Bài 2: Ánh xạ

Cho hai tập hợp $X,Y\ne \mathrm{\varnothing }$, một phép liên kết f tương ứng mỗi phần tử x $\in$ X với duy nhất phần tử y $\in$ Y được gọi là một ánh xạ từ X vào Y.

Ký hiệu: f :  X → Y

$x\mapsto y=f(x)$

Khi đó X gọi là tập hợp nguồn (miền xác định) và Y gọi là tập hợp đích (miền ảnh).

Nhận xét : f : X → Y là một ánh xạ nếu mọi phần tử của X đều có ảnh duy nhất ($\in$ Y)

Ánh xạ f : X → R với $X\subset R$ được gọi là một hàm số thực với biến số thực số thực.

Cho ánh xạ f : X → Y

$A\subset X$, ảnh của tập A là $f(A)=\left\{f(x)\in Y|x\in A\right\}$

Ảnh ngược của $B\subset Y$ là $f^{-1}(B)=\left\{x\in X|f(x)\in B\right\}$

Đặc biệt khi $B=\left\{y\right\}\subset Y$ ta viết $f^{-1}(\{y\})=f^{-1}(y)=\left\{x\in X|f(x)=y\right\}$

$x\in f^{-1}(y)$ được gọi là ảnh ngược của y

Ví dụ: Cho f : R → R, f(x) = x² và B = {-5, 2, 4, 9, 0}

Thì 

$\begin{array}{l}{f}^{-1}\left(B\right)=\left\{\pm \sqrt{2},\pm 2,\pm 3,0\right\}\\ f^{-1}\left(169\right)=\left\{\pm 13\right\};f^{-1}\left(-3\right)=\mathrm{\varnothing }\\ f^{-1}\left(2\right)=\left\{\pm \sqrt{2}\right\};f^{-1}\left(-5\right)=\mathrm{\varnothing }\end{array}$

Cho ánh xạ f : X→ Y, ta nói f là toàn ánh khi và chỉ khi f(X) = Y.

Ta có:

$f(X)=Y\iff \mathrm{\forall }y\in Y,\mathrm{\exists }\in X:f(x)=y$

$\iff \mathrm{\forall }y\in Y$, phương trình y = f(x) có ít nhất một nghiệm.

$\iff \mathrm{\forall }y\in Y,f^{-1}(y)\ne \mathrm{\varnothing }$

Ví dụ:

i) f : R → R, f(x) =x² không là toàn ánh vì $f^{-1}(-2)=\mathrm{\varnothing }$ (phương trình x² = 2 : vô nghiệm)

ii) f : R → R⁺, f(x) = x² là toàn ánh vì $\mathrm{\forall }y\in R^{+}$, phương trình f(x) = y ⇔ Z² = y luôn có nghiệm $x=\pm \sqrt{y}$

Nhận xét: Giả sử f : X → Y là toàn ánh và X, Y là tập hợp hữu hạn thì card X > card Y.

Cho ánh xạ f: X → Y.

f là đơn ánh $\mathrm{\forall }{x}_1,x_2\in Xva{x}_1\ne x_2\Rightarrow f(x_1)\ne f(x_2)$

Ta có: f là đơn ánh

“$\iff \mathrm{\forall }{x}_1,x_2\in X$ và f(x₁) = f(x₂) ⇒ x₁ = x₂”

$\iff \mathrm{\forall }y\in Y$, phương trình y = f(x) có nhiều nhất là một nghiệm”

 $\iff \mathrm{\forall }y\in Y,f^{-1}(y)=\mathrm{\varnothing }$ hay $f^{-1}(y)$ có đúng một phần tử”

Ví dụ:

f : R → R , f(x) = x² không là đơn ánh vì f(-2) = f(2) = 4

f : R⁺ → R hay R^- →  R, f(x) = x² là đơn ánh

f : R → R, $f(x)=\frac{3x-5}{7}$ là đơn ánh vì

$\begin{array}{l}\mathrm{\forall }{x}_1{x}_2\in Rvaf(x_1)=f(x_2)\\ \iff \frac{3x_1-5}{7}=\frac{3x_2-5}{7}\iff x_1=x_2\end{array}$

Cho ánh xạ f: X → Y.

f là song ánh ⇔ f là đơn ánh và f là toàn ánh.

Ta có: f là song ánh

$\iff \mathrm{\forall }y\in Y$, phương trình f(x) = y có duy nhất nghiệm

Cho hai ánh xạ f : X → Y và g: Y → Z.

Ánh xạ h : X → Z được định nghĩa  h(x) = g[f(x)], $\mathrm{\forall }x\in X$

Ký hiệu: h = g_of được gọi là ánh xạ hợp (ánh xạ tích) của f và g.

Ví dụ:

$\begin{array}{l}f:R\to [5;+\mathrm{\infty }),f(x)=x^2+5\\ g:[5;+\mathrm{\infty })\to R^{-},g(x)=-\sqrt{x+2}\end{array}$

Thì $g_{o}f(x)=g(x^2+5)=-\sqrt{(x^2+5)+2}=-\sqrt{x^2+7}$

Ví dụ: $f,g:R\to R;f(x)=3x^2-x;g(x)=\frac{2x+5}{4}$

Thì 

$g_{o}f(x)=g(3x^2-x)=\frac{2(3x^2-x)+5}{4}=\frac{6x^2-2x+5}{4}$

$f_{o}g(x)=f\left(\frac{2x+5}{4}\right)=3{\left(\frac{2x+5}{4}\right)}^2-\frac{2x+5}{4}=\frac{12x^2+52x+55}{16}$

Nhận xét:

• Thông thường, $g_{o}f\ne f_{o}g$
• ${\left(g_{o}f\right)}^{-1}={f^{-1}}_o{g}^{-1}$ (giả sử f, g là song ánh)
• ${f^{-1}}_o{f}^{-1}(y)=y,\mathrm{\forall }y\in Y$ (f:X → Y là song ánh)
• ${f^{-1}}_o{f}^{-1}(x)=x,\mathrm{\forall }x\in X$ (f:X → Y là song ánh)
• Giả sử $f_o(g_{o}h)$ tồn tại, ta có: $(f_{o}g{)}_{o}h=f_o(g_{o}h)$

• Một tập A được nói là hữu hạn và có n phần tử nếu tồn tại một song ánh giữa A và tập con {1, 2, 3,..., n} của N . Khi đó, ta viết: CardA = n hay |A| = n.
• Nếu tập A không hữu hạn, ta nói A vô hạn.
• Hai tập A và B được nói là đồng lực lượng nếu tồn tại một song ánh từ A vào B.
• Một tập A được nói là đếm được nếu tồn tại một song ánh giữa A và tập con N của N . Khi đó, nếu N = N thì ta nói A là tập vô hạn đếm được. Nói cách khác, ta nói A là tập vô hạn đếm được nếu tồn tại một song ánh giữa A và tập N .