Bài 1: Hàm nhiều biến - Khái niệm hàm nhiều biến

Cho $D\subset R^n$.

Ánh xạ $f:D\to R$

được gọi là hàm n biến xác định trên D.

Ví dụ: $f(x,y,z)=x^2-3xy+5y{z}^7$ có MXĐ là D = R³

$f(x,y,z)=\frac{x^2+xy-y^2}{xy{z}^2}$ có MXĐ là $D=R^3\mathrm{\setminus }\left\{(x,y,z)/xyz=0\right\}$

Với $x=(x_1,x_2,...,x_n),y=(y_1,y_2,...,y_n)$định nghĩa khoảng cách giữa x và y là

$d(x,y)=\sqrt{\sum _{i=1}^n{(x_i-y_i)}^2}$

với $x=(x_1,x_2,...,x_n)\in R^n$và $\epsilon >0$ ta gọi:

• $B\left(x,\epsilon \right)=\left\{y\in R^n/d\left(x,y\right)<\epsilon \right\}$là quả cầu mở tâm x, bán kính $\epsilon$
• $\bar{B}\left(x,\epsilon \right)=\left\{y\in R^n/d\left(x,y\right)\le \epsilon \right\}$là quả cầu đóng tâm x, bán kính $\epsilon$

Tập $D\subset R^n$ được gọi là tập mở nếu với mọi $x=(x_1,x_2,...,x_n)\in D$ tồn tại quả cầu mở tâm x bán kính $\epsilon$ chứa trong D. Tập $V\subset R^n$ được gọi là tập đóng nếu phần bù $R^n\mathrm{\setminus }V$ là tập mở.

Ví dụ:

$A=\left\{\left(x,y\right)\in R^2/x^2-y^2<4\right\}$là tập mở trong R²

$\bar{B}=\left\{(x,y,z)\in R^3/x^2+y^2+z{}^2\le 1\right\}$là tập đóng trong R³

Cho tập $D\subset R^n$, điểm $M\in R^n$ được gọi là điểm tụ của D nếu mọi tập mở V chứa M thì ta có 

$D\cap V\mathrm{\setminus }\{M\}\ne \mathrm{\varnothing }$

Định nghĩa: Cho hàm số f xác định trên tập $D\subset R^n$, giả sử $x_0=\left(x_1^0,x_2^0,...,x_n^0\right)\in D$ và x₀ là điểm tụ của D. Số A được gọi là giới hạn của f tại x₀ nếu $\mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }\alpha >0$ sao cho $x\in D$ và $0<d(x,x_0)<\alpha \Rightarrow \left|f(x)-A\right|<\epsilon$.

Ký hiệu: $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=Ahay\underset{(x_1,x_2,...,x_n)\to (x_1^0,...x_n^0)}{lim}f(x_1,x_2,...,x_n)=A$

Định nghĩa: Cho hàm số f xác định trên tập D chứa x₀. Ta nói f liên tục tại x₀ nếu $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=f(x_0)$

f liên tục trên D nếu f liên tục tại mọi $x\in D$.

Ghi chú: Sự liên quan giữa giới hạn hàm và giới hạn dãy tương tự như hàm một biến.

Ví dụ:

i) $f(x,y)=\frac{3x-y}{x+5y}$ có $\underset{x\to 0}{lim}\left(\underset{y\to 0}{lim}f(x,y)\right)=3$

và $\underset{y\to 0}{lim}\left(\underset{x\to 0}{lim}f(x,y)\right)=-\frac{1}{5}$ nhưng $\underset{x\to 0,y\to 0}{lim}f(x,y)$ không tồn tại vì

