Bài 1: Hàm nhiều biến - Khái niệm hàm nhiều biến

Cho \(D \subset {R^n}\).

Ánh xạ \(f:D \to R\)

được gọi là hàm n biến xác định trên D.

Ví dụ: \(f(x,y,z) = x^2 -3xy + 5yz^7\) có MXĐ là D = R³

\(f(x,y,z) = \frac{{{x^2} + xy - {y^2}}}{{xy{z^2}}}\) có MXĐ là \(D = {R^3}\backslash \left\{ {(x,y,z)/xyz = 0} \right\}\)

Với \(x=(x_1,x_2,...,x_n),\,\,y=(y_1,y_2,...,y_n)\)định nghĩa khoảng cách giữa x và y là

\(d(x,y) = \sqrt {\sum\limits_{i = 1}^n {{{({x_i} - {y_i})}^2}} }\)

với \(x=(x_1,x_2,...,x_n)\,\in R^n\)và \(\varepsilon > 0\) ta gọi:

• \(B\left( {x,\varepsilon } \right) = \left\{ {y \in {R^n}/d\left( {x,y} \right) < \varepsilon } \right\}\)là quả cầu mở tâm x, bán kính \(\varepsilon\)
• \(\overline B \left( {x,\varepsilon } \right) = \left\{ {y \in {R^n}/d\left( {x,y} \right) \le \varepsilon } \right\}\)là quả cầu đóng tâm x, bán kính \(\varepsilon\)

Tập \(D \subset {R^n}\) được gọi là tập mở nếu với mọi \(x = ({x_1},{x_2},...,{x_n}) \in D\) tồn tại quả cầu mở tâm x bán kính \(\varepsilon\) chứa trong D. Tập \(V \subset {R^n}\) được gọi là tập đóng nếu phần bù \({R^n}{\mkern 1mu} \backslash V\) là tập mở.

Ví dụ:

\(A{\rm{ }} = {\rm{ }}\left\{ {\left( {x,y} \right){\rm{ }} \in {\rm{ }}{R^2}{\rm{ }}/{\rm{ }}{x^2} - {\rm{ }}{y^2}{\rm{ }} < {\rm{ }}4} \right\}\)là tập mở trong R²

\(\overline B = \left\{ {(x,y,z) \in {R^3}/{x^2} + {y^2} + z{}^2 \le 1} \right\}\)là tập đóng trong R³

Cho tập \(D \subset {R^n}\), điểm \(M \in {R^n}\) được gọi là điểm tụ của D nếu mọi tập mở V chứa M thì ta có 

\(D \cap V\backslash \{ M\} \ne \emptyset\)

Định nghĩa: Cho hàm số f xác định trên tập \(D \subset {R^n}\), giả sử \({x_0} = \left( {x_1^0,x_2^0,...,x_n^0} \right) \in D\) và x₀ là điểm tụ của D. Số A được gọi là giới hạn của f tại x₀ nếu \(\forall \varepsilon > 0,\exists \alpha > 0\) sao cho \(x \in D\) và \(0 < d(x,{x_0}) < \alpha \Rightarrow \left| {f(x) - A} \right| < \varepsilon\).

Ký hiệu: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = A\,\,hay\,\,\mathop {\lim }\limits_{({x_1},{x_2},...,{x_n}) \to (x_1^0,...x_n^0)} f({x_1},{x_2},...,{x_n}) = A\)

Định nghĩa: Cho hàm số f xác định trên tập D chứa x₀. Ta nói f liên tục tại x₀ nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = f({x_0})\)

f liên tục trên D nếu f liên tục tại mọi \(x \in D\).

Ghi chú: Sự liên quan giữa giới hạn hàm và giới hạn dãy tương tự như hàm một biến.

