1}{x^2}\Rightarrow u=x+\frac{1}{x}+C_2$

Chọn $C_2=0\Rightarrow u=x+\frac{1}{x}\Rightarrow y_2=x(x+\frac{1}{x})=x^2+1$

⇒ nghiệm tổng quát là $y=k_{1}x+k_2(x^2+1)$ với k₁, k₂ là hàng số tùy ý.

Phương trình tuyến tính cấp hai không thuần nhất

Cho phương trình không thuần nhất (a) (ở trên) với $f(x)\ne 0$ phương trình $y^{″}+a_1{y}^{\prime }+a_{2}y=0$ (a') được gọi là phương trình thuần nhất tương ứng (liên kết) với (a).

• Tính chất 1: nghiệm tổng quát của (a) là tổng của nghiệm tổng quát của(a') với một nghiệm riêng nào đó của (a).
• Tính chất 2 (nguyên lý chồng chất nghiệm): cho phương trình không thuần nhất nếu $y^{″}+a_1{y}^{\prime }+a_{2}y=f_1(x)+f_2(x)$ là nghiệm riêng của $y^{″}+a_1{y}^{\prime }+a_{2}y=f_1(x)$ và y₂ là nghiệm riêng của $y^{″}+a_1{y}^{\prime }+a_{2}y=f_2(x)$ thì y₁ - y₂ là nghiệm riêng của (c) (định lý vẫn đúng khi vế phải bằng f₁ + f₂ +... +f_n)
• Phương pháp biến thicn hằng số Lagrange: Giả sử cho phương trình tuyến tính không thuần nhất (a) (như trên) và giả sử biết nghiệm của phương trình thuần nhất (a') là: $y=C_1{y}_1+C_2{y}_2$(*). Hãy tìm nghiệm của (a).

Ta sẽ tìm nghiệm tổng quát của (a) dưới dạng  $y=C_1{y}_1+C_2{y}_2$  trong đó C₁,C₂ là các hàm theo x

$(\ast )\Rightarrow y^{\prime }=C_{1}y{}_1^{\prime }+C_{2}y{}_2^{\prime }+C{}_1^{\prime }{y}_1+C{}_2^{\prime }{y}_2$

Ta chọn C₁,C₂ sao cho: $C{}_1^{\prime }{y}_1+C{}_2^{\prime }{y}_2=0$

$\Rightarrow y^{\prime }=C_{1}y{}_1^{\prime }+C_{2}y{}_2^{\prime }\Rightarrow C_1{y}^{\prime }{}_1^{\prime }+C_2{y}^{\prime }{}_2^{\prime }+C{}_1^{\prime }y{}_1^{\prime }+C{}_2^{\prime }y{}_2^{\prime }$

Thế y, y', y'' vào (a) ta có:

$C_1(y^{\prime }{}_1^{\prime }+a_{1}y{}_1^{\prime }+a_2{y}_1)+C_2(y^{\prime }{}_2^{\prime }+a_{1}y{}_2^{\prime }+a_2{y}_2)+{C_1}^{\prime }y{}_1^{\prime }+{C_2}^{\prime }y{}_2^{\prime }=f(x)$

Vì y₁, y₂ là nghiệm của (a') nên các biểu thức trong ngoặc bằng $\Rightarrow {C_1}^{\prime }y{}_1^{\prime }+{C_2}^{\prime }y{}_2^{\prime }=f(x)$

Suy ra $y=C_{1}y{}_1+C_{2}y{}_2$ là nghiệm của (a) nếu $C_1,C_2$ là nghiệm của

$(\ast \ast )\{\begin{array}{l}{C_1}^{\prime }{y}_1+{C_2}^{\prime }{y}_2=0\\ {C_1}^{\prime }y{}_1^{\prime }+{C_2}^{\prime }y{}_2^{\prime }=f(x)\end{array}\iff \left(\begin{array}{cc}{y}_1& y_2\\ y{}_1^{\prime }& y{}_2^{\prime }\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}C{}_1^{\prime }\\ C{}_2^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ f\end{array}\right)$

Nếu y₁, y₂ độc lập tuyến tính thì $\left|\begin{array}{cc}{y}_1& y_2\\ y{}_1^{\prime }& y{}_2^{\prime }\end{array}\right|\ne 0$ và (**) có nghiệm $C{}_1^{\prime }={\phi }_1(x),C{}_2^{\prime }={\phi }_2(x),\Rightarrow \{\begin{array}{l}{C}_1=\int {\phi }_1(x)dx+k_1\\ C_2=\int {\phi }_2(x)dx+k_2\end{array}$

Thay C₁, C₂ vào (*) ta có nghiệm tổng quát của phương trình (a) là: $y=k_1{y}_1+k_2{y}_2+y_1\int {\phi }_1(x)dx+y_2\int {\phi }_2(x)dx$

Cho k₁ = k₂ = 0 ta được một nghiệm riêng của (a).