$\left(x_n,y_n\right)=\left(\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right)\to (0,0)$và $\left(x{}_n^{\prime },y{}_n^{\prime }\right)=\left(\frac{2}{n},\frac{1}{n}\right)\to (0,0)$

mà $f\left(x_n,y_n\right)=\frac{2/n}{6/n}\to \frac{1}{3}$ và $f\left(x{}_n^{\prime },y{}_n^{\prime }\right)=\frac{5/n}{7/n}\to \frac{5}{7}$

ii) $f\left(x,y\right)=\frac{x^2{y}^2}{x^2{y}^2+{(x-y)}^2}$ có $\underset{x\to 0}{lim}\left[\underset{y\to 0}{lim}f(x,y)\right]=0$ và $\underset{y\to 0}{lim}\left[\underset{x\to 0}{lim}f(x,y)\right]=0$ nhưng $\underset{x\to 0,y\to 0}{lim}f(x,y)$ không tồn tại vì 

$\left(x_n,y_n\right)=\left(\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right)\to (0,0)$ và $\left(x{}_n^{\prime },y{}_n^{\prime }\right)=\left(\frac{1}{n},-\frac{1}{n}\right)\to (0,0)$

mà $f\left(x_n,y_n\right)=\frac{1/n^4}{1/n^4}\to 1$ và $f(x{}_n^{\prime },y{}_n^{\prime })=\frac{\frac{1}{n^4}}{\frac{1}{n^4}+\frac{4}{n^4}}\to \frac{1}{5}$

Định nghĩa: Giả sử $u=f(x_1,x_2,...,x_n)$ xác định trên tập mở $D\subset R^n$ và $A(a_1,a_2,a_3,...,a_n)\in D$. Nếu

$\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(a_1,a_2,...a_i+h,...,a_n)-f(a_1,a_2,...a_n)}{h}$

tồn tại hữu hạn thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm riêng của hàm $u=f(x_1,x_2,...x_n)$ tại $A(a_1,a_2,...a_n)$ theo biến x_i.

Ký hiệu: $\frac{\partial f}{\partial x_i}({\mathrm{a}}_1,{\mathrm{a}}_2,...,{\mathrm{a}}_{\mathrm{n}})\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{y}\frac{\partial u}{\partial x_i}({\mathrm{a}}_1,{\mathrm{a}}_2,...,{\mathrm{a}}_{\mathrm{n}})$ hay $u{}_{x_i}^{\prime }hayf{}_{x_i}^{\prime }hayu{}_i^{\prime }hayf{}_i^{\prime }$

Nhận xét: đạo hàm riêng theo biến x_i thì riêng x_i coi như biến số và các x_k với $k\ne i$ thì coi như hàng số.

Ví dụ: $f(x,y,z)=x{y}^3{z}^6+y^2+5y^4{z}^3+8x^{5}z$, ta có:

$\frac{\partial f}{\partial x}=y^3{z}^6+40x^{4}z,\frac{\partial f}{\partial y}=3x{y}^2{z}^6+2y+20y^3{z}^3$

$\frac{\partial f}{\partial z}=6x{y}^3{z}^5+15y^4{z}^2+8x^5$

Cho $x=(x_1,x_2,...,x_n)\in U\in R^n,U$mở

$t=(t_1,t_2,...,t_m)\in V\in R^m,V$mở

$f:U\to R,g_k:V\to U\subset R^n,\mathrm{\forall }k=\overline{1,n}$

Giả sử $g_k(V)\subset U$

Cho $z=f(x_1,x_2,...,x_n);x_k=g_k(t_1,t_2,...,t_m),k=\overline{1,n}$. Giả sử f có các đạo hàm riêng theo biến $x_k,k=\overline{1,n}$ tại $x;g_k$ có đạo hàm riêng theo biến $t_i,i=\overline{1,m}$ tại t. Khi đó, ta có: $\frac{\partial z}{\partial t_i}(t)=\sum _{k=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_k}(x)\frac{\partial x_k}{\partial t_i}(t),i=\overline{1,m}$

Ví dụ: $z=f(x_1,x_2,x_3);x_k=g_k(t_1,t_2,t_3,t_4),k=1,2,3$

$\frac{\partial z}{\partial t_1}=\frac{\partial z}{\partial x_1}\frac{\partial x}{\partial t_1}+\frac{\partial z}{\partial x_2}\frac{\partial x_2}{\partial t_1}+\frac{\partial z}{\partial x_3}\frac{\partial x_3}{\partial t_1}$