Ví dụ:

i) \(f(x,y) = \frac{{3x - y}}{{x + 5y}}\) có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\mathop {\lim }\limits_{y \to 0} f(x,y)} \right) = 3\)

và \(\mathop {\lim }\limits_{y \to 0} \left( {\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x,y)} \right) = - \frac{1}{5}\) nhưng \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0,y \to 0} f(x,y)\) không tồn tại vì

\(\left( {{x_n},{y_n}} \right) = \left( {\frac{1}{n},\frac{1}{n}} \right) \to (0,0)\)và \(\left( {x{'_n},y{'_n}} \right) = \left( {\frac{2}{n},\frac{1}{n}} \right) \to (0,0)\)

mà \(f\left( {{x_n},{y_n}} \right) = \frac{{2/n}}{{6/n}} \to \frac{1}{3}\) và \(f\left( {x{'_n},y{'_n}} \right) = \frac{{5/n}}{{7/n}} \to \frac{5}{7}\)

ii) \(f\left( {x,y} \right) = \frac{{{x^2}{y^2}}}{{{x^2}{y^2} + {{(x - y)}^2}}}\) có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left[ {\mathop {\lim }\limits_{y \to 0} f(x,y)} \right] = 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{y \to 0} \left[ {\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x,y)} \right] = 0\) nhưng \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0,y \to 0} f(x,y)\) không tồn tại vì 

\(\left( {{x_n},{y_n}} \right) = \left( {\frac{1}{n},\frac{1}{n}} \right) \to (0,0)\) và \(\left( {x{'_n},y{'_n}} \right) = \left( {\frac{1}{n},-\frac{1}{n}} \right) \to (0,0)\)

mà \(f\left( {{x_n},{y_n}} \right) = \frac{{1/n^4}}{{1/n^4}} \to 1\) và \(f(x{'_n},y{'_n}) = \frac{{\frac{1}{{{n^4}}}}}{{\frac{1}{{{n^4}}} + \frac{4}{{{n^4}}}}} \to \frac{1}{5}\)

Định nghĩa: Giả sử \(u=f(x_1,x_2,...,x_n)\) xác định trên tập mở \(D \subset {R^n}\) và \(A(a_1, a_2, a_3,...,a_n) \in D\). Nếu

\(\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f({a_1},{a_2},...{a_i} + h,...,{a_n}) - f({a_1},{a_2},...{a_n})}}{h}\)

tồn tại hữu hạn thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm riêng của hàm \(u = f({x_1},{x_2},...{x_n})\) tại \(A({a_1},{a_2},...{a_n})\) theo biến x_i.

Ký hiệu: \(\frac{{\partial f}}{{\partial {x_i}}}{\rm{(}}{{\rm{a}}_{\rm{1}}}{\rm{,}}{{\rm{a}}_{\rm{2}}}{\rm{,}}...{\rm{,}}{{\rm{a}}_{\rm{n}}}{\rm{)}}\,\,{\rm{hay}}\,\,\frac{{\partial u}}{{\partial {x_i}}}{\rm{(}}{{\rm{a}}_{\rm{1}}}{\rm{,}}{{\rm{a}}_{\rm{2}}}{\rm{,}}...{\rm{,}}{{\rm{a}}_{\rm{n}}}{\rm{)}}\) hay \(u{'_{{x_i}}}\,\,hay\,\,f{'_{{x_i}}}\,\,hay\,\,u{'_i}\,\,\,hay\,f{'_i}\)

Nhận xét: đạo hàm riêng theo biến x_i thì riêng x_i coi như biến số và các x_k với \(k \ne i\) thì coi như hàng số.

Ví dụ: \(f(x, y, z) = xy^3z^6 + y^2 + 5y^4z^3 + 8x^5z\), ta có:

\(\frac{{\partial f}}{{\partial x}} = {y^3}{z^6} + 40{x^4}z,\frac{{\partial f}}{{\partial y}} = 3x{y^2}{z^6} + 2y + 20{y^3}{z^3}\)

\(\frac{{\partial f}}{{\partial z}} = 6x{y^3}{z^5} + 15{y^4}{z^2} + 8{x^5}\)

Cho \(x = ({x_1},{x_2},...,{x_n}) \in U \in {R^n},U\)mở

\(t = ({t_1},{t_2},...,{t_m}) \in V \in {R^m},V\)mở

\(f:U \to R,\,{g_k}:V \to U \subset {R^n},\forall k = \overline {1,n}\)

