Bài 5: Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn

Định lý:

Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn

Bài toán: Qua điểm A ngoài đường tròn (O) hãy dựng tiếp tuyến của đường tròn

Cách dựng:

Dựng M là trung điểm AO. Dựng đường tròn tâm M bán kính MO cắt (O) tại B, C. Kẻ AB, AC là các tiếp tuyến của (O)

Bài 1: Cho M và (O). Hãy vẽ tiếp tuyến của (O) đi qua M trong các trường hợp

a) M nằm ngoài đường tròn

b) M nằm trên đường tròn

Hướng dẫn: 

a) Dựng K là trung điểm OM. Sau đó vẽ đường tròn tâm K bán kính KM. (K;KM) cắt (O) tại A, B. Khi đó MA, MB chính là tiếp tuyến của đường tròn

b) Nối bán kính OM. Vẽ đường thẳng d vuông góc với OM tại M. d chính là tiếp tuyến của (O).

Bài 2:Cho (O;12) M cách O 20. Vẽ tiếp tuyến MA (A là tiếp điểm)

1) Tính MA

2) Vẽ dây AB vuông góc với OM. Chứng minh MB là tiếp tuyến

Hướng dẫn:

1) Áp dụng định lý pi-ta-go: \(MA=\sqrt{MO^2-OA^2}=\sqrt{20^2-12^2}=16\)

2) Gọi H là giao điểm của AB với OM

Xét 2 tam giác OAH và OBH là 2 tam giác vuông tại H; OA=OB=R; OH chung nên \(\Delta OAH=\Delta OBH\Rightarrow HA=HB\)

Tam giác MAB có MH vừa là đường cao vừa là trung tuyến nên MAB cân tại M \(\Rightarrow \widehat{MAH}=\widehat{MBH}\)

ta lại có tam giác OAB cân nên: \(\widehat{OAB}=\widehat{OBA}\). Khi đó: \(\widehat{MBO}=\widehat{MBH}+\widehat{OBA}=\widehat{MAH}+\widehat{OAB}=90^{\circ}\)

Vậy MB là tiếp tuyến

Bài 3: Cho đường tròn (O) đường kính AB. C là một điểm trên đường tròn sao cho \(\widehat{CAB}=30^{\circ}\). M là điểm đối xứng với O qua B. Chứng minh MC là tiếp tuyến của (O)

Hướng dẫn: 

Tam giác ABC vuông tại C. \(\widehat{CAB}=30^{\circ}\Rightarrow \widehat{CBA}=60^{\circ}\) mà \(CO=OB\) nên tam giác COB đều suy ra CB=OB

Tam giác COM có trung tuyến CB và CB=OB=BM nên tam giác COM vuông tại C suy ra MC là tiếp tuyến của (O)

Bài 1:  Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi M, N lần lượt là điểm đối xứng với H qua AB, AC. E,D là hình chiếu của H lên AB, AC

Chứng minh rằng: MN là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BC

Hướng dẫn:

Ta có: \(\widehat{BMA}=\widehat{BME}+\widehat{AME}=\widehat{BHE}+\widehat{AHE}=90^{\circ}\). Tương tự \(\widehat{ANC}=90^o\)

\(\widehat{MAN}=\widehat{MAB}+\widehat{BAC}+\widehat{CAN}=2.\widehat{BAC}=180^o\Rightarrow\) M, A, N thẳng hàng

Gọi K là trung điểm BC. Xét tứ giác MBCN có \(MB\parallel CN\) nên MBCN là hình thang.

KA là đường trung bình của hình thang nên \(KA\perp MN\) tại A. Nên MN là tiếp tuyến của (K;KA) (đường tròn đường kính BC)

Bài 2: Cho tam giác ABC nhọn với CE, BD là đường cao. H là giao điểm của CE và BD. 

a) Chứng minh A,E,H,D cùng thuộc một đường tròn đặt là (O)

b) Gọi M là trung điểm BC. Chứng minh ME, MD là các tiếp tuyến của (O)

Hướng dẫn:

a) Các tam giác AEH và ADH đều là các tam giác vuông lần lượt tại E và D với AH là cạnh huyền chung. Gọi O là trung điểm AH khi đó

(O;OA) sẽ đi qua các điểm A, E, H, D

b) Xét tam giác AOE có OA=OE nên tam giác AOE cân tại O suy ra \(\widehat{OEA}=\widehat{OAE}\)     (1)

Gọi F là giao điểm AH với BC. Vì H là trực tâm nên \(AF\perp BC\) tại F.

Ta lại có: \(\widehat{OAE}=\widehat{MCE}\)  ( vì cùng phụ với \(\widehat{MBE}\)). mà \(\widehat{MCE}=\widehat{MEC}\)        (2)

Từ (1) và (2) suy ra: \(\widehat{MEC}=\widehat{OEA}\)nên: \(\widehat{MEO}=\widehat{MEC}+\widehat{CEO}=\widehat{OEA}+\widehat{CEO}=90^{\circ}\). Vậy ME là tiếp tuyến

Tương tự cho MD

Qua bài giảng Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn này, các em cần hoàn thành 1 số mục tiêu mà bài đưa ra như : 

• Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn
• Áp dụng lý thuyết làm các bài tập liên quan

Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Hình học 9 Bài 5 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

• Câu 1:

  Cho tam giác ABC có AH là đường cao ( H thuộc BC). Đường tròn (A;AH) sẽ có vị trí như thế nào với các cạnh của tam giác ABC

  • A. (A;AH) tiếp xúc với AB,AC và cắt BC
  • B. (A;AH) tiếp xúc với BC, AC và không cắt AB
  • C. (A;AH) cắt AB, AC và tiếp xúc với BC
  • D. (A;AH) cắt AB và tiếp xúc với BC, AC

• Câu 2:

  Trong các phát biếu dưới đây phát biểu nào đúng

  • A. Đường thẳng d được gọi là tiếp tuyến của (O) khi chúng có điêm chung
  • B. Đường thẳng d được gọi là tiếp tuyến khi d vuông góc với bán kính OA và OA
  • C. Đường thẳng d được gọi là tiếp tuyến của (O) khi d vuông góc với bán kính OA  và A thuộc đường tròn
  • D. Đường thẳng d được gọi là tiếp tuyến của (O) khi d vuông góc với OA tại A và OA>R

Câu 2- Câu 5: Xem thêm phần trắc nghiệm để làm thử Online 

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Hình học 9 Bài 5 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Toán 9 tập 1

Bài tập 21 trang 111 SGK Toán 9 Tập 1

Bài tập 22 trang 111 SGK Toán 9 Tập 1

Bài tập 23 trang 111 SGK Toán 9 Tập 1

Bài tập 24 trang 111 SGK Toán 9 Tập 1

Bài tập 25 trang 112 SGK Toán 9 Tập 1

Bài tập 47 trang 163 SBT Toán 9 Tập 1

Bài tập 5.1 trang 164 SBT Toán 9 Tập 1

Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán Chúng tôi sẽ sớm trả lời cho các em.