$\frac{\partial z}{\partial t_2}=\frac{\partial z}{\partial x_1}\frac{\partial x}{\partial t_2}+\frac{\partial z}{\partial x_2}\frac{\partial x_2}{\partial t_2}+\frac{\partial z}{\partial x_3}\frac{\partial x_3}{\partial t_2}$

Tương tự cho $\frac{\partial z}{\partial t_3}$ và $\frac{\partial z}{\partial t_4}$

Ví dụ: $f(x_1,x_2)=x_1^2-x_2^3;x_1=3t_1+t_2^2,x_2=t_1^2+t_2^4$

$\frac{\partial f}{\partial t_2}=\frac{\partial t}{\partial x_1}\frac{\partial x_1}{\partial t_1}+\frac{\partial f}{\partial x_2}\frac{\partial x_2}{\partial t_1}=2x_1(3)+(-3x_2^2)(2t_1)=18t_1+6t_2^2-6t_1(t_1^2+t_2^4{)}^2$

$\frac{\partial f}{\partial t_2}=\frac{\partial t}{\partial x_1}\frac{\partial x_1}{\partial t_2}+\frac{\partial f}{\partial x_2}\frac{\partial x_2}{\partial t_2}=(2x_1)(2t_2)+(-3x_2^2)(4t_2^3)=4(3t_1+t_2^2)t_2-12(t_1^2+t_2^4)t_2^3$

Hàm $u=f(x_1,x_2,...,x_n)$ xác định trên tập mở D chứa $x=(x_1,x_2,...,x_n)$ được gọi là khả vi tại $x=(x_1,x_2,...,x_n)$ nếu số gia toàn phần của nó $\mathrm{\Delta }u=f(x_1+\mathrm{\Delta }{x}_1,x_2+\mathrm{\Delta }{x}_2,...,\mathrm{\Delta }{x}_n)-f(x_1,x_2,...,x_n)$

có thể biểu diễn dưới dạng $\mathrm{\Delta }u=A_1\mathrm{\Delta }{x}_1+A_2\mathrm{\Delta }{x}_2+...+A_n\mathrm{\Delta }{x}_n+o(\rho )$

với A_i không phụ thuộc vào $\mathrm{\Delta }{x}_i,\mathrm{\forall }i=\overline{1,n}$ và $\underset{\rho \to 0}{lim}\frac{o(\rho )}{\rho }=0$, trong đó $\rho =\sqrt{{(\mathrm{\Delta }{x}_1)}^2+{(\mathrm{\Delta }{x}_2)}^2+...+{(\mathrm{\Delta }{x}_n)}^2}>0$

Nếu hàm $u=f(x_1,x_2,...,x_n)$ khả vi tại $x=(x_1,x_2,...,x_n)$ thì $\mathrm{\forall }i=\overline{1,n}$ ta có $\frac{\partial u}{\partial x_i}(x)$ tồn tại và $\frac{\partial u}{\partial x_i}(x)=A_i$

$\Rightarrow \mathrm{\Delta }u=\frac{\partial u}{\partial x_1}(x)\mathrm{\Delta }{x}_1+\frac{\partial u}{\partial x_2}(x)\mathrm{\Delta }{x}_2+...+\frac{\partial u}{\partial x_n}(x)\mathrm{\Delta }{x}_n+o(\rho )$

Ta gọi $du(x)=\frac{\partial u}{\partial x_1}(x)\mathrm{\Delta }{x}_1+\frac{\partial u}{\partial x_2}(x)\mathrm{\Delta }{x}_2+...+\frac{\partial u}{\partial x_n}(x)\mathrm{\Delta }{x}_n$ là vi phân toàn phân của $u=f(x_1,x_2,...,x_n)$ tại $x=(x_1,x_2,...,x_n)$

Khi $u=x_i$ ta có $du=d{x}_i=\mathrm{\Delta }{x}_i$, nên ta viết: 

$du=\frac{\partial u}{\partial x_1}d{x}_1+\frac{\partial u}{\partial x_2}d{x}_2+...+\frac{\partial u}{\partial x_n}d{x}_n$

