Bài 4: Phương pháp tính các tham số đặc trưng của mẫu

Giả sử có mẫu cụ thể W_X = (X₁, X₂,. . . ,X_n), thì trung bình mẫu $\bar{X}$ và phương sai mẫu (s²) là hai giá trị cơ bản nhất đối với mẫu cụ thể này, s có thể suy ra từ s²; còn f thì tính rất đơn giản. Do đó phần này chúng ta chỉ nêu ra công thức tính $\bar{x}$ và s² tương ứng với từng trường hợp số liệu hiện có như sau:

Trường hợp này, để tính $\bar{x}$ ta sử dụng công thức định nghĩa:

$\bar{x}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i$

Để tính s² ta dùng công thức:

$s^2=\frac{1}{n-1}\left[\sum _{i=1}^n{x}_i^2-n{\left(\bar{x}\right)}^2\right]$

Chứng minh:

Theo công thức định nghĩa của S² ta có:

$s^2=\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n{\left(x_i-\bar{x}\right)}^2$

Ta có:

${\left(x_i-\bar{x}\right)}^2={\left(x_i\right)}^2-2x_i\bar{x}+{\left(\bar{x}\right)}^2$

Vậy: 

$\sum _{i=1}^n{\left(x_i-\bar{x}\right)}^2=\sum _{i=1}^n\left[{\left(x_i\right)}^2-2\bar{x}.x_i+{\left(\bar{x}\right)}^2\right]$

$=\sum _{i=1}^n{x}_i^2-2\bar{x}.x_i+n.{\left(\bar{x}\right)}^2=\sum _{i=1}^n{x}_i^2-n.{\left(\bar{x}\right)}^2$

Suy ra: 

$S^2=\frac{1}{n-1}\left[\sum _{i=1}^n{x}_i^2-n{\left(\bar{x}\right)}^2\right]$

Thí dụ 3: Quan sát điểm thi môn Toán cao cấp của 10 sinh viên được chọn ngẫu nhiên từ một lớp ta thu được các số liệu sau:

5; 6; 7; 4; 6; 9; 4; 5; 5; 7

Tính $\bar{x}$ và s của mẫu này.

Giải

Ta có: $\sum _{i=1}^{10}{x}_i=58$ vậy: $\bar{x}=\frac{58}{10}=5,8$

$\sum _{i=1}^{10}{x}_i^2=358$ vậy: $s^2=\frac{1}{9}\left[358-10.{(5,8)}^2\right]=2,4$

$\Rightarrow s=\sqrt{s^2}=\sqrt{2,4}=1,549193$

Chú ý:

Để tính $\bar{x}$ ta có thể dùng hàm AVERAGE trong Excel: $\bar{x}=AVERAGE\left\{x_i\right\}$

Để tính s² ta có thể dùng hàm VAR trong Excel: s² =VAR{X_i}

Để tính s ta có thể dùng hàm STDEV trong Excel: s = STDEV{X_i}

Cách thức thực hiện các lệnh này cũng tương tự như lệnh AVERAGE (xem phụ lục 1).

Thí dụ 4: Có các số liệu về doanh số bán (Y) và chi phí chào hàng (X) của 12 công ty thương mại tư nhân cho ỏ bảng dưới đây. Hãy tính trung bình mẫu và độ lệch chuẩn mẫu của X và Y.

Doanh số bán (yi) triệu đ/năm	Chi phí chào hàng (xi) triệu đ/năm	Doanh số bán (yi) triệu đ/năm	Chi phí chào hàng (xi) triệu đ/năm
1270 1490 1060 1626 1020 1800	100 106 60 160 70 170	1610 1280 1390 1440 1590 1380	140 120 116 120 140 150

Tính trung bình mẫu và độ lệch chuẩn mẫu của X và Y.

Từ các số liệu cho ở bảng trên, ta tính được:

$\sum _{i=1}^{12}{x}_i=1452$ Vậy: $\bar{x}=\frac{1452}{12}=121$

$\sum _{i=1}^{12}{y}_i=16956$ Vậy: $\bar{y}=\frac{16956}{12}=1413$

$\sum _{i=1}^n{x}_i^2=188192$. Vậy: $s_X^2=\frac{1}{11}\left[188192-12{(121)}^2\right]=1136,363636$

$\Rightarrow s_X=\sqrt{1136,363636}=33,71$

$\sum _{i=1}^n{y}_i^2=24549576$. Vậy: $s_Y^2=\frac{1}{11}\left[24549576-12{(1413)}^2\right]=53704,36364$

$\Rightarrow s_Y=\sqrt{53704,36364}=231,742$

Trường hợp này, để tính $\bar{x}$ và s² ta áp dụng công thức: 

$\bar{x}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^k{n}_i{x}_i$

$s^2=\frac{1}{n-1}\left[\sum _{i=1}^k{n}_i{x}_i^2-n{\left(\bar{x}\right)}^2\right]$

Chú ý:  $\sum _{k=1}^k{n}_i{x}_i$ trong công thức (6.30) cũng chính là  $\sum _{i=1}^n{x}_i$ trong công thức (6.27); Tương tự  $\sum _{k=1}^k{n}_i{x}_i^2$ trong công thức (6.31) cũng chính là $\sum _{k=1}^n{x}_i^2$ trong công thức (6.28).

Với các số liệu cho ở thí dụ 3, ta có thể trình bày số liệu quan sát của mẫu này dưới dạng có tần số như sau:

xi	4	5	6	7	9
ni	2	3	2	2	1

Từ số liệu ở bảng trên, ta tính được:

$\sum _{i=1}^k{n}_i{x}_i=58;\sum _{i=1}^k{n}_i{x}_i^2=358$

So sánh với kết quả tính ở thí dụ 3 ta có thể minh chứng cho nhận xét nêu trên.

Thí dụ 5: Tính trung bình và phương sai của mẫu cho ở bảng sau:

xi	4	5	7	9
ni	10	15	13	12

Giải:

Từ số liệu của mẫu đã cho ta tính được: $\sum _i{n}_i{x}_i=314$. Vậy: $\bar{x}=\frac{314}{50}=6,28$

$\sum _i{n}_i{x}_i^2=2144$. Vậy: $s^2=\frac{1}{49}\left[2144-50.{(6,28)}^2\right]=3,5118$

Thí dụ 6: Số liệu cho ở cột 1 và cột 3 của bảng dưới đây (bảng 6.33) là số liệu quan sát về lượng hàng bán được (kg/ngày) của một đại lý. Hãy tính trung bình mẫu và phương sai mẫu.

Lượng hàng bán được(kg/ngày)	Số ngày
800-850 851-900 901-950 951-1000 1001-1050 1051-1100 1101-1150 1151-1200 1201-1300	9 12 24 36 25 20 16 10 8

Ta thay mỗi khoảng bằng giá trị trung tâm khoảng, từ đó ta có bảng sau: (bảng 6.34)

xi	ni
825 875,5 925,5 975,5 1025,5 1075,5 1125,5 1175,5 1250,5	9 12 24 36 25 20 16 10 8
	n = 160

Từ số liệu của bảng trên, ta tính được: $\sum _i{n}_i{x}_i=162175,5$

Vậy: 

$\bar{x}=\frac{162175,5}{160}=1013,596875$

$\sum _{i=1}^n{n}_i{x}_i^2=166159712,75$

Vậy

$s^2=\frac{1}{159}\left[166159712,75-160.{(1013,125)}^2\right]=11189,51384$