Giả sử \({g_k}(V) \subset U\)

Cho \(z = f({x_1},{x_2},...,{x_n});{x_k} = {g_k}({t_1},{t_2},...,{t_m}),k = \overline {1,n}\). Giả sử f có các đạo hàm riêng theo biến \({x_k},k = \overline {1,n}\) tại \(x;{g_k}\) có đạo hàm riêng theo biến \({t_i},i = \overline {1,m} \) tại t. Khi đó, ta có: \(\frac{{\partial z}}{{\partial {t_i}}}(t) = \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{{\partial f}}{{\partial {x_k}}}} (x)\frac{{\partial {x_k}}}{{\partial {t_i}}}(t),i = \overline {1,m}\)

Ví dụ: \(z = f(x_1, x_2, x_3) ; x_k = g_k(t_1, t_2, t_3, t_4), k = 1,2, 3\)

\(\frac{{\partial z}}{{\partial {t_1}}} = \frac{{\partial z}}{{\partial {x_1}}}\frac{{\partial x}}{{\partial {t_1}}} + \frac{{\partial z}}{{\partial {x_2}}}\frac{{\partial {x_2}}}{{\partial {t_1}}} + \frac{{\partial z}}{{\partial {x_3}}}\frac{{\partial {x_3}}}{{\partial {t_1}}}\)

\(\frac{{\partial z}}{{\partial {t_2}}} = \frac{{\partial z}}{{\partial {x_1}}}\frac{{\partial x}}{{\partial {t_2}}} + \frac{{\partial z}}{{\partial {x_2}}}\frac{{\partial {x_2}}}{{\partial {t_2}}} + \frac{{\partial z}}{{\partial {x_3}}}\frac{{\partial {x_3}}}{{\partial {t_2}}}\)

Tương tự cho \(\frac{{\partial z}}{{\partial {t_3}}}\) và \(\frac{{\partial z}}{{\partial {t_4}}}\)

Ví dụ: \(f({x_1},{x_2}) = x_1^2 - x_2^3;{x_1} = 3{t_1} + t_2^2,{x_2} = t_1^2 + t_2^4\)

\(\frac{{\partial f}}{{\partial {t_2}}} = \frac{{\partial t}}{{\partial {x_1}}}\frac{{\partial {x_1}}}{{\partial {t_1}}} + \frac{{\partial f}}{{\partial {x_2}}}\frac{{\partial {x_2}}}{{\partial {t_1}}} = 2{x_1}(3) + ( - 3x_2^2)(2{t_1}) = 18{t_1} + 6t_2^2 - 6{t_1}{(t_1^2 + t_2^4)^2}\)

\(\frac{{\partial f}}{{\partial {t_2}}} = \frac{{\partial t}}{{\partial {x_1}}}\frac{{\partial {x_1}}}{{\partial {t_2}}} + \frac{{\partial f}}{{\partial {x_2}}}\frac{{\partial {x_2}}}{{\partial {t_2}}} = (2{x_1})(2{t_2}) + ( - 3x_2^2)(4t_2^3) = 4(3{t_1} + t_2^2){t_2} - 12(t_1^2 + t_2^4)t_2^3\)

Hàm \(u=f(x_1,x_2,...,x_n)\) xác định trên tập mở D chứa \(x=(x_1,x_2,...,x_n)\) được gọi là khả vi tại \(x=(x_1,x_2,...,x_n)\) nếu số gia toàn phần của nó \(\Delta u = f({x_1} + \Delta {x_1},{x_2} + \Delta {x_2},...,\Delta {x_n}) - f({x_1},{x_2},...,{x_n})\)

có thể biểu diễn dưới dạng \(\Delta u = {A_1}\Delta {x_1} + {A_2}\Delta {x_2} + ... + {A_n}\Delta {x_n} + o(\rho )\)

với A_i không phụ thuộc vào \(\Delta {x_i},\forall i = \overline {1,n}\) và \(\mathop {\lim }\limits_{\rho \to 0} \frac{{o(\rho )}}{\rho } = 0\), trong đó \(\rho = \sqrt {{{(\Delta {x_1})}^2} + {{(\Delta {x_2})}^2} + ... + {{(\Delta {x_n})}^2}} > 0\)

