Nội dung bài giảng Bài 2: Ánh xạ sau đây sẽ giúp các bạn tìm hiểu về định nghĩa, nghịch ảnh, toàn ánh, đơn ánh, song ánh, ảnh xạ ngược, ảnh xạ hợp. Mời các bạn cùng tham khảo!
Tóm tắt lý thuyết
1. Định nghĩa
Cho hai tập hợp \(X,Y \ne \emptyset\), một phép liên kết f tương ứng mỗi phần tử x \(\in\) X với duy nhất phần tử y \(\in\) Y được gọi là một ánh xạ từ X vào Y.
Ký hiệu: f : X → Y
\(x\, \mapsto y = f(x)\)
Khi đó X gọi là tập hợp nguồn (miền xác định) và Y gọi là tập hợp đích (miền ảnh).
Nhận xét : f : X → Y là một ánh xạ nếu mọi phần tử của X đều có ảnh duy nhất (\(\in\) Y)
Ánh xạ f : X → R với \(X \subset R\) được gọi là một hàm số thực với biến số thực số thực.
2. Nghịch ảnh: (ảnh ngược, tiền ảnh)
Cho ánh xạ f : X → Y
\(A \subset X\), ảnh của tập A là \(f(A) = \left\{ {f(x) \in Y\left| {x \in A} \right.} \right\}\)
Ảnh ngược của \(B \subset Y\) là \({f^{ - 1}}(B) = \left\{ {x \in X\left| {f(x)} \right. \in B} \right\}\)
Đặc biệt khi \(B = \left\{ y \right\} \subset Y\) ta viết \({f^{ - 1}}(\{ y\} ) = {f^{ - 1}}(y) = \left\{ {x \in X\left| {f(x) = y} \right.} \right\}\)
\(x \in {f^{ - 1}}(y)\) được gọi là ảnh ngược của y
Ví dụ: Cho f : R → R, f(x) = x2 và B = {-5, 2, 4, 9, 0}
Thì
\(\begin{array}{l} {f^{ - 1}}\left( B \right) = {\rm{ }}\left\{ { \pm \sqrt 2 , \pm 2, \pm 3,0} \right\}\\ {f^{ - 1}}\left( {169} \right) = \left\{ { \pm 13} \right\};{f^{ - 1}}\left( { - 3} \right) = {\rm{ }}\emptyset \\ {f^{ - 1}}\left( 2 \right) = \left\{ { \pm \sqrt 2 } \right\};{f^{ - 1}}\left( { - 5} \right) = \emptyset \end{array}\)
3. Toàn ánh:
Cho ánh xạ f : X→ Y, ta nói f là toàn ánh khi và chỉ khi f(X) = Y.
Ta có:
\(f(X) = Y \Leftrightarrow \forall y \in Y,\exists \in X:f(x) = y\)
\(\Leftrightarrow \forall y \in Y\), phương trình y = f(x) có ít nhất một nghiệm.
\( \Leftrightarrow \forall y \in Y,{f^{ - 1}}(y) \ne \emptyset\)
Ví dụ:
i) f : R → R, f(x) =x2 không là toàn ánh vì \({f^{ - 1}}( - 2) = \emptyset\) (phương trình x2 = 2 : vô nghiệm)
ii) f : R → R+, f(x) = x2 là toàn ánh vì \(\forall y \in {R^ + }\), phương trình f(x) = y ⇔ Z2 = y luôn có nghiệm \(x = \pm \sqrt y\)
Nhận xét: Giả sử f : X → Y là toàn ánh và X, Y là tập hợp hữu hạn thì card X > card Y.
4. Đơn ánh
Cho ánh xạ f: X → Y.
f là đơn ánh \(\forall {x_1},{x_2} \in X\,va\,{x_1} \ne {x_2} \Rightarrow f({x_1}) \ne f({x_2})\)
Ta có: f là đơn ánh
“\( \Leftrightarrow \forall {x_1},{x_2} \in X\) và f(x1) = f(x2) ⇒ x1 = x2”
\(\Leftrightarrow \forall y \in Y\), phương trình y = f(x) có nhiều nhất là một nghiệm”
\(\Leftrightarrow \forall y \in Y,{f^{ - 1}}(y) = \emptyset\) hay \({f^{ - 1}}(y)\) có đúng một phần tử”
Ví dụ:
f : R → R , f(x) = x2 không là đơn ánh vì f(-2) = f(2) = 4
f : R+ → R hay R- → R, f(x) = x2 là đơn ánh
f : R → R, \(f(x) = \frac{{3x - 5}}{7}\) là đơn ánh vì
\(\begin{array}{l} \forall {x_1}{x_2} \in R\,\,va\,\,f({x_1}) = f({x_2})\\ \Leftrightarrow \frac{{3{x_1} - 5}}{7} = \frac{{3{x_2} - 5}}{7} \Leftrightarrow {x_1} = {x_2} \end{array}\)
5. Song ánh:
Cho ánh xạ f: X → Y.
f là song ánh ⇔ f là đơn ánh và f là toàn ánh.