Ví dụ: Tìm nghiệm tổng quát của $y^{″}-\frac{y^{\prime }}{x}=x$

Giải: Nghiệm của phương trình thuần nhất tương ứng

$y^{″}-\frac{y^{\prime }}{x}=0\iff \frac{y^{″}}{y^{\prime }}=\frac{1}{x}\iff \ln \left|y^{\prime }\right|=\ln \left|k.x\right|\iff y^{\prime }=C.x$

Biểu thức: $y=C_1(x).x^2+C_2(x)$ là nghiệm của phương trình nếu C₁, C₂ là nghiệm của 

$\{\begin{array}{l}C{}_1^{\prime }{x}^2+C{}_2^{\prime }.1=x\\ 2C{}_1^{\prime }x+C{}_2^{\prime }.0=x\end{array}\iff \{\begin{array}{l}C{}_1^{\prime }=\frac{1}{2}\\ C{}_2^{\prime }=-\frac{1}{2}{x}^2\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{C}_1=\frac{1}{2}x+k_1\\ C_2=-\frac{x^3}{6}+k_2\end{array}$

Nghiệm tổng quát là:

$y=\left(\frac{x}{2}+k_1\right)x^2+\left(\frac{-x^3}{6}+k_2\right)=\frac{x^3}{3}+k_1{x}^2+k_2$

Phương trình tuyến tính thuần nhất: $a_2{y}^{″}+a_1{y}^{\prime }+a_{0}y=0$

với a₀, a₁, a₂ là các hằng số và $a_2\ne 0$

phương trình trên tương đương: $y^{″}+{\alpha }_1{y}^{\prime }+{\alpha }_{0}y=0$ với ${\alpha }_1=\frac{a_1}{a_2},{\alpha }_0=\frac{a_0}{a_2}$

Ta cần tìm 2 nghiệm riêng độc lập tuyến tính của (iv).

Ta tìm nghiệm riêng của (iv) dưới dạng y = e^kx với k; cần xác định.

Phương trình này được gọi là phương trình đạc trưng của (iv). Phương trình (v) có 2 nghiệm k₁ k₂. Ta có trường hợp sau:

• $k_1,k_2\in R$ và $k_1\ne k_2\Rightarrow 2$ nghiệm riêng của (iv) là $y_1=e^{k_{1}x},y_2=e^{k_{2}x}$

Ví dụ: Giải phương trình: $y^{″}-7y^{\prime }+10y=0$

Giải: Phương trình đặc trưng là: 

$k^2-7k+10=0\iff k=2hayk=5$

Nghiệm tổng quát là $y=C_1{e}^{2x}+C_2{e}^{5x}$

$k_1=k_2\in R$. Khi đó 1 nghiệm riêng của (iv) là $y_1=e^{k_{1}x}$

Ta tìm nghiệm riêng y₂ độc lập tuyến tính với y₁ dưới dạng:

$\begin{array}{l}{y}_2=y_{1}u(x)=u(x)e^{k_{1}x}\\ \\ \Rightarrow y{}_2^{\prime }=u^{\prime }{e}^{k_{1}x}+k_{1}u{e}^{k_{1}x},y^{\prime }{}_2^{\prime }=u^{″}{e}^{k_{1}x}+2k_2{u}^{\prime }{e}^{k_{1}x}+k_1^{2}u{e}^{k_{1}x}\end{array}$

Thế vào (iv) ta có:

$e^{k_{1}x}\left[u^{″}+(2k_1+a_1)u^{\prime }+(k_1^2+a_1{k}_1+a_0)u\right]=0$

$\Rightarrow e^{k_{1}x}{u}^{″}=0\Rightarrow u^{″}=0\Rightarrow u=Ax+B$

Chọn A = 1, B = 0 ta có $u=x\Rightarrow y_2=x{e}^{k_{1}x}$

⇒ nghiệm tổng quát là $y=C_1{e}^{k_{1}x}+C_2{e}^{k_{1}x}=(C_1+C_{2}x)e^{k_{1}x}$

Ví dụ 1: Giải $y^{″}+6y^{\prime }+9y=6e^{-3x}$

Giải: Phương trình đặc trưng

$k^2+6k=9=0\iff k=-3$(nghiệm kép)

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng là $\bar{y}=e^{-3x}(c_1+c_{2}x)$với $c_1,c_2\in R$

Do k = -3 là nghiệm kép của phương trình đặc trưng nên nghiệm riêng của (D) có dạng $y_1=a{x}^2.e^{-3x}$

