Bài 2: Phương pháp khoảng tin cậy (phần 2)

Giả sử tổng thể ta đang nghiên cứu gồm N phần tử. Trong đó có M phần tử có tính chất A nào đó. \(p = \frac{M}{N}\) là tỷ lê các phần tử có tính chất A của tổng thể. Thông thường p chưa biết, cần ước lượng p. Để ý rằng p cũng chính là xác suất để lấy được phần tử có tính chất A khi lấy ngẫu nhiên từ tổng thể ra một phần tử, nên bài toán trên là bài toán ước lượng tỷ lệ tổng thể (hay ước lượng xác suất).

Để cho việc giải bài toán được đơn giản, ta thường yêu cầu kích thước mẫu n khá lớn để có thể sử dụng định lý Lindeberg - Levy.

Gọi X là số phần tử có tính chất A khi lấy ngẫu nhiên một phần tử từ tổng thể. X là đại lượng ngẫu nhiên có phân phối xác suất như sau:

X	0	1
P	q	p

\(E(X)=p;\, \, \,Var(X)=pq\)

Gọi X_i (i = 1, 2,.... n) là số phần tử có tính chất A có trong lần lấy thứ i. Các đại lượng ngẫu nhiên X_i có phân phối xác suất giống X.

Xét đại lượng ngẫu nhiên: \(F = \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {{X_i}} \) là tỷ lệ mẫu ngẫu nhiên.

Người ta đã chứng minh được: \(E(F) = p;\,\,V{\rm{ar}}(F) = \frac{{pq}}{n}\)

Theo định lý Lindeberg - Levy, đại lượng ngẫu nhiên: \(Z = \frac{{F - p}}{{\sqrt {pq/n} }}\) có phân phối xấp xỉ N(0,1).

Do n khá lớn nên ta có thể thay pq bằng F (1- F). Sau đó ta áp dụng phương pháp tương tự như đã tiến hành ở phần 2 và tìm được khoảng tin cậy của p là: 

\(\left( {f - \varepsilon < p < f + \varepsilon } \right)\)     (7.11)

trong đó: \(\varepsilon = {Z_{\alpha /2}}\sqrt {\frac{{f(1 - f)}}{n}} \)

f là tỷ lệ phần tử có tính chất A của mẫu cụ thể (cũng chính là một giá trị của F);

Thí dụ: Nghiên cứu nhu cầu tiêu dùng của một loại hàng ở một thành phố, người ta tiến hành điều tra nhu cầu tiêu dùng về mặt hàng này ở 100 gia đình thì thấy có 60 gia đình có nhu cầu về loại hàng đó. Hãy ước lượng tỷ lệ gia đình có nhu cầu về mặt hàng đó của toàn thành phố với độ tin cậy 95%.

Giải: Gọi tỷ lệ gia đình có nhu cầu về mặt hàng này là p (p chưa biết). Ta cần ước lượng p với độ tin cậy 95%.

Theo giả thiết của bài toán ta có:

Tỷ lệ gia đình có nhu cầu về mặt hàng này trong mẫu cụ thể là:

\(f = \frac{{60}}{{100}} = 0,6\)

Với độ tin cậy \(1 - \alpha = 0,95 \Rightarrow {Z_{\alpha /2}}{\rm{ }} = 1,96\)

\(\varepsilon = 1,96\sqrt {\frac{{0,6(1 - 0,6)}}{{100}}} = 0,096\)

Vậy khoảng tin cậy của p (với độ tin cậy 95%) là: (0,6 - 0,096; 0,6 + 0,096)

Hay: (50,4% < p < 69,6%)

Giả sử đại lượng ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn, chưa biết phương sai của nó. Cần ước lượng Var(X) với độ tin cậy \(1-\alpha\).

Từ X lập mẫu ngẫu nhiên W_x = (X₁, X₂,...., X_n) và xét 2 trường hợp sau đây:

Đã biết kỳ vọng toán E(X) = \(\mu\)

Xét đại lượng ngẫu nhiên: \({\chi ^2} = \sum\limits_{i = 1}^n {\frac{{{{\left( {{X_i} - \mu } \right)}^2}}}{{{\sigma ^2}}}} \)

Người ta đã chứng minh được rằng \({\chi ^2}\) có phân phối “Chi bình phương” với n bậc tự do. Nên với xác suất \(\alpha\) khá bé ta có thể tìm được hai số  \(\chi _{\alpha /2}^2\) và \(\chi _{1 - \alpha /2}^2\) sao cho:

\(P\left( {\chi _{1 - \alpha /2}^2 < {\chi ^2} < \chi _{\alpha /2}^2} \right) = 1 - \alpha \)  (7.12)

Hay:

\(P\left( {{\chi ^2} > \chi _{\alpha /2}^2} \right) = \alpha /2\)

Và: 

\(P\left( {{\chi ^2} > \chi _{1 - \alpha /2}^2} \right) = 1 - \alpha /2\)

Để tìm \({\chi _{\alpha /2}^2}\) và \({\chi _{1-\alpha /2}^2}\) ta có thể tra bảng ở phần phụ lục (bảng \({\chi _\alpha ^2}\)) hoặc dùng hàm CHIINV trong Excel.