Nếu hàm \(u =f(x_1,x_2,...,x_n)\) khả vi tại \(x = (x_1,x_2,...,x_n)\) thì \(\forall i = \overline {1,n}\) ta có \(\frac{{\partial u}}{{\partial {x_i}}}(x)\) tồn tại và \(\frac{{\partial u}}{{\partial {x_i}}}(x) = {A_i}\)

\( \Rightarrow \Delta u = \frac{{\partial u}}{{\partial {x_1}}}(x)\Delta {x_1} + \frac{{\partial u}}{{\partial {x_2}}}(x)\Delta {x_2} + ... + \frac{{\partial u}}{{\partial {x_n}}}(x)\Delta {x_n} + o(\rho )\)

Ta gọi \(du(x) = \frac{{\partial u}}{{\partial {x_1}}}(x)\Delta {x_1} + \frac{{\partial u}}{{\partial {x_2}}}(x)\Delta {x_2} + ... + \frac{{\partial u}}{{\partial {x_n}}}(x)\Delta {x_n}\) là vi phân toàn phân của \(u=f(x_1,x_2,...,x_n)\) tại \(x=(x_1,x_2,...,x_n)\)

Khi \(u=x_i\) ta có \(du = d{x_i} = \Delta {x_i}\), nên ta viết: 

\(du = \frac{{\partial u}}{{\partial {x_1}}}d{x_1} + \frac{{\partial u}}{{\partial {x_2}}}d{x_2} + ... + \frac{{\partial u}}{{\partial {x_n}}}d{x_n}\)

Ví dụ: \(u = 3x^5 y - 2y^3z^2 + 6xyz\)

\(\Rightarrow {\rm{ }}du{\rm{ }} = \left( {15{x^4}y + 6yz} \right)dx{\rm{ }} + {\rm{ }}\left( {3{x^5} - 6{y^2}{z^2}{\rm{ }} + {\rm{ }}6xz} \right)dy{\rm{ }} + {\rm{ }}\left( {6xy - {\rm{ }}4{y^3}z} \right)dz\)

Định lý: Cho tâp mở \(D \subset {R^n}\). Nếu \(\forall i = \overline {1,n} ,\frac{{\partial u}}{{\partial {x_i}}}\) tồn tai và liên tục trên D chứa \(x = (x_1,x_2,...,x_n)\) thì u khả vi tại \(x = (x_1,x_2,...,x_n)\)

Ghi chú: Có khi \(\frac{{\partial u}}{{\partial {x_i}}}(x)\) tồn tai \(\forall i = \overline {1,n}\) nhưng u không khả vi tại x.

Ví dụ 1: Chứng tỏ rằng hàm \(f(x,y) = \sqrt[3]{{{x^3} + {y^3}}}\) không khả vi tại (0,0).

Trước hết, ta có các đạo hàm riêng sau:

\(\frac{{\partial f}}{{\partial x}}(0,0) = 1;\frac{{\partial f}}{{\partial y}}(0,0) = 1\)

Giả sử: \(\Delta f(0,0) = 1.\Delta x + 1.\Delta y + \alpha\)

Khi đó ta có:

\(\Delta f(0,0) = f(0 + \Delta x,0 + \Delta y) - f(0,0) = \sqrt[3]{{{{(\Delta x)}^3} + {{(\Delta y)}^3}}}\)

Như vậy: \(\alpha = \Delta f(0,0) - \Delta x - \Delta y = \sqrt[3]{{{{(\Delta x)}^3} + {{(\Delta y)}^3}}} - \Delta x - \Delta y\)

Ta lại có: \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0,\Delta y \to 0} \frac{\alpha }{{\sqrt {{{(\Delta x)}^2} + {{(\Delta y)}^2}} }} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0,\Delta y \to 0} \frac{{\sqrt[3]{{{{(\Delta x)}^3} + {{(\Delta y)}^3}}} - \Delta x - \Delta y}}{{\sqrt {{{(\Delta x)}^2} + {{(\Delta y)}^2}} }}\) không tồn tại

Vậy f không khả vi tại (0, 0)

Ví dụ 2: Cho hàm  

\(f(x,y) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{{2xy}}{{{x^2} + {y^2}}},\,\,\,khi\,(x,y) \ne (0,0)\\ 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,(x,y) = (0,0) \end{array} \right. \)

Tính \(\frac{{\partial f}}{{\partial x}}(0,0)\) và \(\frac{{\partial f}}{{\partial y}}(0,0)\). Hàm f có khả vi tại (0,0) hay không?

Ta có: \(\frac{{\partial f}}{{\partial x}}(0,0) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f(0 + \Delta x,0) - f(0,0)}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{0 - 0}}{{\Delta x}} = 0\)

\(\frac{{\partial f}}{{\partial y}}(0,0) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta y \to 0} \frac{{f(0,0 + \Delta y) - f(0,0)}}{{\Delta y}} = 0\)

Hàm f không khả vi tại (0,0) vì nó không liên tục tại (0,0).

Định nghĩa: Cho \(x = ({x_1},{x_2},...,{x_n}) \in U \subset {R^n},U\) mở. Giả sử \(\frac{{\partial u}}{{\partial {x_i}}}\) tồn tại và \(\frac{{\partial u}}{{\partial {x_i}}}\) có đao hàm riêng theo biến x_k tại x thì \(\frac{\partial }{{\partial {x_k}}}\left( {\frac{{\partial u}}{{\partial {x_i}}}} \right)(x)\) được gọi là đạo hàm riêng cấp 2 của u theo biến x_i, x_k, tại x và ta ký hiệu.

\(\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {x_i}\partial {x_k}}}(x)\,\,hay\,\,u_{{x_i}{x_k}}^{(2)}(x)\,\,hay\,\,u'{'_{{x_i}{x_k}}}(x)\,\,hay\,\,\,u'{'_{ik}}(x)\)

Nếu \(i \ne k\) thì \(\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {x_i}\partial {x_k}}}(x)\) và \(\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {x_i}\partial {x_k}}}(x)\) được gọi là đạo hàm hỗn hợp. Tương tự ta có các đạo hàm riêng cấp 3:

\(\frac{{{\partial ^3}u}}{{\partial x_i^2\partial {x_k}}} = \frac{\partial }{{\partial {x_i}}}\left( {\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {x_i}\partial {x_k}}}} \right),\,\,\frac{{{\partial ^3}u}}{{\partial {x_i}\partial {x_k}}} = \frac{\partial }{{\partial {x_k}}}\left( {\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {x_i}\partial {x_k}}}} \right)\)

\(\frac{{{\partial ^3}u}}{{\partial x_k^3}} = \frac{\partial }{{\partial {x_k}}}\left( {\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial x_k^2}}} \right),\,\,\frac{{{\partial ^3}u}}{{\partial {x_i}\partial {x_j}\partial {x_k}}} = \frac{\partial }{{\partial {x_k}}}\left( {\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {x_i}\partial {x_j}}}} \right)\)

Định lý Schwarz: Cho u là hàm xác định trên tập mở \(D \subset {R^n}\). Nếu u có các đạo hàm riêng \(\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {x_i}\partial {x_k}}},\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {x_k}\partial {x_i}}}\) liên tục trên D chứa \({\rm{(}}{{\rm{a}}_{\rm{1}}}{\rm{,}}{{\rm{a}}_{\rm{2}}}{\rm{,}}...{\rm{,}}{{\rm{a}}_n}{\rm{),}}\forall {\rm{i,k = }}\overline {1,n}\) thì 

\(\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {x_i}\partial {x_k}}}{\rm{(}}{{\rm{a}}_{\rm{1}}}{\rm{,}}{{\rm{a}}_{\rm{2}}}{\rm{,}}...{\rm{,}}{{\rm{a}}_n}{\rm{)}} = \frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {x_k}\partial {x_i}}}{\rm{(}}{{\rm{a}}_{\rm{1}}}{\rm{,}}{{\rm{a}}_{\rm{2}}}{\rm{,}}...{\rm{,}}{{\rm{a}}_n}{\rm{)}}\)

