Bài 2: Các tham số đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên (phần 2)

Định nghĩa: Giá trị tin chắc nhất của đại lượng ngẫu nhiên rời rạc X [ký hiệu là Mod(X)] là giá trị của X ứng với xác suất lớn nhất ưong bảng phân phối xác suất.

Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất f(x) thì Mod(X) là giá trị của X mà tại đó hàm mật độ đạt giá trị cực đại.

Thí dụ: Đại lượng ngẫu nhiên X có qui luật phân phối xác suất như sau:

X	7	8	9	10	11	12	14
P	0,1	0,14	0,3	0,24	0,11	0,06	0,05

Ta thấy P(X = 9) = 0,3 lớn nhất. Vì vậy Mod(X) = 9

Từ định nghĩa của Mod(X) ta thấy Mod(X) chính là giá trị có khả năng xảy ra nhiều nhất trong các giá trị mà đại lượng ngẫu nhiên X có thể nhận. Chẳng hạn, X là chiều cao của sinh viên trong một trường, thì Mod(X) là chiều cao mà nhiều sinh viên đạt được nhất; Nếu Y là năng suất của những công nhân trong một nhà máy thì Mod(Y) là năng suất mà số công nhân đạt được mức năng suất này ở nhà máy là nhiều nhất...

Chú ý: Mod(X) có thể nhận nhiều giá trị khác nhau.

Thí dụ: Đại lượng ngẫu nhiên Y có phân phối xác suất như sau:

Y	1	2	3	4	5	6	7
P	0,1	0,15	0,3	0,3	0,08	0,05	0,02

Ta thấy xác suất lớn nhất trong bảng trên là 0,3 ứng với hai giá trị Y = 3 và Y = 4. Vậy Mod(Y) = 3 hoặc Mod(Y) = 4.

Định nghĩa 1: Mô men gốc cấp k (ký hiệu là \({\alpha _k}\)) được định nghĩa như sau: 

\({\alpha _k} = E\left| {{{(X)}^k}} \right|\)

Định nghĩa 2: Mô men trung tâm cấp k (ký hiệu là \({\mu _k}\)) được định nghĩa như sau:

\({\mu _k} = E\left\{ {{{\left[ {X - E(X)} \right]}^k}} \right\}\)

Như vậy, kỳ vọng toán chính là mô men gốc cấp 1: \(E(X) = {\alpha _1}\) ; Phương sai chính là mô men trung tâm cấp 2: \(v{\rm{ar(X) = }}{\mu _2}\)

Giữa mô men gốc và mô men trung tâm có mối liên hệ như sau:

• \({\mu _2} = v{\rm{ar}}(X) = E({X^2}) - {\left[ {E(X)} \right]^2} = {\alpha _2} - {({\alpha _1})^2}\)
• \({\mu _3} = {\alpha _3} - 3{\alpha _1}{\alpha _2} + 2{({\alpha _1})^3}\)
• \({\mu _4} = {\alpha _4} - 4{\alpha _1}{\alpha _3} + 6{({\alpha _1})^2}{\alpha _2} - 3{({\alpha _1})^4}\)

Ta định nghĩa: \(S = \frac{{{\mu _3}}}{{{\sigma ^3}}}\)

Là hệ số bất đối xứng của đại lượng ngẫu nhiên X (trong đó \(\sigma \) là độ lệch chuẩn.