Chẳng hạn, với độ tin cậy \(1- \alpha = 95\%\) (tức \(\alpha\) = 0,05) và bậc tự do 46 thì:

\(​​\chi _{\alpha /2}^2 = \chi _{0,025}^2 = CHIINV\left( {0.025,46} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}66,616468\)

\(\chi _{1 - \alpha /2}^2 = \chi _{0,975}^2 = CHIINV\left( {0.975,46} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}29,16\)

Thay biểu thức của \({\chi ^2}\) vào (7.12) và giải ta được:

\(\left[ {\frac{{\sum {{{\left( {{X_i} - \mu } \right)}^2}} }}{{\chi _{\alpha /2}^2}} < {\sigma ^2} < \frac{{\sum {{{\left( {{X_i} - \mu } \right)}^2}} }}{{\chi _{1 - \alpha /2}^2}}} \right]\)  (7.13)

Với mẫu cụ thể W_X = (x₁, x₂,...,x_n) ta có thể tính được: \({\sum {{{\left( {{X_i} - \mu } \right)}^2}} }\) và từ công thức (7.13) ta tìm được khoảng tin cậy của \({\sigma ^2}\)

\(\left[ {\frac{{\sum {{{\left( {{X_i} - \mu } \right)}^2}} }}{{\chi _{\alpha /2}^2}} < {\sigma ^2} < \frac{{\sum {{{\left( {{X_i} - \mu } \right)}^2}} }}{{\chi _{1 - \alpha /2}^2}}} \right]\)

Trường hợp chưa biết E(X)

Xét đại lượng ngầu nhiên: \({\chi ^2} = \frac{{(n - 1){S^2}}}{{{\sigma ^2}}}\)

Người ta đã chứng minh được rằng: đại lượng ngẫu nhiên này có phân phối “Chi bình phương “ với (n - 1) bậc tự do.

Lập lại các bước như đã tiến hành ở trường hợp 4-1 ta sẽ tìm được khoảng tin cậy của \({{\sigma ^2}}\) với độ tin cậy \(1- \alpha\) là:

\(\left[ {\frac{{(n - 1){s^2}}}{{\chi _{\alpha /2}^2}} < {\sigma ^2} < \frac{{(n - 1){s^2}}}{{\chi _{1 - \alpha /2}^2}}} \right]\)   (7.15)

Thí dụ: Mức hao phí nguyên liệu cho một đơn vị sản phẩm là đại lượng ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn với E(X) = 20 (gr). Quan sát 25 sản phẩm, ta có các số liệu cho ở bảng sau:

Trọng lượng ng/l hao phí (gr)	19,5	20,0	20,5
Số sản phẩm	5	18	2

Với độ tin cậy \(1- \alpha=90\%\), hãy ước lượng Var(X)

Giải

Lập bảng tính như sau:

xi	ni	(xi-20)	(xi-20)2	ni(xi-20)2
19,5 20,0 20,5	5 15 2	-0,5 0 0,5	0,25 0 0,25	1,25 0 0,5
Tổng	n=25			1,75

Tra bảng \({\chi ^2}\) với bậc tự do n = 25 ta được:

\(\chi _{1 - \alpha /2}^2 = \chi _{0,95}^2 = 14,6;\,\,\,\,\,\,\chi _{\alpha /2}^2 = \chi _{0,05}^2 = 37,7\,\,\)

Vậy khoảng tin cậy của \({\sigma ^2}\) là:

\(\left[ {\frac{{1,75}}{{37,7}} < {\sigma ^2} < \frac{{1,75}}{{14,6}}} \right]\,\,hay:\,(0,066 < {\sigma ^2} < 0,17)\)

Trong thí dụ trên, nếu chưa biết E(X) = 20 thì ta tính s². Với số liệu đã cho, ta dễ dàng tính được s² = 0,0692.

Tra bảng \({\chi ^2}\) với bậc tự do n - 1 = 24 ta được:

\(\chi _{1 - \alpha /2}^2 = \chi _{0,95}^2 = 13,85;\,\,\,\,\,\chi _{\alpha /2}^2 = \chi _{0,05}^2 = 36,4\)

Vậy khoảng tin cậy của \({\sigma ^2}\) trong trường hợp này là:

\(\left[ {\frac{{24.(0,0692}}{{36,4}} < {\sigma ^2} < \frac{{24.(0,0692)}}{{13,85}}} \right]\)

\( \Leftrightarrow (0,046 < {\sigma ^2} < 0,12)\)

Ta thấy chất lượng của ước lượng được phản ánh qua độ tin cậy (1- \(\alpha\)) và độ chính xác \(\varepsilon \). Độ tin cậy và độ chính xác càng cao thì ước lượng đó càng tốt. Nhưng độ chính xác \(\varepsilon \) lại phụ thuộc vào kích thước mẫu (n) và độ tin cậy \(1-\alpha\). Vấn đề đặt ra là: Ta muốn độ tin cậy \(1-\alpha\) và độ chính xác \(\varepsilon \) đạt được ở một mức nào đó cho trước thì cần kích thước mẫu (n) tối thiểu là bao nhiêu?

