Bài 2: Mặt cầu

• Tập hợp các điểm trong không gian cách điểm O cố định một khoảng không đổi r (r>0) được gọi là một mặt cầu tâm O bán kính r.

Kí hiệu: \(S\left( {O;r} \right) = \left\{ {M|OM = r} \right\}.\)

• Đoạn thẳng nối hai điểm nằm trên mặt cầu gọi là dây cung của mặt cầu.
• Dây cung đi qua tâm gọi là đường kính.

Dây cung CD và đường kính AB.

• Cho mặt cầu S(O;r) và điểm A trong không gian.
  • Nếu OA = r thì điểm A nằm trên mặt cầu.
  • Nếu OA < r thì điểm A nằm trong mặt cầu.
  • Nếu OA > r thì điểm A nằm ngoài mặt cầu.
• Khối cầu: Tập hợp các điểm thuộc mặt cầu S(O;r) cùng với các điểm nằm bên trong mặt cầu đó được gọi là khối cầu hoặc hình cầu tâm O bán kính R.

Nếu điểm A nằm ngoài mặt cầu S(O;r) thì:

• Qua A có vô số tiếp tuyến với mặt cầu.
• Độ dài các đoạn thẳng nối A với các tiếp điểm đều bằng nhau.
• Tập hợp các tiếp điểm là một đường tròn nằm trên mặt cầu.

Cho mặt cầu S(O;r) tâm O bán kính r và mặt phẳng (P); H là hình chiếu vuông góc của O lên mặt phẳng (P).

Khi đó h=OH là khoảng cách từ O đến mặt phẳng (P). 

• Nếu h=r thì (P) tiếp xúc mặt cầu.

Ghi nhớ: Điều kiện cần và đủ để mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu S(O;r) tại điểm H là (P) vuông góc với bán kính OH tại điểm H đó.

• Nếu h>r thì (P) không có điểm chung với mặt cầu.

• Nếu h < r thì (P) cắt mặt cầu S(O;r) theo giao tuyến là một đường tròn tâm H bán kính \(r' = \sqrt {{r^2} - {h^2}} .\)

​

Cho mặt cầu S(O;r) và đường thẳng ∆. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ O lên ∆, đặt h=OH. Ta có:

• Nếu h=r thì đường thẳng ∆ tiếp xúc với mặt cầu tại H.

Ghi nhớ: Điều kiện cần và đủ để đường thẳng \(\Delta\) tiếp xúc với mặt cầu S(O;r) tại điểm H là \(\Delta\) vuông góc với bán kính OH tại điểm H đó.

• Nếu h < r, \(\Delta\) cắt mặt cầu S(0;r) tại hai điểm M,N, đoạn thẳng MN có độ dài \(MN=2\sqrt{r^2-h^2}.\)

Ví dụ 1: 

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB = 3a, BC = 4a, SA = 12a và vuông góc với mặt đáy. Tính diện tích và thể tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.

Lời giải:

Xét các tam giác SAB, SBC, SDC, SAC đều là những tam giác vuông, và có chung SC là cạnh huyền.

Vậy trung điểm I của SC chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.

Xét tam giác ABC vuông tại B ta có: \(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = 5a\).

Xét tam giác SAC vuông tại A ta có: \(SC = \sqrt {S{A^2} + A{C^2}} = 13a\).

Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp là: \(R=\frac{{13a}}{2}\).

Diện tích mặt cầu là: \(S = 4\pi {R^2}=169\pi a^2.\)

Thể tích khối cầu là: \(V=\frac{4}{3}\pi .R^3=\frac{2197}{6}\pi a^3.\)

Ví dụ 2: 

Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đều cạnh a.

Lời giải:

Gọi H là tâm của tam giác đều BCD.

Dễ thấy A nằm trên trục của đường tròn ngoại tiếp ∆BCD.

Gọi O là tâm của mặt cầu ngoại tiếp ABCD thì O nằm trên AH.

Đặt OH=x (x>0)

Ta có:

\(BH = \frac{2}{3}BE = \frac{2}{3}a.\sin {60^0} = a.\frac{{\sqrt 3 }}{3}\)

\(AH = \sqrt {A{B^2} - B{H^2}} = \sqrt {{a^2} - \frac{{{a^2}}}{3}} = a\sqrt {\frac{2}{3}}\)

\(OA = AH - x = a\sqrt {\frac{2}{3}} - x\)

\(BO = \sqrt {B{H^2} + H{O^2}} = \sqrt {\frac{{{a^2}}}{3} + {x^2}}\)

Mặt khác: \(OA = OB \Leftrightarrow a\sqrt {\frac{2}{3}} - x = \sqrt {\frac{{{a^2}}}{3} + {x^2}} \Leftrightarrow x = \frac{{a\sqrt 6 }}{{12}}\).

