Bài 2: Hàm nhiều biến - Cực trị hàm nhiều biến

Cho hàm số $f(x)=f(x_1,x_2,...,x_n)$ xác định trên $D\subset R^n$ và $a=a(x_1,x_2,...,x_n)\in D$. Ta nói f đạt cực đại (cực tiểu) địa phương tại a nếu tồn tại tập $S=\left\{x\in D/d(x,a)<\alpha \right\}$ sao cho $f(a)\ge f(x)$ (hoặc $f(a)\le f(x)),\mathrm{\forall }x\in S\cap D.$

Cực đại địa phương hay cực tiểu địa phương gọi chung là cực trị địa phương.

Định lý (điều kiện cần): Cho hàm số $f(x_1,x_2,...,x_n)$ xác định trên tập mở D chứa x₀. Nếu hàm số $f(x_1,x_2,...,x_n)$ có cực trị địa phương tại $x_0=\left(x_1^0,x_2^0,...,x_n^0\right)$ và giả sử các đạo hàm riêng cấp một $\frac{\partial f}{\partial x_i}(x_0)$ tồn tại $\mathrm{\forall }i=\overline{1,n}$ thì:

$\frac{\partial f}{\partial x_i}(x_0)=0,\mathrm{\forall }i=\overline{1,n}$

Những điểm $x_0=\left(x_1^0,x_2^0,...,x_n^0\right)$ thỏa điều kiện $\frac{\partial f}{\partial x_i}(x_0)=0,\mathrm{\forall }i=\overline{1,n}$ được gọi là những điểm dừng. Những điểm dừng là những điểm có thể đạt cực trị.

Ghi chú: Định lý trên chỉ là điều kiện cần. Có khi các đạo hàm riêng tại $x_0=\left(x_1^0,x_2^0,...,x_n^0\right)$ của f không tồn tại nhưng f vẫn có thể đạt cực trị tại x₀.

Ví dụ: $f(x,y)=x^3+y^3$có $\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=0$ nhưng f không đạt cực trị tại (0,0).

Ví dụ: $f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}$. Ta có $\frac{\partial f}{\partial x}(0,0),\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)$ không tồn tại nhưng f đạt cực tiểu tại (0,0).

Hàm $A(h_1,h_2,...,h_n)=\sum _{i,j=1}^n{a}_{ij}{h}_i{h}_j(\ast )$ của các biến $h_1,h_2,...,h_n$được gọi là dạng toàn phương, các số a_ij được gọi là hệ số của dạng toàn phương.

Dạng toàn phương (*) được gọi là xác định dương (hoặc xác định âm) nếu $\mathrm{\forall }{h}_1,h_2,...,h_n$ thỏa $\sum _{i,j=1}^n{h}_i^2>0$ có $\sum _{i,j=1}^n{a}_{ij}{h}_i{h}_j$ giá trị dương (hoặc âm).

Dạng toàn phương xác định dương hay xác định âm gọi chung là dạng xác định dấu.

Xét dạng toàn phương $A\left(h_1,h_2,...,h_n\right)=\sum _{i,j=1}^n{a}_{ij}{h}_i{h}_j(\ast )$

Giả sử $a_{ij}=a_{ij},\mathrm{\forall }i,j=\overline{1,n}$. Khi đó ta có: 

i) (*) là dạng toàn phương xác định dương $\iff a_{11}>0$

$\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right|>0,\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|>0,...,\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& a_{2n}\\ \begin{array}{l}....\\ a_{n1}\end{array}& \begin{array}{l}\\ a_{n2}\end{array}& \begin{array}{l}\\ a_{nm}\end{array}\end{array}\right|>0$

ii) (*) là dạng toàn phương xác định âm $\iff a_{11}<0$

$\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right|>0,\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|<0,...,(-1{)}^n\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& a_{2n}\\ \begin{array}{l}....\\ a_{n1}\end{array}& \begin{array}{l}\\ a_{n2}\end{array}& \begin{array}{l}\\ a_{nm}\end{array}\end{array}\right|>0$

Giả sử $\mathrm{\forall }i,j=\overline{1,n};\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_i\partial x_j}$ tồn tại và liên tục trong lân cận của điểm dừng $x_0=\left(x_1^0,x_2^0,...,x_n^0\right)$

Nếu $d^{2}f(x_0)=\sum _{i,j=1}^n\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_i\partial x_j}d{x}_{i}d{x}_j$ là dạng toàn phương xác định dấu của các biến $d{x}_1,d{x}_2,d{x}_n$ thì f đạt cực trị địa phương tại x₀. Khi đó, nếu $d^{2}f(x_0)<0$ thì f đạt cực đại tại x₀ và nếu $d^{2}f(x_0)>0$ thì f đạt cực tiểu tại x₀.

Giả sử $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2},\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2},\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}$ tồn tai và liên tục tai $M_0(x_0,y_0)$. Giả sử $\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)=\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)=0$ (M₀ là điểm dừng)

Đặt $a_{11}=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}(x_0,y_0),a_{12}=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}(x_0,y_0),a_{21}=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}(x_0,y_0)$và $\mathrm{\Delta }(M_0)=\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right|=a_{11}{a}_{22}-(a_{12}{)}^2$

Ta có: 

i) Nếu $\mathrm{\Delta }(M_0)<0$ thì f không đạt cực trị tại $(x_0,y_0)$

ii) $\{\begin{array}{l}{a}_{11}>0\\ \mathrm{\Delta }(M_0)>0\end{array}$ thì f đạt cực tiểu tại $(x_0,y_0)$

iii) $\{\begin{array}{l}{a}_{11}<0\\ \mathrm{\Delta }(M_0)>0\end{array}$ thì f đạt cực đại tại $(x_0,y_0)$

Nhận xét:

• Khi $\mathrm{\Delta }(M_0)>0$ thì a₁₁ và a₂₂ cùng dấu.
• Khi $\mathrm{\Delta }(M_0)=0$ thì không có kết luận tổng quát.

