Bộ 5 đề thi chọn HSG môn Toán lớp 6 Trường THCS Cương Sơn

TRƯỜNG THCS CƯƠNG SƠN

ĐỀ THI HSG LỚP 6 MÔN: TOÁN (Thời gian làm bài: 120 phút)

Bài 1 (3điểm)

a, Cho A = 999993¹⁹⁹⁹ - 555557¹⁹⁹⁷.  Chứng minh rằng A chia hết cho 5

b, Chứng tỏ rằng: \(\frac{1}{{41}} + \frac{1}{{42}} + \frac{1}{{43}} + ... + \frac{1}{{79}} + \frac{1}{{80}} > \frac{7}{{12}}\)  

Bài 2 (2,5điểm)

Tổng số trang của 8 quyển vở loại 1 ; 9 quyển vở loại 2 và 5 quyển vở loại 3 là 1980 trang. Số trang của một quyển vở loại 2 chỉ bằng \(\frac{2}{3}\) số trang của 1 quyển vở loại 1. Số trang của 4 quyển vở loại 3 bằng số trang của 3 quyển vở loại 2. Tính số trang của mỗi quyển vở mỗi loại.

Bài 3: (2điểm).

Tìm số tự nhiên n và chữ số a biết rằng:  1+ 2+ 3+ …….+ n = \(\overline {aaa} \) 

Bài 4 (2,5 điểm)

a, Cho 6 tia chung gốc. Có bao nhiêu góc trong hình vẽ ? Vì sao.

b, Vậy với n tia chung gốc. Có bao nhiêu góc trong hình vẽ.

ĐÁP ÁN

Bài 1:

a) (1,5đ). Để chứng minh A \( \vdots \) 5, ta xét chữ số tận cùng của A  bằng việc xét chữ số tận cùng của từng số hạng. Ta có: 3¹⁹⁹⁹ = ( 3⁴)⁴⁹⁹ . 3³  = 81⁴⁹⁹. 27

Suy ra: 3¹⁹⁹⁹ có tận cùng là 7

 7¹⁹⁹⁷ = ( 7⁴)⁴⁹⁹ .7 = 2041⁴⁹⁹ . 7 => 7 ¹⁹⁹⁷ Có tận cùng là 7

Vậy A có tận cùng bằng 0  A \( \vdots \) 5

b) (1,5điểm) Ta thấy: \(\frac{1}{{41}}\) đến \(\frac{1}{{80}}\) có 40 phân số.

Vậy: \(\frac{1}{{41}} + \frac{1}{{42}} + \frac{1}{{43}} + ...... + \frac{1}{{78}} + \frac{1}{{79}} + \frac{1}{{80}}\)  

=  (\(\frac{1}{{41}} + \frac{1}{{42}} + ...... + \frac{1}{{59}} + \frac{1}{{60}}\)) + ( \(\frac{1}{{61}} + \frac{1}{{62}} + ..... + \frac{1}{{79}} + \frac{1}{{80}}\))           (1)

Vì  \(\frac{1}{{41}} > \frac{1}{{42}}. >\).....> \(\frac{1}{{60}}\) và \(\frac{1}{{61}}\) > \(\frac{1}{{62}}\) > ....> \(\frac{1}{{80}}\)             (2)

Ta có : ( \(\frac{1}{{60}} + \frac{1}{{60}} + \)….+ \(\frac{1}{{60}} + \frac{1}{{60}}\)) + (\(\frac{1}{{80}}\) + \(\frac{1}{{80}}\) +….+ \(\frac{1}{{80}} + \frac{1}{{80}}\))  

= \(\frac{{20}}{{60}} + \frac{{20}}{{80}} = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{{4 + 3}}{{12}} = \frac{7}{{12}}\)                 (3)

Từ (1) , (2), (3) Suy ra:

\(\frac{1}{{41}} + \frac{1}{{42}} + \frac{1}{{43}} + ...... + \frac{1}{{78}} + \frac{1}{{79}} + \frac{1}{{80}}\) > \(\frac{7}{{12}}\)  

...........

---(Để xem tiếp nội dung của đề thi các em vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)--- 

Bài 1: (6 điểm) Thực hiện dãy tính: \(\frac{{21}}{{54}} + \frac{3}{{75}}:\frac{{\left( {\frac{{39}}{{65}} + 0,415 - \frac{{33}}{{600}}} \right):\frac{{21}}{{49}}}}{{{7^2} - 18,25 + 13\frac{{15}}{{36}} - 16\frac{{12}}{{102}}}}\) 

Bài 2:  (5 điểm) Tìm 2 số tự nhiêna, b,  thoả mãn:    a + 2b = 48  và  (a, b) + 3[ a, b] = 114

