| TRƯỜNG THCS NGÔ QUYỀN | ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 6 NĂM HỌC 2020 – 2021 THỜI GIAN: 120 PHÚT |
Câu 1 : (2 điểm) Cho biểu thức \(A = \frac{{{a^3} + 2{a^2} - 1}}{{{a^3} + 2{a^2} + 2a + 1}}\)
a. Rút gọn biểu thức
b. Chứng minh rằng nếu a là số nguyên thì giá trị của biểu thức tìm được của câu a, là một phân số tối giản.
Câu 2: (1 điểm)
Tìm tất cả các số tự nhiên có 3 chữ số \(\overline {abc} \) sao cho \(\overline {abc} = {n^2} - 1\) và \(\overline {cba} = {(n - 2)^2}\)
Câu 3: (2 điểm)
a. Tìm n để n2 + 2006 là một số chính phương
b. Cho n là số nguyên tố lớn hơn 3. Hỏi n2 + 2006 là số nguyên tố hay là hợp số.
Câu 4: (2 điểm)
a. Cho a, b, n ∈ N* Hãy so sánh \(\frac{{a + n}}{{b + n}}\) và \(\frac{a}{b}\)
b. Cho A = \(\frac{{{{10}^{11}} - 1}}{{{{10}^{12}} - 1}}\); B = \(\frac{{{{10}^{10}} + 1}}{{{{10}^{11}} + 1}}\) . So sánh A và B.
Câu 5: (2 điểm)
Cho 10 số tự nhiên bất kỳ : a1, a2, ....., a10. Chứng minh rằng thế nào cũng có một số hoặc tổng một số các số liên tiếp nhau trong dãy trên chia hết cho 10.
Câu 6: (1 điểm)
Cho 2006 đường thẳng trong đó bất kì 2 đườngthẳng nào cũng cắt nhau. Không có 3 đường thẳng nào đồng qui. Tính số giao điểm của chúng.
ĐÁP ÁN
Câu 1:
a. Ta có: \(A = \frac{{{a^3} + 2{a^2} - 1}}{{{a^3} + 2{a^2} + 2a + 1}}\) = \(\frac{{(a + 1)({a^2} + a - 1)}}{{(a + 1)({a^2} + a + 1)}} = \frac{{{a^2} + a - 1}}{{{a^2} + a + 1}}\)
Điều kiện đúng a ≠ -1 ( 0,25 điểm).
Rút gọn đúng cho 0,75 điểm.
b.Gọi d là ước chung lớn nhất của a2 + a – 1 và a2+a +1 (0,25đ).
Vì a2 + a – 1 = a(a+1) – 1 là số lẻ nên d là số lẻ
Mặt khác, 2 = [ a2+a +1 – (a2 + a – 1) ] d
Nên d = 1 tức là a2 + a + 1 và a2 + a – 1 nguyên tố cùng nhau. (0,5đ)
Vậy biểu thức A là phân số tối giản. ( 0,25 điểm)
Câu 2:
\(\overline {abc} \)= 100a + 10 b + c = n2 - 1 (1)
\(\overline {cba} \)= 100c + 10 b + c = n2 – 4n + 4 (2) (0,25đ)
Từ (1) và (2) 99(a – c) = 4 n – 5 => 4n – 5 ⋮ 99 (3) (0,25đ)
Mặt khác: 100 ≤ n2-1 ≤ 999 ⇔101 ≤ n2 ≤ 1000 ⇔ 11≤ n ≤31 ⇔39 ≤4n – 5 ≤ 119 (4) ( 0,25đ)
Từ (3) và (4) => 4n – 5 = 99 => n = 26
Vậy: \(\overline {abc} \) = 675 ( 0,25đ)
---(Để xem nội dung đầy đủ, chi tiết của phần đáp án đề thi vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---
...
Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Đề thi chọn HSG môn Toán 6 năm 2021 có đáp án Trường THCS Ngô Quyền. Để xem toàn bộ nội dung và đáp án đề thi các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.
Hy vọng đề thi này sẽ giúp các em trong học sinh lớp 6 ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong kì thi sắp tới.
Ngoài ra các em có thể tham khảo thêm một số tài liệu cùng chuyên mục tại đây:
