Bài 1: Tích phân bất định - Nguyên hàm, Tích phân bất định

Định nghĩa

Cho các hàm số f, F xác định trên [a,b].

F được gọi là một nguyên hàm của f trong (a,b) nếu

$F^{\prime }(x)=f(x),\mathrm{\forall }x\in (a,b)$

F gọi là nguyên hàm của f trên [a,b] nếu:

$F^{\prime }(x)=f(x),\mathrm{\forall }x\in (a,b)$

và $F^{\prime }(a^{+})=f(a),F^{\prime }(b^{-})=f(b)$

Ví dụ:

• - cosx là nguyên hàm của sinx vì (-cosx)' = sinx.
• - cosx + 7 cũng là nguyên hàm của sinx .
•  $\frac{x^3}{3},\frac{x^3}{3}-5,\frac{x^3}{3}-C$ là những nguyên hàm của x² vì:

${\left(\frac{x^3}{3}\right)}^{\prime }=\left(\frac{x^3}{3}-5\right)=\left(\frac{x^3}{3}-C\right)=x^2$

Định lý: Nếu hàm số f liên tục trên [a, b] thì f có nguyên hàm trên [a, b].

Định lý: giả sử F là nguyên hàm của f trong (a, b). Khi đó ta có:

i) F + C (C là hằng số) cũng là một nguyên hàm của f trong (a, b)

ii) Nếu G cũng là một nguyên hàm của f trong (a, b) thì tồn tại hằng số C sao cho 

$G\left(x\right)=F\left(x\right)+C\mathrm{\forall }x\in \left(a,b\right)$

Chứng minh:

i) $\left(F\left(x\right)+C\right)=F\left(x\right)=f\left(x\right),\mathrm{\forall }x\in \left(a,b\right)$

⇒ F + C là một nguyên hàm của f trong (a,b)

ii) $\left[G\left(x\right)-F\left(x\right)\right]=G\left(x\right)-F\left(x\right)=f\left(x\right)-f\left(x\right)=0,\mathrm{\forall }x<\left(a,b\right)$

$\Rightarrow \mathrm{\exists }C\in R:G\left(x\right)-F\left(x\right)=C,\mathrm{\forall }x\in \left(a,b\right)$

$\Rightarrow G\left(x\right)=F\left(x\right)+C,\mathrm{\forall }x\in \left(a,b\right)$

Ghi chú:

Định lý trên vẫn đúng nếu thay (a,b) bằng [a,b]
Nếu f có một nguyên hàm thì f có vô số nguyên hàm và hai nguyên hàm bất kỳ của cùng một hàm số thì sai khác nhau một hàng số.

Định nghĩa:

Tập hợp tất cả những nguyên hàm của f trên [a,b] được gọi là tích phân bất định của f trên [a, b], ký hiệu: $\int f(x)dx$ .Nếu F là một nguyên hàm của f thì

$\int f(x)dx=\left\{F(x)+C/C\in R\right\}$

Viết gọn: $\int f(x)dx=F(x)+C$

Cho f, g là các hàm số có nguyên hàm trong (a,b). Khi đó:

$i)\frac{d}{dx}\int f(x)dx={\left(\int f(x)dx\right)}^{\prime }=f(x)$

$ii)d\int f(x)dx=f(x)dx$

$iii)\int \left(f(x)\pm g(x)\right)dx=\int f(x)dx\pm \int g(x)dx$

$iv)\int kf(x)dx=k\int f(x)dx,k\in R$

Hệ quả: $\int \sum _{i=1}^n{k}_i{f}_i(x)dx=\sum _{i=1}^n{k}_i\int f_i(x)dx$

v) Nếu $F^{\prime }(x)=f(x)$ thì 

$\int F^{\prime }(x)dx=\int dF(x)=F(x)+C=\int f(x)dx$

và $\int f(y)dy=F(y)+C,\int f(t)dt=F(t)+C,....$

Chứng minh: Dành cho độc giả (suy ra từ tính chất đạo hàm).