Ví dụ: \(f(x,y,z) = {x^3}{y^5}{z^8} + {x^2}{y^2} + {y^2}{z^2}\)

\(\frac{{\partial f}}{{\partial x}} = 3{x^2}{y^5}{z^8} + 2x{y^2},\,\,\frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial {x^2}}} = 6x{y^5}{z^8} + 2{y^2},\frac{{\partial f}}{{\partial x}} = 5{x^3}{y^4}{z^8} + 2{x^2}y + 2y{z^2}\)

Suy ra \(\frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial {x^2}}} = 20{x^3}{y^5}{z^8} + 2{x^2} + 2{z^2},\frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial x\partial y}} = \frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial x\partial y}} = 15{x^2}{y^4}{z^8} + 4xy\)

Ví dụ: Cho \(f(x,y,z) = {x^2} + {y^3} + {z^4} - {x^6}{y^8}{z^5}\)

\(\frac{{\partial f}}{{\partial x}} = 2x - 6{x^5}{y^8}{z^5},\frac{{\partial f}}{{\partial y}} = 3{y^2} - 8{x^6}{y^7}{z^5},\,\frac{{\partial f}}{{\partial z}} = 4{z^3} - 5{x^6}{y^8}{z^4}\)

Suy ra 

\(\begin{array}{l} \frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial x\partial y}} = \frac{\partial }{{\partial y}}\left( {\frac{\partial }{{\partial x}}} \right) = - 48{x^5}{y^7}{z^5}\\ \\ \frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial y\partial z}} = \frac{\partial }{{\partial x}}\left( {\frac{\partial }{{\partial y}}} \right) = - 48{x^5}{y^7}{z^5} = \frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial x\partial y}} \end{array}\)

Tương tự ta có: \(\frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial x\partial z}} = \frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial z\partial x}} = - 30{x^5}{y^8}{z^4}\)

\(\frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial y\partial z}} = \frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial z\partial y}} = - 40{x^6}{y^7}{z^4}\)

\(\frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial {x^2}}} = \frac{\partial }{{\partial x}}\left( {\frac{{\partial f}}{{\partial x}}} \right) = 2 - 30{x^4}{y^8}{z^5}\)

\(\frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial {y^2}}} = \frac{\partial }{{\partial y}}\left( {\frac{{\partial f}}{{\partial y}}} \right) = 6y - 56{x^6}{y^6}{z^5}\)

\(\frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial {z^2}}} = \frac{\partial }{{\partial z}}\left( {\frac{{\partial f}}{{\partial z}}} \right) = 12{z^2} - 20{x^6}{y^8}{z^3}\)

Cho \(u = f(x,y)\) có các đạo hàm riêng cấp n liên tục trên tập mở \(D \subset {R^n}\) chứa (x,y). Ta có vi phân cấp n của f tại (x,y) là:

\({d^n}f(x,y) = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k} \frac{{{\partial ^n}f(x,y)}}{{\partial {x^{n - k}}\partial {y^k}}}d{x^{n - k}}d{y^k}\)

Khi n = 2 ta có:

\({d^2}f(x,y) = \frac{{{\partial ^2}f(x,y)}}{{\partial {x^2}}}d{x^2} + 2\frac{{{\partial ^2}f(x,y)}}{{\partial x\partial y}}dxdy + \frac{{{\partial ^2}f(x,y)}}{{\partial {y^2}}}d{y^2}\)

Khi n = 3 ta có:

\({d^3}f(x,y) = \frac{{{\partial ^3}f(x,y)}}{{\partial {x^3}}}d{x^3} + 3\frac{{{\partial ^3}f(x,y)}}{{\partial {x^2}\partial y}}d{x^2}dy + 3\frac{{{\partial ^3}f(x,y)}}{{\partial x\partial {y^2}}}dxd{y^2} + \frac{{{\partial ^3}f(x,y)}}{{\partial {y^3}}}d{y^3}\)

Ví dụ: \(f(x,y) = x^3y^5\). Ta có: \(\frac{{\partial f}}{{\partial x}} = 3{x^2}{y^5};\frac{{\partial f}}{{\partial y}} = 5{x^3}{y^4}\)

\(\Rightarrow \frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial {x^2}}} = 6x{y^5};\frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial {y^2}}} = 20{x^3}{y^3};\frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial x\partial y}} = 15{x^2}{y^4} = \frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial y\partial x}}\)

\(\Rightarrow {d^2}f(x,y) = 6x{y^5}d{x^2} + 2(15{x^2}{y^4})dxdy + 20{x^3}{y^3}d{y^2}\)

Cho D là tập mở trong \({R^2},f:D \to R\) có các đạo hàm riêng cấp n liên tục trên D. Với \((x,y) \in D\) và \((h,k) \in R^2\) sao cho \((x+th,y+tk) \in D\)với mọi \(t \in [0,1]\). Khi đó tồn tại \(\theta \in (0,1)\) sao cho: 

\(f(x + h,y + k)\)

\(= f(x,y) + hf{'_x}(x,y) + kf{'_x} + \frac{1}{{2!}}\left[ {{h^2}hf{'_{xx}}(x,y) + 2hkhf{'_{xy}}(x,y) + {k^2}f{'_{yy}}(x,y)} \right]\)

\(+ ... + \frac{1}{{(n - 1)!}}\sum\limits_{i = 0}^{n - 1} {C_{n - 1}^i} {h^{n - 1 - i}}{k^i}\frac{{{\partial ^{n - 1}}f}}{{\partial {x^{n - 1 - i}}\partial {y^i}}}(x,y)\)

\(+ \frac{1}{{n!}}\sum\limits_{i = 0}^n {C_n^i} {h^{n - i}}{k^i}\frac{{{\partial ^n}f}}{{\partial {x^{n - i}}\partial {y^i}}}(x + \theta h,y + \theta k)\)

Nhận xét: Nếu đạt \(h = \Delta x,k = \Delta y\) thì khai triển Taylor trong lân cận của (x,y) là: \(f(x + \Delta x,y + \Delta y) = \sum\limits_{i = 0}^{n - 1} {\frac{{{d^i}f}}{{i!}}} (x,y) + \frac{{{d^n}f}}{{n!}}(x + \theta \Delta x,y + \theta \Delta y)\)

Ví dụ: Khai triển Taylor của hàm số \(f(x,y) = y^x\) trong lân cận của điểm (1,1) đến bậc 2 và tính gần đúng giá trị biểu thức \((1,02)^{1,01}\)

Ta có:

\(f(1,1) = 1\)

\(f{'_x}(x,y) = {y^x}\ln y\,\, \Rightarrow f{'_x}(1,1) = 0\)

\(f{'_y}(x,y) = x{y^{x - 1}}\, \Rightarrow f{'_y}(1,1) = 1\)

\(f{'_{xx}}(x,y) = {y^x}{\ln ^2}y\,\,\, \Rightarrow f{'_{xx}}(1,1) = 0\)

\(f{'_{xy}}(x,y) = {y^{x - 1}}(x\ln y + 1)\,\,\, \Rightarrow f'{'_{xy}}(1,1) = 1\)

\(f{'_{yy}}(x,y) = x(x - 1){y^{x - 2}}\,\,\, \Rightarrow f'{'_{yy}}(1,1) = 0\)

Vậy ta có: \(y^x=1+(y-1)+(x-1)(y-1)+R_2\)với \({R_2} = \frac{1}{{3!}}{d^3}f(1 + \theta (x - 1),1 + \theta (y - 1))\)

thỏa \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1,y \to 1} = \frac{{{R_2}}}{{{{(x - 1)}^2} + {{(y - 1)}^2}}} = 0\)

Suy ra \({\left( {1,02} \right)^{1,01}}{\rm{ }} \approx {\rm{ }}1{\rm{ }} + {\rm{ }}0,02{\rm{ }} + {\rm{ }}0,01.0,02{\rm{ }} = {\rm{ }}1,0202\)