Bài 1: Phương trình vi phân cấp I

1. Định nghĩa

2. Các phương trình vi phân cấp I thường gặp:

2.1 Phương trình có biến phân ly (có thể tách ra):

2.2 Phương trình đẳng cấp cấp 1

+ Khi $x\ne 0$, (5) thành

$\left(2\frac{y^2}{x^2}-2\frac{y}{x}+1\right)dx-\frac{y}{x}dy=0$ (5')

Đặt $u=\frac{y}{x}\Rightarrow y=u.x\Rightarrow dy=udx+xdu$

⇒ (5') thành $(2u^2-2u+1)dx-u(udx+xdu)=0$

$\iff (u-1{)}^{2}dx-uxdu=0$

$\begin{array}{l}\iff u=1hay\int \frac{dx}{x}-\int \frac{udu}{{(u-1)}^2}=0\\ \\ \iff u=1hay\int \frac{(u-1+1)du}{{(u-1)}^2}-\int \frac{dx}{x}=0\\ \\ \iff u=1hay\ln \left|\frac{u-1}{x}\right|-\frac{1}{u-1}=C,C\in R\end{array}$

Thay $u=\frac{y}{x}$, ta có:

$y=xhay\ln \left|\frac{y-x}{x^2}\right|-\frac{x}{y-x}=C,C\in R$

là nghiệm khi $x\ne 0$. Vậy nghiệm của (5) là:

$x=0hayy=xhay\ln \left|\frac{y-x}{x^2}\right|-\frac{x}{y-x}=C$

Ghi chú: Phương trình vi phân sau đây có thể đưa được về phương trình vi phân đẳng cấp cấp 1:

$y^{\prime }=f\left(\frac{ax+by+c}{a^{\prime }x+b^{\prime }y+c^{\prime }}\right)$

Ví dụ 1: Giải phương trình vi phân 

$(2x-4y+6)dx+(x+y-3)dy=0$

Đặt $u=x-1,v=y-2$

Ví dụ 2: Giải phương trình vi phân 

$(2x-4y+6)dx+(x+y-3)dy=0$

Đặt $z=x+2y$

là phương trình vi phân cố dạng: $y^{\prime }+p(x).y=q(x)$  (6)

trong đó p(x), q(x) là các hàm số liên tục.

i). Nếu $q\left(x\right)\equiv 0$, (6) thành y = 0 hay $\frac{dy}{y}=-p(x)dx$

ii) Nếu $q(x)\ne 0$ ta giải bàng phương pháp “biến thiên hằng số”.

Khi đó nghiệm của (6) có dạng (tương tự 6’):

$y=C(x).e^{-\int p(x)dx}$ (7)

trong đó C(x) là hàm cần tìm.

Ta có: $y^{\prime }=C(x)e^{-\int p(x)dx}-p(x)C(x)e^{-\int p(x)dx}$   (8).

Thế (7) vào (8) ta được: $y^{\prime }=C^{\prime }(x)e^{-\int p(x)dx}-p(x).y$

Suy ra:  $y^{\prime }+p(x).y=C^{\prime }(x).e^{-\int p(x)dx}$   (9).

(6) và (9) $\Rightarrow q(x)=C^{\prime }(x).e^{-\int p(x)dx}\Rightarrow C^{\prime }(x)=q(x).e^{\int p(x)dx}$

$\Rightarrow C(x)=\int \left[q(x).e^{\int p(x)dx}\right]dx$

Vậy nghiệm của (6) là:  $y=\left[\int q(x).e^{\int p(x)dx}dx\right].e^{-\int p(x)dx}$

Ví dụ 1: Giải phương trình: $y^{\prime }+2xy=2x{e}^{-x^2}$

Giải: nghiệm của phương trình thuần nhất $y^{\prime }+2xy=0$ là $y=C.e^{-x^2}$

⇒ nghiệm của phương trình có dạng: $y=C(x).e^{-x^2}$

$\Rightarrow y^{\prime }=C^{\prime }(x).e^{-x^2}-2xC(x).e^{-x^2}=C^{\prime }(x)e^{-x^2}-2xy$

$\Rightarrow 2x.e^{-x^2}=C^{\prime }(x)e^{-x^2}\Rightarrow C^{\prime }(x)=2x\Rightarrow C(x)=x^2+C_1$

$\Rightarrow y=(x^2+C_1).e^{-x^2}$

Ví dụ 2:

$a)(1+y^2)dx+(1+x^2)dy=0$

$b)(1+y^2)dx+yxdy=0$

$c)\{\begin{array}{l}{y}^{\prime }\mathrm{sinx}-ycosx=0\\ y\left(\frac{\pi }{2}\right)=1\end{array}$

$d)x\sqrt{1+y^2}+y{y}^{\prime }\sqrt{1+x^2}=0$

$e)e^x{\sin }^{3}y+y^{\prime }(1+e^{2x})\mathrm{cosy}=0$

$f)xy{y}^{\prime }=y^2+3x^2$

$g)xy+y^2=(2x^2+xy).y^{\prime }$

$h)2x^2{y}^{\prime }=x^2+y^2$

$i)(y-x)dx+(y+x)dy=0$

$j)x{y}^{\prime }+y=x^3{y}^4$

Giải Dành cho bạn đọc

là phương trình vi phân có dạng $y^{\prime }+p(x).y=q(x).y^{\alpha },0\ne \alpha \ne 1$

