Bài 3: Hàm số bậc hai

• Hàm số bậc hai là hàm số được cho bằng biểu thức có dạng \(y = a{x^2} + bx + c\) trong đó a, b, c là các hằng số cho trước và \(a \ne 0\).
• Tập xác định của hàm số bậc hai là R.
• Hàm số \(y=ax^2\) (a khác 0) mà chúng ta đã học ở lớp dưới là một hàm số bậc hai có đồ thị là một Parabol.

a) Nhắc lại về đồ thị \(y=ax^2(a\ne0)\)

• Đồ thị luôn đi qua gốc tọa độ \(O(0;0).\)
• Parabol đối xứng nhau qua trục tung.
• Parabol hướng lên trên khi a dương, và hướng xuống dưới khi a âm.

b) Đồ thị hàm số \(y=ax^2+bx+c(a\ne0)\)

Ta biết rằng:

\(\begin{array}{l} a{x^2} + bx + c = a\left( {{x^2} + 2\frac{b}{{2x}} + \frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}}} \right) - \frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}} + c\\ = a{\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)^2} - \frac{{{b^2} - 4ac}}{{4a}} \end{array}\)

Vì vậy, nếu đặt: \(\Delta = {b^2} - 4ac;p = - \frac{b}{{2a}};q = - \frac{\Delta }{{4a}}\)

Thì hàm số \(y=ax^2+bx+c(a\ne0)\) trở thành \(y = a{\left( {x - p} \right)^2} + q\)

Kết luận:

Đồ thị hàm số \(y=ax^2+bx+c(a\ne0)\) là một Parabol có đỉnh \(I\left( { - \frac{b}{{2a}}; - \frac{\Delta }{{4a}}} \right)\), nhận đường thẳng \(x = - \frac{b}{{2a}}\) làm trục đối xứng và hướng bề lõm lên trên khi a dương, bề lõm xuống dưới khi a âm.

• Khi \(a>0\) hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - \frac{b}{{2a}}} \right)\), đồng biến trên khoảng \(\left( { - \frac{b}{{2a}}; + \infty } \right)\) và có giá trị nhỏ nhất là \( - \frac{\Delta }{{4a}}\) khi \(x = - \frac{b}{{2a}}.\)
• Khi \(a<0\) hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - \frac{b}{{2a}}} \right)\), nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \frac{b}{{2a}}; + \infty } \right)\) và có giá trị lớn nhất là \( - \frac{\Delta }{{4a}}\) khi \(x = - \frac{b}{{2a}}.\)

Ví dụ 1:

Xác định parabol \(\left( P \right)\): \(y = a{x^2} + bx + c\), \(a \ne 0\) biết \(\left( P \right)\) đi qua \(A(2;3)\) có đỉnh \(I(1;2)\).

Hướng dẫn:

Vì \(A \in \left( P \right)\) nên \(3 = 4a + 2b + c\) (1).

Mặt khác \(\left( P \right)\) có đỉnh \(I(1;2)\) nên \( - \frac{b}{{2a}} = 1 \Leftrightarrow 2a + b = 0\) (2) và \(I \in \left( P \right)\) suy ra \(2 = a + b + c\) (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}4a + 2b + c = 3\\2a + b = 0\\a + b + c = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b =  - 2\\c = 3\end{array} \right.\)

Vậy \(\left( P \right)\) cần tìm là \(y = {x^2} - 2x + 3\).

Ví dụ 2:

Xác định parabol \(\left( P \right)\): \(y = a{x^2} + bx + c\), \(a \ne 0\) biết Hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\) có giá trị nhỏ nhất bằng \(\frac{3}{4}\) khi \(x = \frac{1}{2}\) và nhận giá trị bằng \(1\) khi\(x = 1\).

Hướng dẫn:

Hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\) có giá trị nhỏ nhất bằng \(\frac{3}{4}\) khi \(x = \frac{1}{2}\) nên ta có:

\( - \frac{b}{{2a}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow a + b = 0\) (5)\(,\,\,\frac{3}{4} = a{\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} + b\left( {\frac{1}{2}} \right) + c \Leftrightarrow a + 2b + 4c = 3\) (6) và \(a > 0\)

Hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\) nhận giá trị bằng \(1\) khi\(x = 1\) nên \(a + b + c = 1\)(7)

Từ (5), (6) và (7) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}a + b = 0\\a + 2b + 4c = 3\\a + b + c = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b =  - 1\\c = 1\end{array} \right.\)

Vậy \(\left( P \right)\) cần tìm là \(y = {x^2} - x + 1\).

