Bài 1: Tập hợp

Tập hợp là một ý niệm nguyên thủy của toán học, không định nghĩa.

Ta mô tả: một số vật thể hợp thành tập hợp; mỗi vật thể là một phần tử.

• Cho một tập hợp A và phần tử x. Nếu x là phần tử của A ta viết \(x\in A\). Ngược lại, ta viết \(x\overline \in \,A\) hay \(x \notin A\) (x không thuộc A)

Ví du: Tất cả học sinh của trường Đại học Kinh tế là một tập hợp, mỗi học sinh là một phần tử.

• Đường thẳng là một tập hợp, mỗi điểm thuộc đường thảng đó là một phần tử.

Có nhiều cách:

Liệt kê: liệt kê tất cả các phần tử trong 2 dấu { }

Ví dụ: Tập hợp các nguyên âm A = {a, e, i, u, o, y}

Ví dụ: T = {bàn, ghế, con mèo, con gái, ô mai}

Trưng tính: (nêu tính chất đặc trưng)

Nếu mọi phần tử x của tập A đều có tính chất b, ta viết:

A = {x I x có tính chất b}

Ví dụ: M = {x I x là số nguyên dương nhỏ hơn 5}

⇒ M = {1, 2, 3, 4}

Giản đồ Venn

\(\begin{array}{l} a \in A\\ b \in A,2 \in A\\ c, - 3,5 \notin A \end{array}\)

N = {O, 1,2,3, }; N’ = N \ {0}

Z = {0, ± 1, ± 2,...}

\(Q = \left\{ {x = \frac{m}{n}\left| {m \in Z,n \in Z*} \right.} \right\}\): tập các số hữu tỷ.

R là tập các số thực

\({R^ + } = \left\{ {x \in R\left| {x \ge 0} \right.} \right\};{R^ - } = \left\{ {x \in R\left| {x \le 0} \right.} \right\}\)

\(\left( {a,b} \right) = \left\{ {x \in R\left| {a \le x \le b} \right.} \right\}\)

\(\begin{array}{l} \left[ {a,b} \right] = \left\{ {x \in R\left| {a \le x \le b} \right.} \right\}\\ \left( {a - \varepsilon ,a + \varepsilon } \right) = \left\{ {x \in R\left| { - \sqrt 2 < x \le 15} \right.} \right\} \end{array}\)

Ví dụ: \(\left( { - \sqrt 2 ,15} \right) = \left\{ {x \in R\left| { - \sqrt 2 < x \le 15} \right.} \right\}\)

Tâp hữu hạn: là tập hợp có số phần tử là n, với \(n \in N\)

Chính số: Số phần tử của tập A còn được gọi là chính số của A (hay card A)

Ký hiệu: ch.s A hay card A hay |A|

Ví dụ: A = {-3, 5, a, b} => card A = 4.

Tập trống: là tập hợp không có phần tử nào cả.

Ký hiêu: \(\emptyset\) hay { }

Ghi chú: \(\left\{ \emptyset \right\} \ne \emptyset ;\left\{ 0 \right\} \ne \emptyset \)

Tập vô hạn: tập không hữu hạn được gọi là tập vô hạn.

Ví dụ: N,Z,Q, R, (0, 1) là những tập hợp vô hạn

Tập hợp con: A là tập hợp con của B nếu mọi phần tử của A đều là phần tử của B.

Ký hiệu: \(A \subset B\) (A chứa trong B)

\(A \subset B \Leftrightarrow \forall x,x \in A \Rightarrow x \in B\)

Ví dụ: 

\(A = \left\{ {1, - 5,0} \right\};B = \left\{ {2,3,1,8,0, - 5} \right\};C = \left\{ {1, - 5,0,7,3} \right\}\)

\(A \subset B\,và\,C \not\subset B(7 \in C\,và\,7 \notin B)\)

Nhân xét: \(\forall A\) ta có \(\emptyset \subset A\) và \(A \subset A\)

Tập hợp bằng nhau: \(A = B \Leftrightarrow A \subset B\,va\,B \subset A\)

\( \Leftrightarrow \forall x,x \in A \Leftrightarrow x \in B\)

Tập hợp tất cả tập hợp con của E gọi là tập hợp các phần của E

Ký hiệu: \(P(E) = \left\{ {A\left| {A \subset E} \right.} \right\}\)

Ví dụ: E = {a, b, c} thì

P(E) = {\(\emptyset\), {a},{b},{c},{a, b}{b, c},{c, a},{a,b, c}}

Hệ quả: Nếu card E = n ⇒ card P(E) = 2n (chứng minh bằng truy chứng)

Phép giao: \(A \cap B = \left\{ {x\left| {x \in A\,va\,x \in B} \right.} \right\}\)

Ví dụ: 

\(\begin{array}{l} A = \left\{ { - 3,5, - \sqrt 2 } \right\}\\ B = \left\{ {0, - 3,8, - \sqrt 2 } \right\}\\ C = \left\{ {1,2,3} \right\}\\ \Rightarrow A \cap B = \left\{ { - 3, - \sqrt 2 } \right\}\,va\,A \cap C = \emptyset \end{array}\)

