SỞ GD&ĐT QUẢNG TRỊ KỲ THI CHỌN HSG VĂN HÓA LỚP 10, 11
TRƯỜNG THPT THỊ XÃ QUẢNG TRỊ Khóa thi ngày 03 tháng 4 năm 2019
ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn thi: Toán lớp 10
(Đề có 01 trang) Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề
Câu I. (5,0 điểm)
Cho Parabol (P): \(y = {x^2} + bx + c\).
1) Tìm \(b, c\) để Parabol (P) có đỉnh \(S\left( { - \frac{1}{2}; - \frac{5}{4}} \right)\).
2) Với \(b, c\) tìm được ở câu 1. Tìm m để đường thẳng \(\Delta :y = - 2x - m\) cắt Parabol (P) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB vuông tại O (với O là gốc tọa độ).
Câu II. (6,0 điểm)
1) Tìm m để bất phương trình: \(m{x^2} - 2\left( {m + 3} \right)x + 2m + 14 \ge 0\) vô nghiệm trên tập số thực.
2) Giải bất phương trình sau trên tập số thực: \(\left( {\sqrt {2{x^2} + 4} - x - 2} \right)\sqrt {{x^2} - 5x + 6} \ge 0.\)
3) Giải hệ phương trình sau trên tập số thực : \(\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + {x^3}y - x{y^2} + xy - y = 1\\
{x^4} + {y^2} - xy\left( {2x - 1} \right) = 1
\end{array} \right.\)
Câu III. (6,0 điểm)
1) Cho tam giác ABC đều có độ dài cạnh bằng 3. Trên các cạnh BC, CA lần lượt lấy các điểm N, M sao cho \(BN = 1,{\rm{ }}CM = 2.\)
a) Phân tích vectơ \(\overrightarrow {AN} \) theo hai vectơ \(\overrightarrow {AB} ,{\rm{ }}\overrightarrow {AC} .\)
b) Trên cạnh AB lấy điểm P, \(\left( {P \ne A,P \ne B} \right)\)sao cho AN vuông góc với PM. Tính tỉ số \(\frac{{AP}}{{AB}}.\)
2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang cân ABCD có hai đáy là AD, BC và AD > BC, biết rằng \(AB = BC,AD = 7.\) Đường chéo AC có phương trình là \(x - 3y - 3 = 0\), điểm \(M\left( { - 2; - 5} \right)\) thuộc đường thẳng AD. Tìm tọa độ đỉnh D biết đỉnh B(1;1).
Câu IV. (3,0 điểm)
1 ) Cho tam giác ABC có diện tích S và bán kính của đường tròn ngoại tiếp R thỏa mãn hệ thức \(S{\rm{ = }}\frac{2}{3}{R^2}\left( {{{\sin }^3}A + {{\sin }^3}B + {{\sin }^3}C} \right)\). Chứng minh tam giác ABC là tam giác đều.
2) Cho \(x, y, z\) là các số thực dương thỏa mãn điều kiện \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 3.\) Chứng minh rằng \(\frac{x}{y} + \frac{y}{z} + \frac{z}{x} \ge \frac{9}{{x + y + z}}.\)
3) Cho đa thức \(P\left( x \right) = {x^{2018}} - m{x^{2016}} + m\) trong đó m là tham số thực. Biết rằng P(x) có 2018 nghiệm thực. Chứng minh rằng tồn tại một nghiệm thực x0 của P(x) thỏa mãn \(\left| {{x_0}} \right| \le \sqrt 2 .\)
---------------------HẾT---------------------
{-- xem đáp án đề thi HSG môn Toán 10 năm 2019 của Trường THPT Thị xã Quảng Trị ở phần xem online hoặc tải về --}
Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Đề thi HSG môn Toán 10 năm 2019 Trường THPT Thị xã Quảng Trị. Để xem toàn bộ nội dung và đáp án đề thi các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.
Hy vọng đề thi này sẽ giúp các em trong đội tuyển HSG Toán 10 ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong kì thi sắp tới.
>>> Các em có thể tham khảo thêm một số đề thi và làm bài thi trắc nghiệm online tại đây :