Ví dụ: $u=3x^{5}y-2y^3{z}^2+6xyz$

$\Rightarrow du=\left(15x^{4}y+6yz\right)dx+\left(3x^5-6y^2{z}^2+6xz\right)dy+\left(6xy-4y^{3}z\right)dz$

Định lý: Cho tâp mở $D\subset R^n$. Nếu $\mathrm{\forall }i=\overline{1,n},\frac{\partial u}{\partial x_i}$ tồn tai và liên tục trên D chứa $x=(x_1,x_2,...,x_n)$ thì u khả vi tại $x=(x_1,x_2,...,x_n)$

Ghi chú: Có khi $\frac{\partial u}{\partial x_i}(x)$ tồn tai $\mathrm{\forall }i=\overline{1,n}$ nhưng u không khả vi tại x.

Ví dụ 1: Chứng tỏ rằng hàm $f(x,y)=\sqrt[3]{x^3+y^3}$ không khả vi tại (0,0).

Trước hết, ta có các đạo hàm riêng sau:

$\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=1;\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=1$

Giả sử: $\mathrm{\Delta }f(0,0)=1.\mathrm{\Delta }x+1.\mathrm{\Delta }y+\alpha$

Khi đó ta có:

$\mathrm{\Delta }f(0,0)=f(0+\mathrm{\Delta }x,0+\mathrm{\Delta }y)-f(0,0)=\sqrt[3]{{(\mathrm{\Delta }x)}^3+{(\mathrm{\Delta }y)}^3}$

Như vậy: $\alpha =\mathrm{\Delta }f(0,0)-\mathrm{\Delta }x-\mathrm{\Delta }y=\sqrt[3]{{(\mathrm{\Delta }x)}^3+{(\mathrm{\Delta }y)}^3}-\mathrm{\Delta }x-\mathrm{\Delta }y$

Ta lại có: $\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0,\mathrm{\Delta }y\to 0}{lim}\frac{\alpha }{\sqrt{{(\mathrm{\Delta }x)}^2+{(\mathrm{\Delta }y)}^2}}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0,\mathrm{\Delta }y\to 0}{lim}\frac{\sqrt[3]{{(\mathrm{\Delta }x)}^3+{(\mathrm{\Delta }y)}^3}-\mathrm{\Delta }x-\mathrm{\Delta }y}{\sqrt{{(\mathrm{\Delta }x)}^2+{(\mathrm{\Delta }y)}^2}}$ không tồn tại

Vậy f không khả vi tại (0, 0)

Ví dụ 2: Cho hàm  

$f(x,y)=\{\begin{array}{l}\frac{2xy}{x^2+y^2},khi(x,y)\ne (0,0)\\ 0khi(x,y)=(0,0)\end{array}$

Tính $\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)$ và $\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)$. Hàm f có khả vi tại (0,0) hay không?

Ta có: $\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{f(0+\mathrm{\Delta }x,0)-f(0,0)}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{0-0}{\mathrm{\Delta }x}=0$

$\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=\underset{\mathrm{\Delta }y\to 0}{lim}\frac{f(0,0+\mathrm{\Delta }y)-f(0,0)}{\mathrm{\Delta }y}=0$

Hàm f không khả vi tại (0,0) vì nó không liên tục tại (0,0).

Định nghĩa: Cho $x=(x_1,x_2,...,x_n)\in U\subset R^n,U$ mở. Giả sử $\frac{\partial u}{\partial x_i}$ tồn tại và $\frac{\partial u}{\partial x_i}$ có đao hàm riêng theo biến x_k tại x thì $\frac{\partial }{\partial x_k}\left(\frac{\partial u}{\partial x_i}\right)(x)$ được gọi là đạo hàm riêng cấp 2 của u theo biến x_i, x_k, tại x và ta ký hiệu.