Xét biểu thức của \({{\mu _3}}\) ta có: \({\mu _3} = E\left\{ {{{\left[ {X - E(X)} \right]}^3}} \right\} = {\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {\left[ {x - E(X)} \right]} ^3}f(x)dx\)

Bằng phép tịnh tiến trục Oy đến đường thẳng X = E(X) ta thấy:

Nếu đồ thị của hàm mật độ f(x) đối xứng qua đường thẳng X = E(X) thì  \({\mu _3}=0\) (hình 2.6)

hình 2.6

Nếu \({\mu _3}>0\) thì đồ thị của hàm mật độ f(x) không đối xứng qua đường thẳng X = E(X), phân phối của X lệch về phía bên phải, (hình 2.7)

Hình 2.7

Nếu \({\mu _3}<0\) thì đồ thị của hàm mật độ f(x) không đối xứng qua đường thẳng X = E(X), phân phối của X lệch về phía bên trái, (hình 2.8)

Hình 2.8

Ta định nghĩa: \(K = \frac{{{\mu _4}}}{{{\sigma _4}}}\)

Là hệ số nhọn của đại lượng ngẫu nhiên X. Nếu K càng lớn thì đồ thị hàm mật độ của đại lượng ngẫu nhiên đó càng nhọn, (hình 2.9)

Hình 2.9

Trung vị của đại lượng ngẫu nhiên X [Ký hiệu là Med(X)] là giá trị chia phân phối của đại lượng ngẫu nhiên thành hai phần bằng nhau.

Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc, ta có thể sắp xếp các giá trị của X (và quan tâm đến số lần lặp lại của X) thành một dãy số theo thứ tự từ 1 đến n. Nếu n lẻ thì Med(X) là giá trị của X đứng ở vị trí thứ \(\frac{{n + 1}}{2}\); Nếu n chẵn thì Med(X) là trung bình cộng hai giá trị của X đứng ở vị trí\(\frac{{n }}{2}\) và 

Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục thì trung vị là giá trị Me thỏa mãn điều kiện:

\(\int\limits_{ - \infty }^{Me} {f(x)dx} \)

Thí dụ 1: Cho đại lượng ngẫu nhiên X có bảng phân phối xác suất như sau:

X	0	1	2
P	2/15	8/15	5/15

Tìm Med(X)

Giải: Sắp xếp các giá trị của X theo thứ tự tăng dần và có chú ý đến số lần lặp lại của X ta được:

Số TT	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
X	0	0	1	1	1	1	1	1	1	1	2	2	2	2	2

Theo bảng trên, n = 15;

X nhận giá trị 0 được lặp lại 2 lần; [vì P(X = 0) = 2/15];

X nhận giá trị 1 được lặp lại 8 lần; [vì P(X = 1) = 8/15];

X nhận giá trị 2 được lặp lại 5 lần; [vì P(X = 2) = 5/15];

Vì n lẻ (n =15) nên Med(X) = 1 (1 là giá trị của X đứng ở vị trí thứ 8)

Thí dụ 2: Cho đại lượng ngẫu nhiên Y có quy luật phân phối xác suất như sau:

Y	3	4	5	6	7	8	9
P	0,06	0,14	0,3	0,2	0,1	0,12	0,08

Tìm Med(Y).

Giải: Sắp xếp các giá trị của Y theo thứ tự tăng dần và có chú ý đến số lần lặp lại của Y ta được:

Số TT	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
Y	3	3	3	4	4	4	4	4	4	4	5	5	5

 

Số TT	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26
Y	5	5	5	5	5	5	5	5	5	5	5	5	6

 

STT	27	28	29	30	31	32	33	34	35	36	37	38	39
Y	6	6	6	6	6	6	6	6	6	7	7	7	7

 

STT	40	41	42	43	44	45	46	47	48	49	50
Y	7	8	8	8	8	8	8	9	9	9	9

Trong bảng trên giá trị Y=3 được lặp lại 3 lần vì P(Y=3) = 0,06 =3/50 giá trị Y = 4 được lặp lăi 7 lần vì P(Y = 4) = 0,14 = 7/50;....

Vì n chẵn (n = 50) nên Med(Y) là trung bình cộng của 5 và 6 (là hai giá trị của Y nằm ở vị trí 25 và 26).

Vậy: Međ(Y) = 5,5

Chú ý: Để tính Med(X) ta có thể dùng hàm MEDIAN trong Excel