Ta có: f là song ánh
\(\Leftrightarrow \forall y \in Y\), phương trình f(x) = y có duy nhất nghiệm
\(\Leftrightarrow \forall y \in Y,{f^{ - 1}}(y)\) có duy nhất một phần tử.
Ví dụ:
\(f:R \to R;\,f(x) = \frac{{3x - 5}}{7}\) là song ánh vì \(\forall y \in R\), phương trình \(y = \frac{{3x - 5}}{7}\) có nghiệm duy nhất \(x = \frac{{7x + 5}}{3}\)
6. Ảnh xạ ngược:
Nếu f : X → Y là song ánh \(x \mapsto f(x)\) thì ánh xạ sau được gọi là ánh xạ ngược của f :
\(\begin{array}{l} {f^{ - 1}}:Y \to X\\ y = f(x) \mapsto x = {f^{ - 1}}(y) \end{array}\)
Ví dụ:
\(\begin{array}{l} f:{R^ + } \to {R^ + },f(x) = {x^2}\\ (y = {x^2} \Leftrightarrow x = \sqrt y ,x,y \ge 0)\\ {f^{ - 1}}(y) = \sqrt y (x,y \ge 0)\,\,hay\,{f^{ - 1}}(x) = \sqrt x \, \end{array} \)
Ví dụ:
\(\begin{array}{l} f:{R^ - } \to {R^ + },f(x) = {x^2}\\ {f^{ - 1}}(y) = - \sqrt y \,\,hay\,{f^{ - 1}}(x) = - \sqrt x \, \end{array}\)
Ví dụ:
\(\begin{array}{l} f:R \to {R^ + }\backslash \{ 0\} ;f(x) = {3^x}\\ {f^{ - 1}}:{R^ + }\backslash \{ 0\} \to R\,\,hay\,{f^{ - 1}}(x) = {\log _3}x \end{array} \)
7. Ảnh xạ hợp: (Ánh xạ tích)
Cho hai ánh xạ f : X → Y và g: Y → Z.
Ánh xạ h : X → Z được định nghĩa h(x) = g[f(x)], \(\forall x \in X\)
Ký hiệu: h = gof được gọi là ánh xạ hợp (ánh xạ tích) của f và g.
Ví dụ:
\(\begin{array}{l} f:R \to [5; + \infty ),f(x) = {x^2} + 5\\ g:\,[5; + \infty ) \to {R^ - },\,g(x) = - \sqrt {x + 2} \end{array}\)
Thì \({g_o}f(x) = g({x^2} + 5) = - \sqrt {({x^2} + 5) + 2} = - \sqrt {{x^2} + 7}\)
Ví dụ: \(f,g:R \to R;f(x) = 3{x^2} - x;\,\,g(x) = \frac{{2x + 5}}{4}\)
Thì
\({g_o}f(x) = g(3{x^2} - x) = \frac{{2(3{x^2} - x) + 5}}{4} = \frac{{6{x^2} - 2x + 5}}{4}\)
\({f_o}g(x) = f\left( {\frac{{2x + 5}}{4}} \right) = 3{\left( {\frac{{2x + 5}}{4}} \right)^2} - \frac{{2x + 5}}{4} = \frac{{12{x^2} + 52x + 55}}{{16}}\)
Nhận xét:
- Thông thường, \({g_o}f \ne {f_o}g\)
- \({\left( {{g_o}f} \right)^{ - 1}} = {f^{ - 1}}_o{g^{ - 1}}\) (giả sử f, g là song ánh)
- \({f^{ - 1}}_o{f^{ - 1}}(y) = y,\forall y \in Y\) (f:X → Y là song ánh)
- \({f^{ - 1}}_o{f^{ - 1}}(x) = x,\forall x \in X\) (f:X → Y là song ánh)
- Giả sử \({f_o}({g_o}h)\) tồn tại, ta có: \({({f_o}g)_o}h = {f_o}({g_o}h)\)
8. Định nghĩa
- Một tập A được nói là hữu hạn và có n phần tử nếu tồn tại một song ánh giữa A và tập con {1, 2, 3,..., n} của N . Khi đó, ta viết: CardA = n hay |A| = n.
- Nếu tập A không hữu hạn, ta nói A vô hạn.
- Hai tập A và B được nói là đồng lực lượng nếu tồn tại một song ánh từ A vào B.
- Một tập A được nói là đếm được nếu tồn tại một song ánh giữa A và tập con N của N . Khi đó, nếu N = N thì ta nói A là tập vô hạn đếm được. Nói cách khác, ta nói A là tập vô hạn đếm được nếu tồn tại một song ánh giữa A và tập N .