$1.\int Odx=C$

$2.\int adx=ax+C$

$3.\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C(n\ne -1)$

$4.\int \frac{dx}{x}=\ln \left|x\right|+C$

vì $(\ln \left|x\right|+C{)}^{\prime }=\{\begin{array}{l}(\ln {)}^{\prime }(x>0)\\ {\left[\ln (-x)\right]}^{\prime }(x<0)\end{array}=\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}(x>0)\\ -\frac{1}{-x}=\frac{1}{x}(x<0)\end{array}=\frac{1}{x},x\ne 0$

$5.\int e^{x}dx=e^x+C$

$6.\int a^{x}dx=\frac{a^x}{\ln a}+C$

$7.\int \mathrm{sinx}dx=-\cos x+C$

$8.\int cosxdx=\sin x+C$

$9.\int \frac{dx}{{\cos }^{2}x}=\int (1+t{g}^{2}x)dx=tgx+C$

$10.\int \frac{dx}{{\sin }^{2}x}=\int (1+cot{g}^{2}x)dx=-cotgx+C$

$11.\int \frac{dx}{1+x^2}=\arcsin x+C$

$12.\int \frac{dx}{x^n}=\int x^{-n}dx=\frac{x^{-n+1}}{-n+1}+C=\frac{1}{(n-1)x^{n-1}}+C(n\ne 1)$

$13.\int \frac{dx}{x^n}\int x^{-n}dx=\frac{x^{-n+1}}{-n+1}+C=\frac{-1}{(n-1)x^{n-1}}+C(n\ne 1)$

$\int \frac{dx}{2\sqrt{x}}=\sqrt{x}+C$

$14.\int tgxdx=\int \frac{\mathrm{sinx}}{\cos x}dx=\int \frac{-d(\cos x)}{\cos x}=-\ln \left|\cos x\right|+C$

$15.\int cotgxdx=\int \frac{cosx}{\sin x}dx=\int \frac{d(\sin x)}{\sin x}=\ln \left|\sin x\right|+C$

$16.\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\arcsin \frac{x}{\left|a\right|}+C$

$17.\int \frac{dx}{a^2-x^2}=\frac{1}{A}\mathrm{arctg}\frac{x}{a}+C$

$18.\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+b}}=\ln \left|x+\sqrt{x^2+b}\right|+C$

$19.\int \frac{dx}{x^2-a^2}=\frac{1}{2a}\ln \left|\frac{x-a}{x+a}\right|+C(a\ne 0)$

$20.\int \frac{dx}{(x-a)(x-b)}=\frac{1}{b-a}\ln \left|\frac{x-b}{x-a}\right|+C(a\ne b)$

$21.\int \sqrt{a^2-x^2}dx=\frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}+\frac{a^2}{2}\arcsin \frac{x}{\left|a\right|}+C(a\ne 0)$

$22.\int \sqrt{a^2+x^2}dx=\frac{x}{2}\sqrt{a^2+x^2}+\frac{a^2}{2}\ln \left|x+\sqrt{a^2+x^2}\right|+C$

$a.\int \frac{x^4-5x^3-x^2+3x+7}{x^2+1}dx$

$=\int \left(x^2-5x-2+\frac{8x+9}{x^2+1}\right)dx=\frac{x^3}{3}-\frac{5x^2}{2}-2x+\int \left(\frac{8x+9}{x^2+1}\right)dx$

$=\frac{x^3}{3}-\frac{5x^2}{2}-2x+\int \frac{4.2xdx}{x^2+1}+9\int \frac{dx}{x^2+1}$

$=\frac{x^3}{3}-\frac{5x^2}{2}-2x+4\int \frac{d(x^2+1)}{x^2+1}+9arctgx$

$=\frac{x^3}{3}-\frac{5x^2}{2}-2x+4\ln (x^2+1)+9arctgx+C$

$b.\int (x^2+x)\sqrt{x\sqrt{x}}dx=\int (x^2+x)x^{\frac{1}{2}}{x}^{\frac{1}{4}}dx$

$=\int \left(x^{\left(2+\frac{3}{4}\right)}+x^{\left(2+\frac{3}{4}\right)}\right)dx=\int \left(x^{\frac{11}{4}}+x^{\frac{7}{4}}\right)dx$

$=\frac{4}{15}{x}^{\frac{15}{4}}+\frac{4}{11}{x}^{\frac{11}{4}}+C$

$c.\int e^{3x}7xdx=\int {\left(e^{3}7\right)}^{x}dx=\frac{{\left(e^{3}7\right)}^x}{\ln (e^{3}7)}=\frac{e^{3x}{7}^x}{3+\ln 7}+C$