Tính chất: 

\(\begin{array}{l} A \cap \emptyset = \emptyset \cap A = \emptyset \\ A \cap A = A\\ A \cap B = B \cap A\\ (A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)\\ A \cap B \subset A\\ A \cap B \subset B \end{array} \)

Phép hội: \(A \cup B = \left\{ {x\left| {x \in A\,\,hay\,\,x \in B} \right.} \right\}\)

Ví dụ: A = {a, b, c, d}; B = {a, c, e, f}

\( \Rightarrow A \cup B = \left\{ {a,b,c,d,e,f} \right\}\)

Tính chất:

\(\begin{array}{l} A \cup B = B \cup A\\ (A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)\\ A \cup \emptyset = \emptyset \cup A = A;\,A \cup A = A\\ A \subset A \cup B,\,B \subset A \cup B \end{array}\)

Tính phân bố của phép giao và phép hội

\(\begin{array}{l} A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)\\ A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C) \end{array}\)

Phép hiệu: \(A\backslash B = \left\{ {x\left| {x \in A\,\,va\,\,x \notin B} \right.} \right\}\)

Ví dụ: A = {a, b, c, d};B = {5, a, c, f, -3}; C = {a, f, 7, d}

A \ B = {b, d}; B\A={5,f,-3}

(A \ B) \ C = {b} \(\ne\) A \ (B \ C) = {a, b, d}

Tính chất: Nếu A \(\ne\) B thì A \ B \(\ne\) B \ A

Thông thường: (A \ B) \ C \(\ne\) A \ (B\ C)

\(A\backslash \emptyset = A;\,A\backslash A = \emptyset ;\,A\backslash B \subset A\)

Hệ quả: Dễ dàng chứng minh được

\(\begin{array}{l} A\backslash \left( {B \cup C} \right) = (A\backslash B) \cap (A\backslash C)\\ A\backslash \left( {B \cap C} \right) = (A\backslash B) \cup (A\backslash C) \end{array} \)

Phần bù

Cho \(A \subset E\), phần bù của A đối với E là \({A^c} = \overline A = {C_E}A = E\backslash A = \left\{ {x\left| {x \in E\,va\,x\overline \in } \right.A} \right\}\)

Tính chất: Cho \(A \subset E,B \subset E\)

\(\begin{array}{l} {C_E}\emptyset = E;{C_E}E = \emptyset ;{C_E}A \cup A = E\\ {C_E}A \cap A = \emptyset \\ {C_E}({C_E}A) = A\,\,\left( {\overline{\overline A} = A} \right)\\ {C_E}(A \cup B) = {C_E}A \cap {C_E}B\\ {C_E}(A \cap B) = {C_E}A \cup {C_E}B \end{array}\)

Ví dụ: E = {a, b, c, d, e, f}; A = {a, d}; B = {a, e, f} C_EA = {b, c, e, f}; C_EB = {b, c, d}

C_E (A\(\cup\)B)= {b, c}; C_E (A \(\cap\) B) = {b, c, d, e, f}

Tập hợp tích: A x B = {(x, y) | x \(\in\) A, y \(\in\) B}

Ví dụ: A = {1,2, 3};B = {a, b}

⇒ A x B = {(1, a) (1, b) (2, a) (2, b) (3, a) (3, b)}

và B x A = {(a, 1)(b, 1) (a, 2) (b, 2) (a, 3) (b, 3)}

Ghi chú: Nấu A \(\ne\) B và A, B \(\ne\) 0 thì A x B \(\ne\) B x A

Ví dụ: (1,4)\(\ne\)(4, 1)

• \(A\,x\,\emptyset = \emptyset \,x\,A = \emptyset\)
• Nếu A, B hữu hạn, ta có: Card(Ax B) = Card A.Card B
• Nếu A = B ta viết: A x B = A x A = A²

Vi dụ: Mặt phẳng tọa độ là

R² = R x R = {(x, y)|x, y \(\in\) R }

Tương tự ta có :

\(\begin{array}{l} {A_1}x\,{A_{2\,}}x\,....x\,{A_n} = \left\{ {\left( {{x_1},{x_2},....{x_n}} \right)\left| {{x_i} \in {A_i},i = \overline {1,n} } \right.} \right\}\\ = \left\{ {\left( {{x_1},{x_2},....{x_n}} \right)\left| {{x_1} \in {A_1},{x_2} \in {A_2},....,{x_n} \in {A_n}} \right.} \right\}\\ \underbrace {A\,x\,A\,x....x\,A}_{n\,\,lan\,} = {A^n} = \left\{ {\left( {{x_1},{x_2},....{x_n}} \right)\left| {{x_i} \in {A_i},i = \overline {1,n} } \right.} \right\} \end{array} \)

Ví dụ: \({R^n} = \left\{ {\left( {{x_1},{x_2},....{x_n}} \right)\left| {{x_i} \in R,i = \overline {1,n} } \right.} \right\}\)

\(\begin{array}{l} ( - 5,2,\sqrt 7 , - 8) \in {R^4}\\ ( - 2,1,0,3,7) \in {Z^5} \subset {Q^5} \subset {R^5} \end{array} \)