Đề thi HSG môn Toán 10 năm 2019 có đáp án - Sở GD & ĐT Hải Dương

Câu I (2,0 điểm) 

1) Cho hàm số \(y = {x^{\rm{2}}} - 4x + 3\) có đồ thị (P). Tìm giá trị của tham số m để đường thẳng \(({d_m}):y = x + m\) cắt đồ thị (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \(\frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}} = 2\).

2) Cho hàm số \(y = (m - 1){x^{\rm{2}}} - 2mx + m + 2\) (m là tham số). Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng \(( - \infty ;2)\).

Câu II (3,0 điểm)

1) Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}
\left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2} + 3} \right) = 3\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + 2\\
{x^2}y + {x^2} - 2x - 12 = 0
\end{array} \right.\,\,\)

2) Giải phương trình \((x - 3)\sqrt {1 + x}  - x\sqrt {4 - x}  = 2{x^2} - 6x - 3\).

3) Giải bất phương trình \({x^3} + (3{x^2} - 4x - 4)\sqrt {x + 1}  \le 0\).

Câu III (3,0 điểm)

1) Cho tam giác ABC có trọng tâm G và điểm N thỏa mãn \(\overrightarrow {NB{\kern 1pt} {\kern 1pt} }  - 3\overrightarrow {NC{\kern 1pt} {\kern 1pt} }  = \overrightarrow {0{\kern 1pt} {\kern 1pt} } \). Gọi P là giao điểm của AC và GN, tính tỉ số \(\frac{{PA}}{{PC}}\).

2) Cho tam giác nhọn ABC, gọi H, E, K lần lượt là chân đường cao kẻ từ các đỉnh A, B, C. Gọi diện tích các tam giác ABC và HEK lần lượt là \({S_{\Delta ABC}}\) và \({S_{\Delta HEK}}\). Biết rằng \({S_{\Delta ABC}} = 4\,{S_{\Delta HEK}}\), chứng minh \({\sin ^2}A + {\sin ^2}B + {\sin ^2}C = \frac{9}{4}\).

3) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho \(\Delta ABC\) cân tại A. Đường thẳng AB có phương trình \(x + y - 3 = 0\), đường thẳng AC có phương trình \(x - 7y + 5 = 0\). Biết điểm M(1;10) thuộc cạnh BC, tìm tọa độ các đỉnh A, B, C. 

Câu IV (1,0 điểm)

          Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm loại I và loại II từ 200kg nguyên liệu và một máy chuyên dụng. Để sản xuất được một kilôgam sản phẩm loại I cần 2kg nguyên liệu và máy làm việc trong 3 giờ. Để sản xuất được một kilôgam sản phẩm loại II cần 4kg nguyên liệu và máy làm việc trong 1,5 giờ. Biết một kilôgam sản phẩm loại I lãi 300000 đồng, một kilôgam sản phẩm loại II  lãi 400000 đồng và máy chuyên dụng làm việc không quá 120 giờ. Hỏi xưởng cần sản xuất bao nhiêu kilôgam sản phẩm mỗi loại để tiền lãi lớn nhất?

Câu V (1,0 điểm) Cho các số thực dương \(x, y, z\) thỏa mãn \(xy + yz + xz = 3\).

Chứng minh bất đẳng thức       \(\frac{{{x^2}}}{{\sqrt {{x^3} + 8} }} + \frac{{{y^2}}}{{\sqrt {{y^3} + 8} }} + \frac{{{z^2}}}{{\sqrt {{z^3} + 8} }} \ge 1\).

.......... Hết .........

{-- xem đáp án đề thi HSG môn Toán 10 năm 2019 của Sở GD & ĐT Hải Dương ở phần xem online hoặc tải về --}

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Đề thi HSG môn Toán 10 năm 2019 Sở GD & ĐT Hải Dương. Để xem toàn bộ nội dung và đáp án đề thi các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính. 

Hy vọng đề thi này sẽ giúp các em trong đội tuyển HSG Toán 10 ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong kì thi sắp tới.

>>> Các em có thể làm một số bài thi trắc nghiệm online tại đây :

• Đề thi HSG môn Toán 10 năm 2019 Trường THPT Thị xã Quảng Trị
• Đề thi HSG môn Toán 10 năm 2019 Sở GD & ĐT Hải Dương