Xác định kích thước mẫu khi ước lượng trung bình tổng thể

Nếu biết \(Var(X) = {\sigma ^2}\), thì từ công thức:

\(\varepsilon = {Z_{\alpha /2}}\frac{\sigma }{{\sqrt n }}\)

ta suy ra

\(n = {\left( {{Z_{\alpha /2}}\frac{\sigma }{\varepsilon }} \right)^2}\)

Nếu chưa biết \({{\sigma ^2}}\) , khi đó ta căn cứ vào mẫu đã cho (nếu chưa có mẫu thì ta có thể tiến hành lấy mẫu với kích thước \(n_1\ge30\)) để tính s². Từ đó xác định kích thước mẫu (n) theo công thức:

\(n = {\left( {{Z_{\alpha /2}}\frac{s}{\varepsilon }} \right)^2}\)

Chú ý: Nếu bài toán thực tế đòi hỏi n phải là số nguyên mà khi tính n theo công thức (7.16) hoặc (7.17) thì kết quả thu được thường là số không nguyên thì khi đó ta lấy phần nguyên của kết quả cộng với 1. Chẳng hạn kết quả tính được là 151,23 khi đó ta lấy n = 151 + 1 = 152.

Xác định kích thước mẫu khi ước lượng tỷ lệ tổng thể

Nếu biết f (ước lượng điểm của p)

Từ công thức: \(\varepsilon = {Z_{\alpha /2}}\sqrt {\frac{{f(1 - f)}}{n}} \)

ta suy ra: \(n = {\left( {{Z_{\alpha /2}}} \right)^2}\frac{{f(1 - f)}}{{{\varepsilon ^2}}}\)  (7.18)

Nếu chưa biết f (ước lượng điểm của p)

Từ công thức: \(\varepsilon = {Z_{\alpha /2}}\sqrt {\frac{{pq}}{n}} \)

ta suy ra: \(n = {\left( {{Z_{\alpha /2}}} \right)^2}.\frac{{pq}}{{{\varepsilon ^2}}}\)

Nhưng do pq đạt cực đại khi p = q = 0,5 nên:

\(n \ge \frac{{0,25{{\left( {{Z_{\alpha /2}}} \right)}^2}}}{{{\varepsilon ^2}}}\)  (7.19)

Khi ước lượng các số đặc trưng của tổng thể bằng các số liệu quan sát của một mẫu có kích thước n, nếu ta muốn độ chính xác \(\left( \varepsilon \right)\) đạt được ở một mức nào đó thì độ tin cậy \((1- \alpha)\) sẽ là bao nhiêu?

Xác định độ tin cậy khi ước lượng trung bình tổng thể

Nếu biết \(V{\rm{ar}}(X) = {\sigma ^2}\), thì từ công thức:

\(\varepsilon = {Z_{\alpha /2}}\frac{\sigma }{{\sqrt n }}\)

Ta suy ra

\({Z_{\alpha /2}} = \frac{{\varepsilon \sqrt n }}{\sigma }\)   (7.20)

Sau khi xác định được \({Z_{\alpha /2}}\) ta tra bảng hàm Laplace để tìm độ tin cậy \(1- \alpha\)

\(1 - \alpha = 2\Phi ({Z_{\alpha /2}})\)

Nếu chưa biết \({\sigma ^2}\), khi đó ta căn cứ vào mẫu đã cho (nếu chưa có mẫu thì ta có thể tiến hành lấy mẫu với kích thước n₁ \(\ge\) 30) để tính s. Từ đó xác định \({Z_{\alpha /2}}\) theo công thức:

\({Z_{\alpha /2}} = \frac{{\varepsilon \sqrt n }}{s}\)

Từ công thức: \(\varepsilon = {Z_{\alpha /2}}\sqrt {\frac{{f(1 - f)}}{n}} \)

ta suy ra: 

\({Z_{\alpha /2}} = \frac{{\varepsilon \sqrt n }}{{\sqrt {f(1 - f)} }}\)   (7.22)

Như vậy, trong 3 tham số: \(n;\,\,\varepsilon ;\,\,{Z_{\alpha /2}}\,(hay\,1 - \alpha )\); nếu ta biết được hai tham số thì có thể tính được tham số còn lại (công thức tính bạn đọc có thể suy từ công thức tính \(\varepsilon \) trong các bài toán ước lượng đã biết).