Bài 3. Cho tam giác ABC (CA < CB), trên BC lấy các điểm M và N sao cho BM = MN = NC. Qua điểm M kẻ đường thẳng song song với AB cắt AN tại I.

a) Chứng minh: I là trung điểm của AN

Bài 4: (1,0điểm) So sánh A và B biết:

A = \({\frac{{{\rm{1}}{{\rm{7}}^{{\rm{18}}}} + {\rm{1}}}}{{{\rm{1}}{{\rm{7}}^{{\rm{19}}}} + {\rm{1}}}}}\), 

B = \({\frac{{{\rm{1}}{{\rm{7}}^{{\rm{17}}}} + {\rm{1}}}}{{{\rm{1}}{{\rm{7}}^{{\rm{18}}}} + {\rm{1}}}}}\) 

...........

---(Để xem tiếp nội dung của đề thi các em vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)--- 

Bài 1 (3điểm)

a. Tính nhanh:  A = \(\frac{{1.5.6 + 2.10.12 + 4.20.24 + 9.45.54}}{{1.3.5 + 2.6.10 + 4.12.20 + 9.27.45}}\) 

b. Chứng minh : Với k N^* ta luôn có: \(k\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right) - \left( {k - 1} \right)k\left( {k + 1} \right) = 3.k\left( {k + 1} \right)\)  

áp dụng tính tổng : S = \(1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + n.\left( {n + 1} \right)\) 

Bài 2 (3điểm)

a.Chứng minh rằng nếu \(\left( {\overline {ab}  + \overline {cd}  + \overline {eg} } \right) \vdots 11\) thì \(\overline {abc\deg }  \vdots 11\)  

b.Cho A = \(2 + {2^2} + {2^3} + ... + {2^{60}}.\) Chứng minh : A \( \vdots \) 3 ; 7 ; 15.

Bài 3 (2điểm). Chứng minh : \(\frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{2^3}}} + \frac{1}{{{2^4}}} + ... + \frac{1}{{{2^n}}}\) < 1.

...........

---(Để xem tiếp nội dung của đề thi các em vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)--- 

Câu 1. Tính giá trị các biểu thức sau:

a) A = (-1).(-1)².(-1)³.(-1)⁴… (-1)²⁰¹⁰.(-1)²⁰¹¹

b) B = 70.(\(\frac{{131313}}{{565656}} + \frac{{131313}}{{727272}} + \frac{{131313}}{{909090}}\))

c) C = \(\frac{{2a}}{{3b}} + \frac{{3b}}{{4c}} + \frac{{4c}}{{5d}} + \frac{{5d}}{{2a}}\)  biết  \(\frac{{2a}}{{3b}} = \frac{{3b}}{{4c}} = \frac{{4c}}{{5d}} = \frac{{5d}}{{2a}}\) 

Câu 2. Tìm x là các số tự nhiên, biết: 

a) \(\frac{{x + 1}}{2}\) = \(\frac{8}{{x + 1}}\)

b) x : ( \(9\frac{1}{2}\) - \(\frac{3}{2}\)) = \(\frac{{0,4 + \frac{2}{9} - \frac{2}{{11}}}}{{1,6 + \frac{8}{9} - \frac{8}{{11}}}}\) 

Câu 3:

a) Chứng minh rằng: Hai số lẻ liên tiếp bao giờ cũng nguyên tố cùng nhau.

b) Tìm x biết: 1 + 5 + 9 + 13 + 16 +...+ x = 501501

..........

---(Để xem tiếp nội dung của đề thi các em vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)--- 

Câu 1

a) Cho A = 5 - 5² + 5³ - 5⁴ + …- 5⁹⁸ + 5⁹⁹ . Tính tổng A.

b) Chứng tỏ ( 2ⁿ + 1).( 2ⁿ + 2) chia hết cho 3 với mọi n là số tự nhiên.

Câu 2

a) Tìm các số nguyên x, y biết rằng : (x - 2)².(y - 3) = - 4

b) Tìm n ∈ Z để (4n - 3) \( \vdots \) (3n – 2)

Câu 3.

a) Tìm tất cả các cặp số tự nhiên (x,y) sao cho \(\overline {{\rm{34x5y}}} \) chia hết cho 36 .      

b) Không quy đồng mẫu số hãy so sánh: \(A = \frac{{ - 9}}{{10{\,^{2010}}}} + \frac{{ - 19}}{{10{\,^{2011}}}};\;\;B = \frac{{ - 9}}{{{{10}^{\,2011}}}} + \frac{{ - 19}}{{{{10}^{2010}}}}\) 

.........

---(Để xem tiếp nội dung của đề thi các em vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)--- 

Trên đây là một phần nội dung tài liệu Bộ 5 đề thi chọn HSG môn Toán lớp 6 Trường THCS Cương Sơn. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.