$d.\int \frac{dx}{x+a}=\int \frac{d(x+a)}{x+a}=\ln \left|x+a\right|+C$

$e.\int \frac{\mathrm{sinxdx}}{{\cos }^{3}x}=\int \frac{tgxdx}{{\cos }^{2}x}=\int tgxd(tgx)=\frac{t{g}^{2}x}{2}+C$

$f.\int \frac{dx}{{(x-\sqrt{x^2+1})}^2}=\int \frac{\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)}{{\left[x^2-(x^2+1)\right]}^2}dx=\int \left(x^2+2x\sqrt{x^2+1}+x^2+1\right)dx$

$=2\frac{x^3}{3}+x+\int u^{\frac{1}{2}}du=2\frac{x^3}{3}+x\frac{u^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}+C=\frac{2}{3}{x}^3+x+\frac{2}{3}(x^2+1{)}^{\frac{3}{2}}+C$

$g.\int \frac{dx}{x^2-a^2}=\int \frac{dx}{(x-a)(x+a)}=\frac{1}{2a}\int \frac{(x+a)-(x-a)}{(x-a)(x+a)}dx$

$=\frac{1}{2a}\int \left(\frac{1}{x-a}-\frac{1}{x+a}\right)dx=\frac{1}{2a}\left[\ln \left|x-a\right|\right]-\left[\ln \left|x+a\right|\right]+C$

$=\frac{1}{2a}\ln \left|\frac{x-a}{x+a}\right|+C(a\ne 0)$

$h.\int t{g}^{2}xdx=\int \left(t{g}^{2}x+1-1\right)dx=tgx-x+C$

$i.\int t{g}^{5}xdx=\int \left(t{g}^{5}x+t{g}^{3}x-t{g}^{3}x+tgx-tgx\right)dx$

$=\int t{g}^{3}x(t{g}^{2}x+1)dx-\int tgx(t{g}^{2}x+1)dx+\int tgxdx=\frac{t{g}^{4}x}{4}-\frac{t{g}^{2}x}{2}-\ln \left|\cos x\right|+C$

a. Giả sử f là hàm số có nguyên hàm trên miền D.

Đặt $x=\phi (t)$, với $\phi$ là hàm khả vi đơn điệu đối với biến t và miền giá trị của $\phi (t)$ chứa trong D. Khi đó;

$\int f(x)dx=\int f(\phi (t)){\phi }^{\prime }(t)dt$

Ví dụ:

1) $I=\int \frac{\sin \sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x^2}}dx.$

Đặt $x=t^3\Rightarrow dx=3t^{2}dt,\sqrt[3]{x^2}=t^2,\sqrt[3]{x}=t$

$\Rightarrow I=\int \frac{(\sin t)3t^{2}dt}{t^2}=\int 3\sin tdt=-3\mathrm{cost}+C=-3cos\sqrt[3]{x}+C$

2) $I=\int \sqrt{a^2-x^2}dx(a>0,a^2-x^2\ge 0\iff -a\le x\le a)$

Đặt $x=a\sin t,-\frac{\pi }{2}\le t\le \frac{\pi }{2}\Rightarrow dx=a\mathrm{costdt}$và $\sin t=\frac{x}{a}$

$\Rightarrow I=\int \sqrt{a^2-x^2}dx=\int \sqrt{a^2-a^2{\sin }^{2}t}a\cos tdt$

$=\int a\sqrt{{\cos }^{2}t}a\cos tdt=\int a^2\left|\cos t\right|\cos tdt=\int a^2{\cos }^{2}tdt$

$=\int \frac{a^2(1+\cos 2t)}{2}dt=\frac{a^2}{2}t+\frac{a^2}{4}\sin 2t+C$

$=\frac{a^2}{2}\arcsin \frac{x}{a}+\frac{a^2}{4}2\sin tcost+C=\frac{a^2}{2}\arcsin \frac{x}{a}+\frac{a^2}{2}.\frac{x}{a}\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}+C$

$=\frac{a^2}{2}\arcsin \frac{x}{a}+\frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}+C$

b. Đặt u = h(x) với h khả vi liên tục, ta có:

$\int g(h(x))h^{\prime }(x)dx=\int g(u)du$

Cho u = u(x), v = v(x) là các hàm khả vi và có đạo hàm liên tục. Khi đó $\int udv=uv-\int vdu$

Chứng minh:

Ta có: $d(uv)=vdu+udv\Rightarrow \int d(uv)=\int udv+\int vdu$

Suy ra $\int udv=uv-\int vdu$

Thông thường để tính $\int f(x)dx$, ta phân tích: $f(x)dx=udv$ sao cho tính được các tích phân $\int vdu$ và $\int dv$

Nhận xét:

• Dạng $\int p(x)\left[\begin{array}{l}{e}^x\\ \cos x\\ \mathrm{sinx}\end{array}\right]dx$. Đặt u = p(x) và $dv=\left[\begin{array}{l}{e}^x\\ \cos x\\ \mathrm{sinx}\end{array}\right]dx$
• Dạng $\int p(x)\left[\begin{array}{l}\ln x\\ arctgx\\ arcsinx\end{array}\right]dx.$ Đặt $u=\left[\begin{array}{l}\ln x\\ arctgx\\ arcsinx\end{array}\right],dv=p(x)dx$

Ví dụ: 

a) $\int x^2{e}^{x}dx$. Đặt $u=x^2\Rightarrow du=2xdx$

$dv=e^{x}dx$, chọn $v=e^x$

Do đó: $\int x^2{e}^{x}dx=uv-\int vdu=x^2{e}^x-\int 2x{e}^{x}dx$

Đặt $u=2x\Rightarrow du=2dx;dv=e^{x}dx$chọn $v=e^x$

$\Rightarrow \int x^2{e}^{x}dx=x^2{e}^x-\left[2x{e}^x-\int 2e^{x}dx\right]=x^2{e}^x-2x{e}^x+2e^x+C$

Tổng quát:

$\int x^n{e}^{x}dx=x^n{e}^x-n{x}^{n-1}{e}^x+n(n-1)x^{n-2}{e}^x+...+(-1{)}^{n-1}n!x{e}^x+(-1{)}^{n}n!e^x+C$

b) $I=\int x^3\mathrm{sinxdx}$

Đặt $u=x^3\Rightarrow du=3x^{2}dx.dv=\mathrm{sinxdx}$chọn v = - cosx

$\Rightarrow I=-x^3\cos x+\int 3x^2\cos xdx$

$=-x^3\cos x+3x^2\sin -\int 6x\sin xdx$

$=-x^3\cos x+3x^2\sin +6xcosx-\int 6\cos xdx$

$=-x^3\cos x+3x^2\sin +6xcosx-6\sin x+C$

c) $I=\int xarctgxdx$

Đặt $u=arctgx\Rightarrow du=\frac{dx}{1+x^2}$

$dv=xdx,v=\frac{1}{2}(x^2+1)$

$\Rightarrow I=\frac{1}{2}(x^2+1)arctgx-\int \frac{1}{2}(x^2+1)\frac{1}{1+x^2}dx=\frac{1}{2}(x^2+1)arctgx-\frac{x}{2}+C$

d) $\int \sqrt{a^2-x^2}dx(a>0)$

Đặt $u=\sqrt{a^2-x^2}\Rightarrow du=\frac{-2xdx}{2\sqrt{a^2-x^2}}=-\frac{xdx}{\sqrt{a^2-x^2}}$

$\Rightarrow I=x\sqrt{a^2-x^2}-\int -\frac{x^{2}dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=x\sqrt{a^2-x^2}-\int \frac{-x^2+a^2-a^2}{\sqrt{a^2-x^2}}dx$

$\Rightarrow 2I=x\sqrt{a^2-x^2}+a^2\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}$

$\Rightarrow I=\frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}+\frac{a^2}{2}\arcsin \frac{x}{a}+C$

Tương tự: $J=\int \sqrt{a^2+x^2}dx$

Đặt $u=\sqrt{a^2+x^2}\Rightarrow du=\frac{xdx}{\sqrt{a^2+x^2}},dv=dx$chọn v = x

Ta có: 

$J=x\sqrt{a^2+x^2}-\int \frac{x^{2}dx}{\sqrt{a^2+x^2}}=x\sqrt{a^2+x^2}-\int \frac{x^2+a^2-a^2}{\sqrt{a^2+x^2}}dx$

$\Rightarrow 2J=x\sqrt{a^2+x^2}+a^2\int \frac{dx}{\sqrt{a^2+x^2}}$

$\Rightarrow J=\frac{1}{2}x\sqrt{a^2+x^2}+\frac{a^2}{2}\int \frac{dx}{\sqrt{a^2+x^2}}$

$=\frac{x}{2}x\sqrt{a^2+x^2}+\frac{a^2}{2}\ln \left(x+\sqrt{a^2+x^2}\right)+C$