Đề thi tuyển sinh lớp 10 môn Toán Chuyên năm 2019 Sở GD&ĐT TP. HCM có đáp án

Câu 1. (1,0 điểm) Cho a, b, c là ba số thực thỏa điều kiện a + b + c = 1

Tính giá trị biểu thức \(A = {a^3} + {b^3} + {c^3} - 3\left( {ab + c} \right)\left( {c - 1} \right)\)

Câu 2. (2,5 điểm)

1. Giải phương trình \(5\sqrt {x - 1}  - \sqrt {x + 7}  = 3x - 4\)
2. Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}
   2\left( {x + y} \right) - xy = 4\\
   xy\left( {x + y - 4} \right) =  - 2
   \end{array} \right.\)

Câu 3. (1,5 điểm) Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại M, N, P. Gọi K là hình chiếu vuông góc của M lên NP. Chứng minh: KM là phân giác của  \(\widehat {BKC}\)

Câu 4. (2,0 điểm) Cho x, y, z là các số thực thuộc đoạn [0; 2] thỏa mãn điều kiện x + y + z = 3

1. Chứng minh rằng  \({x^2} + {y^2} + {z^2} < 6\)
2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = {x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz\)

Câu 5. (2,0 điểm) Cho tam giác đều ABC. Gọi M, N là hai điểm nằm trên cạnh BC sao cho  (M nằm giữa B và N). Gọi K là giao điểm của hai đường tròn (ABN) và (ACM). Chứng minh rằng:

1. Hai điểm K và C đối xứng nhau qua AN
2. Đường thẳng AK đi qua tâm đường tròn (AMN)

Câu 6. (1,0 điểm) Cho m, n là hai số nguyên. Chứng minh rằng: nếu 7(m + n)² + 2mn chia hết cho 225 thì mn cũng chia hết cho 225

HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu 1: Ta có: 

ab + c = ab + c(a + b + c) = (a + c)(b + c) và c - 1 = - (a + b)

Do đó: \(A = {a^3} + {b^3} + {c^3} + 3\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right) = {\left( {a + b + c} \right)^3} = 1\)

Câu 2: 

a) Điều kiện \(x \ge 1\). Phương trình đã cho có thể được viết lại thành  \(\frac{{25\left( {x - 1} \right) - \left( {x + 7} \right)}}{{5\sqrt {x - 1}  + \sqrt {x + 7} }} = 3x - 4\)

hay \(\frac{{8\left( {3x - 4} \right)}}{{5\sqrt {x - 1}  + \sqrt {x + 7} }} = 3x - 4\)

Dễ thấy x = 4/3 là một nghiệm của phương trình.

Xét \(x \ne \frac{4}{3}\), ta có: \({5\sqrt {x - 1}  + \sqrt {x + 7}  = 8}\)

Nếu x > 2 thì VT > 8, còn nếu x < 2 thì VP < 8. Do đó x = 2 (thỏa mãn). 

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = 4/3 và x = 2

b) Phương trình thứ nhất của hệ có thể viết lại thành

(x - 2)(y - 2) = 0

Từ đó suy ra x = 2 hoặc y = 2

*TH1: x = 2. Thay vào phương trình thứ 2 của hệ ta được y(y - 2) = -1 hay (y - 1)² = 0. Từ đó suy ra y = 1

* TH2: y = 2. Tương tự tìm được x = 1

Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm (2; 1) và (1; 2)

{-- xem đầy đủ nội dung ở phần xem online hoặc tải về --}

Trên đây là trích một phần nội dung Đề thi tuyển sinh lớp 10 môn Toán Chuyên năm 2019 Sở GD&ĐT TP. HCM. Để xem đầy đủ nội dung của đề thi các em vui lòng đăng nhập và chọn Xem online và Tải về.

Hy vọng đề thi này sẽ giúp các em học sinh lớp 9 ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong kì thi tuyển sinh.