Ví dụ:

$f(x,y)=x^3+y^3$ có $\mathrm{\Delta }\left(0,0\right)=0$ và không đạt cực trị tại (0,0)

$f=(x,y)=x^4+y^4$ có $\mathrm{\Delta }\left(0,0\right)=0$ và đạt cực trị tại (0,0)

 i) $H_2<0,H_3<0,H_4<0$⇒ f đạt cực tiểu 

$\begin{array}{l}\frac{\partial F}{\partial x}=2+2\lambda x;\frac{\partial F}{\partial y}=1+8\lambda x\\ \\ \frac{\partial F}{\partial z}=3+4\lambda x;\frac{\partial F}{\partial \lambda }=g=x^2+4y^2+2z^2-35\\ \\ \frac{{\partial }^{2}F}{\partial x^2}=2\lambda ;\frac{{\partial }^{2}F}{\partial y^2}=8\lambda ;\frac{{\partial }^{2}F}{\partial z^2}=4\lambda ;\frac{{\partial }^{2}F}{\partial {\lambda }^2}=0\\ \\ \frac{{\partial }^{2}F}{\partial x\partial y}=\frac{{\partial }^{2}F}{\partial x\partial z}=\frac{{\partial }^{2}F}{\partial y\partial z}=0;\frac{{\partial }^{2}F}{\partial \lambda \partial x}=\frac{\partial g}{\partial x}=2x\\ \\ \frac{{\partial }^{2}F}{\partial \lambda \partial y}=\frac{\partial g}{\partial y}=8y;\frac{{\partial }^{2}F}{\partial \lambda \partial z}=\frac{\partial g}{\partial z}=4z\end{array}$

Điều kiện cần để F đạt cực trị tại $(x,y,z,\lambda )$

$\{\begin{array}{l}\frac{\partial F}{\partial \lambda }=g=x^2+4y^2+2z^2-35=0\\ \frac{\partial F}{\partial x}=2+2\lambda x=0\\ \frac{\partial F}{\partial y}=1+8\lambda y=0\\ \frac{\partial F}{\partial z}=3+4\lambda z=0\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{l}x=\frac{-1}{\lambda }=8y\\ y=\frac{-1}{8\lambda }\\ z=\frac{-3}{4\lambda }=6y\\ 64y^2+4y^2+2.36y^2-35=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=4\\ y=\frac{1}{2}\\ z=3\\ \lambda =\frac{-1}{4}\end{array}hay\{\begin{array}{l}x=-4\\ y=-\frac{1}{2}\\ z=-3\\ \lambda =\frac{1}{4}\end{array}$

i) Xét tại $(x,y,z,\lambda )=\left(4,\frac{1}{2},3,-\frac{1}{4}\right)$

$\frac{\partial g}{\partial x}(4;\frac{1}{2};3)=8;\frac{\partial g}{\partial y}(4;\frac{1}{2};3)=4;\frac{\partial g}{\partial z}(4;\frac{1}{2};3)=12$

$\begin{array}{l}{a}_{11}=\frac{{\partial }^{2}F}{\partial x^2}(4;\frac{1}{2};3;\frac{-1}{4})=\frac{-1}{2};\\ \\ a_{22}=\frac{{\partial }^{2}F}{\partial y^2}(4;\frac{1}{2};3;\frac{-1}{4})=-2;\\ \\ a_{33}=\frac{{\partial }^{2}F}{\partial z^2}(4;\frac{1}{2};3;\frac{-1}{4})=-1\end{array}$

$a_{12}=a_{21}=a_{31}=a_{13}=a_{23}=a_{32}=0$

Ta có: $H_b=\left(\begin{array}{cccc}-1/2& 0& 0& 8\\ 0& -2& 0& 4\\ 0& 0& -1& 12\\ 8& 4& 12& 0\end{array}\right)$

$H_1=-64;H_2=\left|\begin{array}{ccc}-1/2& 0& 8\\ 0& -2& 4\\ 8& 4& 0\end{array}\right|>0;H_3=\left|\begin{array}{cccc}-1/2& 0& 0& 8\\ 0& -2& 0& 4\\ 0& 0& -1& 12\\ 8& 4& 12& 0\end{array}\right|<0$

$\Rightarrow (-1{)}^k{H}_k>0,\mathrm{\forall }k=\overline{2,3}\Rightarrow f$đạt cực đại thỏa điều kiện $x^2+4y^2+2z^2=35$tại $\left(4;\frac{1}{2};3\right)$

ii) Tương tự xét tại $(x,y,z,\lambda )=\left(-4;-\frac{1}{2};-3;\frac{1}{4}\right)$ta có: $(-1{)}^m{H}_k=-H_k>0,\mathrm{\forall }k=\overline{2,3}$

⇒ f đạt cực tiểu thỏa điều kiện $x^2+4y^2+2z^2=35$tại $\left(-4;-\frac{1}{2};-3\right)$

Ví dụ:

i) Tìm cực trị của $u=x+y+z$ với $xyz=125$

ii) Tìm cực trị của $u=x+y$ với điều kiện $x^2+\frac{y^2}{4}+2z^2=1$

Tìm cực trị của $u=x+y+z+t$ với điều kiện $16-xyzt=0$

Giải: Dành cho bạn đọc.