Vậy tâm O của mặt cầu ngoại tiếp nằm trên AH và cách (BCD) một khoảng \(OH=\frac{{a\sqrt 6 }}{{12}}.\)

Bán kính của mặt cầu là \(R=OA=a\sqrt {\frac{2}{3}} - \frac{{a\sqrt 6 }}{{12}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{4}.\)

Ví dụ 3:

Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC có OA=a, OB=b,OC=c và OA,OB,OC đôi một vuông góc.

Lời giải:

Gọi H là trung điểm của AB.

Dễ thấy H là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆SAB.

Mặt phẳng trung trực của SC cắt trục đường tròn (SAB) tại O.

Ta có O chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC.

Do OHSM là hình chữ nhật nên: \(MS=OH=\frac{1}{2}c\).

\(\begin{array}{l} R = SO = \sqrt {S{H^2} + H{O^2}} = \sqrt {{{\frac{{AB}}{4}}^2} + H{O^2}} \\ = \sqrt {{{\frac{{S{A^2} + SB}}{4}}^2} + H{O^2}} = \frac{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}{2}. \end{array}\)   

Ví dụ 4:

Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy là a, góc giữa AB’ với mặt đáy là 45⁰. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ.

Lời giải:

\(B'B = AB.\tan {45^0} = a\).

Gọi O, O’ lần lượt là trọng tâm các tam giác đều ABC và A’B’C’.

Tâm mặt cầu ngoại tiếp khối lăng trụ là trung điểm I của OO’.

Do A'B'C' là tam giác đều nên \(O'C'=\frac{a \sqrt3}{3}.\)

\(IO'=\frac{1}{2}BB'=\frac{a}{2}.\)

Suy ra: \(R = IC' = \sqrt {IO{'^2} + O'C{'^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt {21} }}{6}\).

Vậy diện tích mặt cầu là: \(S = 4\pi {R^2} = \frac{7}{3}\pi {a^2}\).

Những vật thể có dạng mặt cầu hay khối cầu hết sức quen thuộc trong cuộc sống hằng ngày từ vật thể nhỏ như quả bóng hay đến Trái đất đều là một khối cầu. Nội dung bài học sẽ giới thiệu đến các em khái niệm và các công thức tính diện tích Mặt cầu, thể tích Khối cầu cùng với đó là những bài tập minh họa có lời giải chi tiết sẽ giúp các em nắm được phương pháp giải bài tập ở dạng toán này.

Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 12 Bài 2 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

• Câu 1:

  Cho hình lập phương có cạnh bằng a và tâm I. Tính diện tích S của mặt cầu tâm I tiếp xúc với các mặt của hình lập phương.

  • A.  \(S = 4\pi {a^2}\)
  • B.  \(S = 2\pi {a^2}\)
  • C.  \(S = 8\pi {a^2}\)
  • D.  \(S = \pi {a^2}\)

• Câu 2:

  Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?

  • A. Bất kì một hình tứ diện nào cũng có một mặt cầu ngoại tiếp.   
  • B. Bất kì một hình chóp đều nào cũng có một mặt cầu ngoại tiếp.      
  • C. Bất kì một hình hộp nào cũng có một mặt cầu ngoại tiếp.
  • D. Bất kì một hình hộp chữ nhật nào cũng có một mặt cầu ngoại tiếp.

• Câu 3:

  Cho một tam giác vuông cân có các cạnh góc vuông có độ dài m. Tính diện tích S của mặt cầu sinh bởi đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông đó khi quay quanh cạnh huyền.

  • A.  \(S = 8\pi {m^2}\)
  • B.  \(S = 4\pi {m^2}\)
  • C.  \(S = 2\pi {m^2}\)
  • D.  \(S = \frac{2\pi {m^2}}{3}\)

Câu 2- Câu 5: Xem thêm phần trắc nghiệm để làm thử Online 

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 12 Bài 2 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Hình học 12 Cơ bản và Nâng cao.

Bài tập 2.22 trang 61 SBT Hình học 12

Bài tập 2.23 trang 61 SBT Hình học 12

Bài tập 1 trang 45 SGK Hình học 12 NC

Bài tập 2 trang 45 SGK Hình học 12 NC

Bài tập 3 trang 45 SGK Hình học 12 NC

Bài tập 4 trang 45 SGK Hình học 12 NC

Bài tập 5 trang 45 SGK Hình học 12 NC

Bài tập 6 trang 45 SGK Hình học 12 NC

Bài tập 7 trang 45 SGK Hình học 12 NC

Bài tập 8 trang 45 SGK Hình học 12 NC

Bài tập 9 trang 46 SGK Hình học 12 NC

Bài tập 10 trang 46 SGK Hình học 12 NC

Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán Chúng tôi sẽ sớm trả lời cho các em.