Ví dụ 3:

Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau:

a) \(y = {x^2} + 3x + 2\)                                                                                   

b) \(y =  - {x^2} + 2\sqrt 2 x\)

Hướng dẫn:

a) Ta có \( - \frac{b}{{2a}} =  - \frac{3}{2},\,\, - \frac{\Delta }{{4a}} =  - \frac{1}{4}\)

Bảng biến thiên:

Suy ra đồ thị hàm số \(y = {x^2} + 3x + 2\) có đỉnh là \(I\left( { - \frac{3}{2}; - \frac{1}{4}} \right)\), đi qua các điểm \(A\left( { - 2;0} \right),\,\,B\left( { - 1;0} \right),\,\,C\left( {0;2} \right),\,\,D\left( { - 3;2} \right)\)

Nhận đường thẳng \(x =  - \frac{3}{2}\) làm trục đối xứng và hướng bề lõm lên trên. 

b) Ta có \( - \frac{b}{{2a}} = \sqrt 2 ,\,\, - \frac{\Delta }{{4a}} = 2\)

Bảng biến thiên:

Suy ra đồ thị hàm số \(y =  - {x^2} + 2\sqrt 2 x\) có đỉnh là \(I\left( {\sqrt 2 ;2} \right)\), đi qua các điểm \(O\left( {0;0} \right),\,\,B\left( {2\sqrt 2 ;0} \right)\)

Nhận đường thẳng \(x = \sqrt 2 \) làm trục đối xứng và hướng bề lõm xuống dưới.

Qua bài học này, các bạn sẽ biết dạng hàm số bậc hai và phương pháp khảo sát hàm số bậc hai. Đây là dạng toán quan trọng trong chương trình toán lớp 10 và sẽ có trong nội dung ôn tập thi học kỳ và kiểm tra.

Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 10 Chương 2 Bài 3 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

• Câu 1:

  Tung độ đỉnh I của parabol \(\left( P \right):y = 2{x^2} - 4x + 3\) là:

  • A. -1
  • B. 1
  • C. 5
  • D. -5

• Câu 2:

  Hàm số nào sau đây có giá trị nhỏ nhất tại \(x = \frac{3}{4}\)?

  • A. \(y = 4{x^2}-3x{\rm{ }} + 1\)
  • B. \(y = - {x^2} + \frac{3}{2}x + 1\)
  • C. \(y = -2{x^2} + 3x + 1\)
  • D. \(y = {x^2} - \frac{3}{2}x + 1\)

• Câu 3:

  Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = - {x^2} + 4x + 2\). Mệnh đề nào sau đây là đúng?

  • A. y giảm trên \(\left( {2;\, + \infty } \right)\)
  • B. y giảm trên \(\left( { - \infty ;\,2} \right)\)
  • C. y tăng trên \(\left( {2;\, + \infty } \right)\)
  • D. y tăng trên \(\left( { - \infty ;\,2} \right)\)

Câu 4- Câu 10: Xem thêm phần trắc nghiệm để làm thử Online 

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 10 Chương 2 Bài 3 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Đại số 10 Cơ bản và Nâng cao.

Bài tập 27 trang 58 SGK Toán 10 NC

Bài tập 28 trang 59 SGK Toán 10 NC

Bài tập 29 trang 59 SGK Toán 10 NC

Bài tập 30 trang 59 SGK Toán 10 NC

Bài tập 31 trang 59 SGK Toán 10 NC

Bài tập 32 trang 59 SGK Toán 10 NC

Bài tập 33 trang 60 SGK Toán 10 NC

Bài tập 34 trang 60 SGK Toán 10 NC

Bài tập 35 trang 60 SGK Toán 10 NC

Bài tập 36 trang 60 SGK Toán 10 NC

Bài tập 37 trang 60 SGK Toán 10 NC

Bài tập 38 trang 61 SGK Toán 10 NC

Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán Chúng tôi sẽ sớm trả lời cho các em.