$\{\begin{array}{l}y{}_1^{\prime }=-3e^{-3x}a{x}^2+e^{-3x}(2ax)\\ y^{\prime }{}_1^{\prime }=9e^{-3x}.a{x}^2+6e^{-3x}(2ax)+2a.e^{-3x}\end{array}$

Thế vào (D) và chia 2 vế cho $e^{-3x}$, ta có $2a=6\Rightarrow a=3$

Vậy một nghiệm của (D) là $y_1=3x^2.e^{-3x}$

Suy ra nghiệm tổng quát của (D) là

$y=y_1+\bar{y}=3x^2{e}^{-3x}+e^{-3x}(c_1+c_{2}x)$

hay $y=e^{-3x}(c_1+c_{2}x+3x^2)$

Ví dụ 2: 

$y^{″}-4y^{\prime }+4y=(x^2+2x+6)e^{2x}$có nghiệm riêng có dạng $y=x^2(a{x}^2+bx+c)e^{2x}$vì k = 2 là nghiệm kép của phương trình đặc trưng (ứng với $e^{2x}$)

Ví dụ 3: 

$y^{″}-6y^{\prime }+9y=(2x+1)e^{3x}$có nghiệm riêng có dạng $y=x(ax+b)e^{3x}$

Ví dụ 4: 

$y^{″}-6y^{\prime }+9y=6e^{3x}$có nghiệm riêng có dạng $y=a.x^2.e^{3x}$

$f(x)=e^{ax}\left[P_n(x)\cos bx+Q_m(x)\sin bx\right]$với a + ib không là nghiệm của phương trình đặc trưng. Khi đó (1) có một nghiệm riêng có dạng:

$y_1=e^{ax}\left[R(x)\cos bx+S(x)\sin bx\right]$

với R(x), S(x) là các đa thức có bậc $\le max\left\{\mathrm{n},m\right\}$

$f(x)=e^{ax}\left[P_n(x)\cos bx+Q_m(x)\sin bx\right]$với a + ib không là nghiệm của phương trình đặc trưng. Khi đó (1) có một nghiệm riêng có dạng:

$y_1=x{e}^{ax}\left[R(x)\cos bx+S(x)\sin bx\right]$

với R(x), S(x) là các đa thức có bậc $\le max\left\{\mathrm{n},m\right\}$

Ví dụ: Giải $y^{″}+y={\cos }^{3}x=\frac{3}{4}\cos x+\frac{1}{4}\cos 3x$(E)

Giải

Vì i là nghiệm của phương trình đặc trưng nên $y^{″}+y=\frac{3}{4}\cos x$(E1) có nghiệm riêng có dạng:

$y_1=x(acosx+bsinx)$

Suy ra 

$\begin{array}{l}y{}_1^{\prime }=a\mathrm{cosx}+bsinx+x(-a\sin x+b\mathrm{cosx})\\ \\ y^{\prime }{}_2^{\prime }=-2a\sin x+2b\mathrm{cosx}+x(-acosx-bsinx)\end{array}$

Thế vào (E1) ta có:

$2b\mathrm{cosx}-2a\sin x=\frac{3}{4}\cos x,\mathrm{\forall }x\iff b=\frac{3}{8}$và a = 0

Vậy một nghiệm riêng của (E1) là $y_1=\frac{3}{8}x.\mathrm{sinx}$

Vì 3i không là nghiệm của phương trình đặc trưng nên $y^{″}+y=\frac{1}{4}\cos 3x$(E2) có nghiệm riêng có dạng:

$y_2=ccos3x+dsin3x$

Suy ra: $y{}_2^{\prime }=3d\cos 3x-3c\sin 3x;y^{\prime }{}_2^{\prime }=-9c\cos 3x-9d\sin 3x$

Thế vào (E2) ta có:

$-8c.\cos 3x-8d\sin 3x=\frac{1}{4}\cos 3x,\mathrm{\forall }x\iff c=\frac{-1}{32},d=0$

Vậy một nghiệm riêng của (E2) là $y_2=\frac{-1}{32}\cos 3x$

Từ nghiệm riêng của (E1) và (E2) ta có một nghiệm riêng của (E) là $y_3=y_1+y_2=\frac{3}{8}x.\mathrm{sinx}-\frac{1}{3x}\cos 3x$

Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng với (E) là $\bar{y}=c_1\cos x+c_2\mathrm{sinx}$với $c_1,c_2\in R$

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (E) là 

$y=y_3+\bar{y}=\frac{3}{8}x.\mathrm{sinx}-\frac{1}{32}\cos 3x+c_1\cos x+c_2\mathrm{sinx}$với $c_1,c_2\in R$