Bài 5: Phân phối đều và mũ

Đại lượng ngẫu nhiên liên tục X được gọi là có phân phối đều trên [a; b], ký hiệu là X - U(a; b), nếu hàm mật độ của X có dạng:

\(f(x) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{{b - a}}\,\,\,neu\,\,x \in \left[ {a,b} \right]\\ 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,neu\,\,x \notin \,\left[ {a,b} \right] \end{array} \right.\)

Nếu \(\left[ {\alpha ,\beta } \right] \subseteq \left[ {a,b} \right]\) khi đó:

\(P\left( {\alpha \le X \le \beta } \right) = \int\limits_\alpha ^\beta {f(x)dx = \frac{{\beta - \alpha }}{{b - a}}} \)

Tức là xác suất để X rơi vào khoảng \(\left[ {\alpha ,\beta } \right]\) chỉ phụ thuộc vào độ dài của khoảng đó và tỷ lệ thuận với độ dài của khoảng này.

Nếu \(X \sim U(a;b)\) thì \(E(X) = \frac{{a + b}}{2};v{\rm{ar}}(X) = \frac{{{{(b - a)}^2}}}{{12}}\)

Chứng minh:

\(E(X) = \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {xf(x)dx = \int\limits_a^b {\frac{x}{{b - a}}} } dx = \frac{{{x^2}}}{{2(b - a)}}\left| \begin{array}{l} b\\ a \end{array} \right. = \frac{{{b^2} - {a^2}}}{{2(b - a)}} = \frac{{a + b}}{2}\)

\(E({X^2}) = \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {{x^2}f(x)dx = \int\limits_a^b {\frac{{{x^2}}}{{b - a}}} } dx = \frac{{{x^3}}}{{3(b - a)}}\left| \begin{array}{l} b\\ a \end{array} \right. = \frac{{{b^3} - {a^3}}}{{3(b - a)}} = \frac{{{b^2} + ab + {b^2}}}{3}\)

\(\Rightarrow V{\rm{ar}}(X) = E({X^2}) - {\left[ {E(X)} \right]^2} = \frac{{{b^2} + ab + {a^2}}}{3} - {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2} = \frac{{{{\left( {b - a} \right)}^2}}}{{12}}\)

Thí dụ: Một loại sản phẩm do một nhà máy được đóng thành từng hộp. Trọng lượng của hộp là đại lượng ngẫu nhiên X. Cho biết X ~ U(1,9; 2,1) (đơn vị tính là kg). Tính trọng lượng trung bình của một hộp và tỷ lệ hộp có trọng lượng từ 1,95 kg trở lên.

Giải:

Trọng lượng trung bình của một hộp chính là E(X). Ta có:

\(E(X) = \frac{{a + b}}{2} = \frac{{1,9 + 2,1}}{2} = 2kg\)

Tỷ lệ hộp có trọng lượng từ 1,95 kg trở lên chính là P(X > 1,95)

Ta có: \(P(X > 1,95) = P(1,95 < X < 2,1) = \int\limits_{1,95}^{2,1} {f(x)dx = \frac{{2,1 - 1,95}}{{2,1 - 1,9}} = 0,75} \)

Vậy tỷ lệ hộp có trọng lượng từ 1,95 kg trở lên là 75%.

Trong thực tế nhiều khi ta cần nghiên cứu đại lượng ngẫu nhiên mà giá trị của nó là khoảng thời gian giữa hai lần xảy ra liên tiếp một loại biến cố nào đó

Giả sử \(X \sim P(\lambda )\), trong đó X là số lần xảy ra một loại biến cố nào đó trong một đơn vị thời gian. Ta có E(X) = \(\lambda \). Khi đó, gọi X_t là số lần biến cố xảy ra trong t đơn vị thời gian (t > 0). Ta có X_t ~ P\((\lambda t)\)

Gọi Y là khoảng thời gian giữa hai lần liên tiếp biến cố xảy ra. Ta có:

\(P(Y > t) = P({X_t} = 0) = \frac{{{e^{ - \lambda t}}{{(\lambda t)}^0}}}{{0!}} = {e^{ - \lambda t}}\)

Suy ra: \(P(Y \le t) = 1 - {e^{ - \lambda t}}\)

Đặt: \(F(t) = 1 - {e^{ - \lambda t}}\) ta có: \(F'(t) = \lambda {e^{ - \lambda t}}\)

Đại lượng ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối mũ với tham số \(\lambda > 0\), ký hiệu là \(X \sim E\left( \lambda \right)\), nếu hàm mật độ của X có dạng:

\(f(x) = \left\{ \begin{array}{l} \lambda {e^{ - \lambda X}}\,\,\,neu\,\,x > 0\\ 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,neu\,\,\,x \le 0 \end{array} \right.\)

Hàm phân phối xác suất:

\(F(x) = P(X < x) = \int\limits_{ - \infty }^x {f(z)} dz = \left\{ \begin{array}{l} 1 - {e^{ - \lambda X}}\,\,\,neu\,\,x > 0\\ 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,neu\,\,\,x \le 0 \end{array} \right.\)

Nếu \(X \sim E(\lambda )\) thì \(E(X) = \frac{1}{\lambda }\) và \(V{\rm{ar}}(X) = \frac{1}{{{\lambda ^2}}}\)

Chứng minh:

\(E(X) = \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {xf(x)dx = \lambda \int\limits_0^{ + \infty } {x{e^{ - \lambda x}}} } dx = \left[ { - x{e^{ - \lambda x}}} \right]_0^{ + \infty } + \int\limits_0^{ + \infty } {{e^{ - \lambda x}}} dx = \frac{1}{\lambda }{e^{ - \lambda x}}\left| \begin{array}{l} + \infty \\ 0 \end{array} \right. = \frac{1}{\lambda }\)

\(E({X^2}) = \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {{x^2}f(x)dx = \lambda \int\limits_0^{ + \infty } {{x^2}{e^{ - \lambda x}}} } dx = \left[ { - {x^2}{e^{ - \lambda x}}} \right]_0^{ + \infty } + 2\int\limits_0^{ + \infty } {x{e^{ - \lambda x}}} dx = \frac{2}{{{\lambda ^2}}}\)

\(V{\rm{ar}}(X) = E({X^2}) - {\left[ {E(X)} \right]^2} = \frac{2}{{{\lambda ^2}}} - {\left( {\frac{1}{\lambda }} \right)^2} = \frac{1}{{{\lambda ^2}}}\)

Chú ý: Phân phối Poisson và phân phối mũ có có mối quan hệ liên hệ như sau:

X là số lần xảy ra biến cố A trong một đơn vị thời gian. T là khoảng thời gian giữa hai lần liên tiếp xảy ra biến cố A. Khi đó: \(X \sim P(\lambda ) \Leftrightarrow T \sim E(\lambda )\)

• \(E(X) = \lambda \) là số lần trung bình xảy ra biến cố A trong một đơn vị thời gian.
• \(E(X) = \frac{1}{\lambda }\) là thời gian trung bình xuất hiện biến cố A

Thí dụ 1: Tuổi thọ của một sản phẩm là đại lượng ngẫu nhiên có phân phối mũ với tuổi thọ trung bình là 6 năm. Tính tỷ lệ sản phẩm có tuổi thọ trên 3 năm.

Giải: Gọi X là tuổi thọ của loại sản phẩm này. Theo giả thiết \(X \sim E(\lambda )\). Vì \(E(X) = \frac{1}{\lambda } = 6\) suy ra \(\lambda = \frac{1}{6}\)

Tỷ lệ sản phẩm có tuổi thọ trên 3 năm chính là: P(X > 3)

\(P(X > 3) = 1 - P(X \le 3) = 1 - F(3) = 1 - (1 - {e^{ - \lambda 3}}) = 0,6065\)

Tức tỷ lệ sản phẩm có tuổi thọ trên 3 năm là 60,65%.

Thí dụ 2: Thời gian phục vụ một khách hàng tại một quầy tính tiền của một siêu thị là biến ngẫu nhiên X (đơn vị tính là phút/khách hàng). Cho biết X có phân phối mũ với hàm mật độ xác suất như sau:

\(f(x) = \left\{ \begin{array}{l} 0,4{e^{ - 0,4x}}\,\,\,\,neu\,\,x > 0\\ 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,neu\,\,x \le 0 \end{array} \right.\)

Tính thời gian trung bình phục vụ một khách hàng và tỷ lệ khách hàng có thời gian phục vụ ưên 2 phút.

Giải: Thời gian trung bình phục vụ một khách hàng chính là E(X).

Ta có: \(E(X) = \frac{1}{\lambda } = \frac{1}{{0,4}} = 2,5\)

Vậy thời gian phục vụ trung bình một khách hàng là 2,5 phút.

Tỷ lệ khách hàng có thời gian phục vụ trên 2 phút chính là: P( X > 2).

Ta có:

\(P(X > 2) = 1 - P(X \le 2) = 1 - F(2) = 1 - (1 - {e^{ - 0,4x}}) = {e^{ - 0,8}} = 0,4493\)

Vậy tỷ lệ khách hàng có thời gian phục vụ trên 2 phút là 44,93%.