$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x_i\partial x_k}(x)hay{u}_{x_i{x}_k}^{(2)}(x)hay{u}^{\prime }{}_{x_i{x}_k}^{\prime }(x)hay{u}^{\prime }{}_{ik}^{\prime }(x)$

Nếu $i\ne k$ thì $\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x_i\partial x_k}(x)$ và $\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x_i\partial x_k}(x)$ được gọi là đạo hàm hỗn hợp. Tương tự ta có các đạo hàm riêng cấp 3:

$\frac{{\partial }^{3}u}{\partial x_i^2\partial x_k}=\frac{\partial }{\partial x_i}\left(\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x_i\partial x_k}\right),\frac{{\partial }^{3}u}{\partial x_i\partial x_k}=\frac{\partial }{\partial x_k}\left(\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x_i\partial x_k}\right)$

$\frac{{\partial }^{3}u}{\partial x_k^3}=\frac{\partial }{\partial x_k}\left(\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x_k^2}\right),\frac{{\partial }^{3}u}{\partial x_i\partial x_j\partial x_k}=\frac{\partial }{\partial x_k}\left(\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x_i\partial x_j}\right)$

Định lý Schwarz: Cho u là hàm xác định trên tập mở $D\subset R^n$. Nếu u có các đạo hàm riêng $\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x_i\partial x_k},\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x_k\partial x_i}$ liên tục trên D chứa $({\mathrm{a}}_1,{\mathrm{a}}_2,...,{\mathrm{a}}_n),\mathrm{\forall }\mathrm{i},\mathrm{k}=\overline{1,n}$ thì 

$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x_i\partial x_k}({\mathrm{a}}_1,{\mathrm{a}}_2,...,{\mathrm{a}}_n)=\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x_k\partial x_i}({\mathrm{a}}_1,{\mathrm{a}}_2,...,{\mathrm{a}}_n)$

Ví dụ: $f(x,y,z)=x^3{y}^5{z}^8+x^2{y}^2+y^2{z}^2$

$\frac{\partial f}{\partial x}=3x^2{y}^5{z}^8+2x{y}^2,\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}=6x{y}^5{z}^8+2y^2,\frac{\partial f}{\partial x}=5x^3{y}^4{z}^8+2x^{2}y+2y{z}^2$

Suy ra $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}=20x^3{y}^5{z}^8+2x^2+2z^2,\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}=15x^2{y}^4{z}^8+4xy$

Ví dụ: Cho $f(x,y,z)=x^2+y^3+z^4-x^6{y}^8{z}^5$

$\frac{\partial f}{\partial x}=2x-6x^5{y}^8{z}^5,\frac{\partial f}{\partial y}=3y^2-8x^6{y}^7{z}^5,\frac{\partial f}{\partial z}=4z^3-5x^6{y}^8{z}^4$

Suy ra 

$\begin{array}{l}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial }{\partial x}\right)=-48x^5{y}^7{z}^5\\ \\ \frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial z}=\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial }{\partial y}\right)=-48x^5{y}^7{z}^5=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}\end{array}$

Tương tự ta có: $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial z}=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial z\partial x}=-30x^5{y}^8{z}^4$

$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial z}=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial z\partial y}=-40x^6{y}^7{z}^4$

$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}=\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)=2-30x^4{y}^8{z}^5$

$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}=\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)=6y-56x^6{y}^6{z}^5$

$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial z^2}=\frac{\partial }{\partial z}\left(\frac{\partial f}{\partial z}\right)=12z^2-20x^6{y}^8{z}^3$

Cho $u=f(x,y)$ có các đạo hàm riêng cấp n liên tục trên tập mở $D\subset R^n$ chứa (x,y). Ta có vi phân cấp n của f tại (x,y) là:

$d^{n}f(x,y)=\sum _{k=0}^n{C}_n^k\frac{{\partial }^{n}f(x,y)}{\partial x^{n-k}\partial y^k}d{x}^{n-k}d{y}^k$

Khi n = 2 ta có:

$d^{2}f(x,y)=\frac{{\partial }^{2}f(x,y)}{\partial x^2}d{x}^2+2\frac{{\partial }^{2}f(x,y)}{\partial x\partial y}dxdy+\frac{{\partial }^{2}f(x,y)}{\partial y^2}d{y}^2$

Khi n = 3 ta có:

$d^{3}f(x,y)=\frac{{\partial }^{3}f(x,y)}{\partial x^3}d{x}^3+3\frac{{\partial }^{3}f(x,y)}{\partial x^2\partial y}d{x}^{2}dy+3\frac{{\partial }^{3}f(x,y)}{\partial x\partial y^2}dxd{y}^2+\frac{{\partial }^{3}f(x,y)}{\partial y^3}d{y}^3$

Ví dụ: $f(x,y)=x^3{y}^5$. Ta có: $\frac{\partial f}{\partial x}=3x^2{y}^5;\frac{\partial f}{\partial y}=5x^3{y}^4$

$\Rightarrow \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}=6x{y}^5;\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}=20x^3{y}^3;\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}=15x^2{y}^4=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}$

$\Rightarrow d^{2}f(x,y)=6x{y}^{5}d{x}^2+2(15x^2{y}^4)dxdy+20x^3{y}^{3}d{y}^2$

Cho D là tập mở trong $R^2,f:D\to R$ có các đạo hàm riêng cấp n liên tục trên D. Với $(x,y)\in D$ và $(h,k)\in R^2$ sao cho $(x+th,y+tk)\in D$với mọi $t\in [0,1]$. Khi đó tồn tại $\theta \in (0,1)$ sao cho: 

$f(x+h,y+k)$

$=f(x,y)+hf{}_x^{\prime }(x,y)+kf{}_x^{\prime }+\frac{1}{2!}\left[h^{2}hf{}_{xx}^{\prime }(x,y)+2hkhf{}_{xy}^{\prime }(x,y)+k^{2}f{}_{yy}^{\prime }(x,y)\right]$

$+...+\frac{1}{(n-1)!}\sum _{i=0}^{n-1}{C}_{n-1}^i{h}^{n-1-i}{k}^i\frac{{\partial }^{n-1}f}{\partial x^{n-1-i}\partial y^i}(x,y)$

$+\frac{1}{n!}\sum _{i=0}^n{C}_n^i{h}^{n-i}{k}^i\frac{{\partial }^{n}f}{\partial x^{n-i}\partial y^i}(x+\theta h,y+\theta k)$

Nhận xét: Nếu đạt $h=\mathrm{\Delta }x,k=\mathrm{\Delta }y$ thì khai triển Taylor trong lân cận của (x,y) là: $f(x+\mathrm{\Delta }x,y+\mathrm{\Delta }y)=\sum _{i=0}^{n-1}\frac{d^{i}f}{i!}(x,y)+\frac{d^{n}f}{n!}(x+\theta \mathrm{\Delta }x,y+\theta \mathrm{\Delta }y)$

Ví dụ: Khai triển Taylor của hàm số $f(x,y)=y^x$ trong lân cận của điểm (1,1) đến bậc 2 và tính gần đúng giá trị biểu thức $(1,02{)}^{1,01}$

Ta có:

$f(1,1)=1$

$f{}_x^{\prime }(x,y)=y^x\ln y\Rightarrow f{}_x^{\prime }(1,1)=0$

$f{}_y^{\prime }(x,y)=x{y}^{x-1}\Rightarrow f{}_y^{\prime }(1,1)=1$

$f{}_{xx}^{\prime }(x,y)=y^x{\ln }^{2}y\Rightarrow f{}_{xx}^{\prime }(1,1)=0$

$f{}_{xy}^{\prime }(x,y)=y^{x-1}(x\ln y+1)\Rightarrow f^{\prime }{}_{xy}^{\prime }(1,1)=1$

$f{}_{yy}^{\prime }(x,y)=x(x-1)y^{x-2}\Rightarrow f^{\prime }{}_{yy}^{\prime }(1,1)=0$

Vậy ta có: $y^x=1+(y-1)+(x-1)(y-1)+R_2$với $R_2=\frac{1}{3!}{d}^{3}f(1+\theta (x-1),1+\theta (y-1))$

thỏa $\underset{x\to 1,y\to 1}{lim}=\frac{R_2}{{(x-1)}^2+{(y-1)}^2}=0$

Suy ra ${\left(1,02\right)}^{1,01}\approx 1+0,02+0,01.0,02=1,0202$