Nếu $\alpha >0$ thì y = 0 là nghiệm, nếu $\alpha <0$ thì $y\ne 0$

Khi $y\ne 0$, chia $y^{\alpha }$ ta có $y^{\prime }.y^{-\alpha }+y^{1-\alpha }p(x)=q(x)$

Khi đó phương trình thành: $v^{\prime }+(1-\alpha )p(x).v=(1-\alpha )q(x)$đây là phương trình tuyến tính

Ví dụ: Giải phương trình $y^{\prime }-x.y=y^5{e}^{-2x^2}$

Hiển nhiên y = 0 là nghiệm

Khi $y\ne 0$ phương trình thành $y^{\prime }{y}^{-5}-x.y^{-4}=e^{-2x^2}$

Đặt $v=y^{-4}\Rightarrow v^{\prime }=-4y^{\prime }{y}^{-5}$

Khi đó phương trình thành:

$-\frac{1}{4}{v}^{\prime }-xv=e^{-2x^2}\iff v^{\prime }+4xv=-4e^{-2x^2}$(*)

Nghiệm của phương trình thuần nhất $v^{\prime }+4xv=0$là $v=C.e^{-\underset{0}{\overset{x}{\int }}4xdx}=C.e^{-2x^2}$

Nghiệm của (*) có dạng: $v=C(x).e^{-2x^2}$

$\begin{array}{l}\Rightarrow v^{\prime }=C^{\prime }(x).e^{-2x^2}-4xC(x).e^{-2x^2}\\ \Rightarrow v^{\prime }+4x.v=C^{\prime }.e^{-2x^2}\\ \Rightarrow C^{\prime }=-4\Rightarrow C=-4x+C_1\\ \Rightarrow v=(-4x+C_1).e^{-2x^2}\Rightarrow y^{-4}=(-4x+C_1).e^{-2x^2}\end{array}$

Vậy nghiệm là y = 0 là $y^4=\frac{e^{2x^2}}{-4x+C_1},\mathrm{\forall }{C}_1\in R$

Định nghĩa: Tập hợp tất cả các số phức ký hiệu là C, được định nghĩa: $C=\left\{a+bi/a,b\in Rvoi{i}^2=-1\right\}$

Với số phức $z=a+bi$ ta nói $a=Rez$ là phần thực, $b=Imz$ là phần ảo.

$\mathrm{\forall }a\in R\Rightarrow a=a+0.i\in C$

Vậy $R\subset C$. Hai số phức $z=a+ib$ và $\bar{z}=a-ib$ gọi là 2 số phức liên hợp. 

Các phép tính

Cho $z_1=a_1+i{b}_1,z_2=a_2+i{b}_2$. Ta có:

$i)z_1=z_2\iff \{\begin{array}{l}{a}_1=a_2\\ b_1=b_2\end{array}\iff (a_1,b_1)=(a_2,b_2)$

$ii)z_1\pm z_2=(a_1+i{b}_1)\pm (a_2+i{b}_2)=(a_1\pm a_2)+i(b_1\pm b_2)$

$iii)z_1.z_2=(a_1+i{b}_1)(a_2+i{b}_2)=(a_1{a}_2-b_1{b}_2)+i(a_1{b}_2-a_2{b}_1)$

$iv)\frac{z_1}{z_2}=\frac{a_1+i{b}_1}{a_2+i{b}_2}=\frac{(a_1{a}_2-b_1{b}_2)+i(b_1{a}_2-b_2{a}_1)}{a_2^2+b_2^2}$

Dạng $z=a+ib$ gọi là dạng đại số của số phức.

Khai căn cho số phức: Căn bậc n của số phức $c\in C$ , ký hiệu $\sqrt[n]{c}$ , là những số phức z sao cho: $z^n=z.z....z=c$

Nếu $c\ne 0$ thì căn bậc n của số phức c có đúng n số phức.

$z=r\left(\cos \phi +i\sin \phi \right)$

$\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{r}\left(\cos \frac{\phi +k2\pi }{n}+i\sin \frac{\phi +k2\pi }{n}\right)k\in Z$

⇒ có n số là căn bậc n của $z\ne 0$.

Ví dụ 1: Tìm $\sqrt{7-6\sqrt{2i}}$

Giả sử $\sqrt{7-6\sqrt{2i}}=a+bi,a,b\in R\in R$

$\Rightarrow 7-6\sqrt{2i}=a^2-b^2+2abi$

$\Rightarrow \{\begin{array}{l}{a}^2-b^2=7\\ 2ab=-6\sqrt{2}\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=3\\ b=-\sqrt{2}\end{array}\vee \{\begin{array}{l}a=-3\\ b=\sqrt{2}\end{array}$

$\Rightarrow \sqrt{7-6\sqrt{2i}}=3-\sqrt{2i}hay\sqrt{7-6\sqrt{2i}}=-3+\sqrt{2i}$

Ví dụ 2: Tìm $\sqrt[4]{-2}$

Ta có: $-2=2(\cos \pi +i\sin \pi )$

$\sqrt[4]{-2}=\sqrt[4]{2}\left[\cos \left(\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2}\right)+i\sin \left(\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2}\right)\right],k\in Z$

$\Rightarrow \sqrt[4]{-2}$ có 4 số là: $\sqrt[4]{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\pm \frac{i}{\sqrt{2}}\right),\sqrt[4]{2}\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\pm \frac{i}{\sqrt{2}}\right)$