Bài 1: Số thực

Mời các bạn cùng tham khảo nội dung bài giảng Bài 1: Số thực sau đây để tìm hiểu về Một số thiếu sót của Q, tính chất được sắp hoàn chỉnh, vài ứng dụng của tính chất được sắp hoàn chỉnh, giá trị tuyệt đối - Nhị thức Newton.

Tóm tắt lý thuyết

1. Một số thiếu sót của Q

Mệnh đề: Phương trình $x^{2} = 2$ không có nghiệm trong Q.

Chứng minh: Giả sử $x^{2} = 2$ có nghiệm trong Q là x₀

$\Rightarrow x_{0} = \frac{m}{n}$ với ra $m, n \in Z, n \neq 0 v à \frac{m}{n}$ là phân số tối giản (m, n nguyên tố cùng nhau)

Khi đó ${(\frac{m}{n})}^{2} = 2 \Rightarrow \frac{m^{2}}{n^{2}} = 2 \Rightarrow m^{2} = 2 n^{2}$ (1)

⇒ m² là số chẵn ⇒ m là số chân (vì nếu m là số lẻ thì m² là số lẻ) ⇒ m = 2k (k $\in$ Z, k $\neq$ 0 ) (2)

(1) và (2) $\Rightarrow (2 k)^{2} = 2 n^{2} \Rightarrow 2 k^{2} = n^{2} \Rightarrow n^{2}$ là số chẵn

⇒ n là số chẵn $\Rightarrow n = 2 h (h \in Z, h \neq 0) \Rightarrow \frac{m}{n} = \frac{2 k}{2 h} = \frac{k}{h}$

$\Rightarrow \frac{m}{n}$ không là phân số không tối giản

⇒ mâu thuẫn với giả thiết.

Do đó phương trình x² = 2 không có nghiệm trong Q.

2. Tính chất được sắp hoàn chỉnh:

Khái niệm

Tất cả các số hữu tỷ và vô tỷ gọi chung là số thực.

Tập hợp các số thực ký hiệu là R. Trên R có các tính chất về phép cộng, nhân và bất đảng thức như đã biết.

Đinh nghĩa: Cho $A \subset R$ và $A \neq \emptyset$

A là bị chận trên nếu $\exists k \in R$ sao cho $x \leq k, \forall x \in A$

A bị chận dưới nếu $\exists k \in R$ sao cho $x \geq k, \forall x \in A$

Tính chất được sắp hoàn chỉnh:

Mọi tập con của R khác $\emptyset$ bị chận trên đều tồn tại chận trên nhỏ nhất.

Nhận xét: nếu A có chận trên nhỏ nhất thì chận trên nhỏ nhất là duy nhất và ký hiệu là supA.

Chứng minh: Giả sử A có hai chận trên nhỏ nhất là k₁ và k₂, ta có:

$k_{1} \leq k_{2}$ (vì k₁ là chận trên nhỏ nhất)

$k_{2} \leq k_{1}$ (vì k₂ là chận trên nhỏ nhât)

⇒ k₁ = k₂

M là chận trên nhỏ nhất của A nếu mọi T là chận trên của A thì $M \leq T$

m là chận dưới lớn nhất của A nếu ta có $m \geq t, \forall t$ là chận dưới của A.

$A \subset R, A \neq \emptyset$ . Nếu A bị chận trên thì A có vô số chận trên. Nếu A bị chận dưới thì A có vô số chận dưới.

Hệ quả: Cho $A \subset R, A \neq \emptyset$ . Nếu A bị chận dưới thì A có chận dưới lớn nhất, ký hiệu là inf A .

Chứng minh: Đặt $B = {- x / x \in A}$ . Vì A bị chận dưới nên tồn tại $m \in R$ sao cho :

$m \leq x, \forall x \in A \Rightarrow - x \leq - m, \forall - x \in B$

⇒ B bị chận trên, do tính được sáp hoàn chỉnh ta có Sup B tồn tại.

Ta có: $\forall x \in A, - x \leq s u p B \Rightarrow - s u p B < x$

$\Rightarrow - S u p B$ là một chận dưới của A.

Ta sẽ chứng minh -sup B là một chận dưới lớn nhất của A. Thật vậy, $\forall t$ là chận dưới của A thì

$t \leq x, \forall x \in A$

$\Rightarrow - x \leq - t, \forall - x \in B$

⇒ - t là một chận trên của B

$\Rightarrow s u p B \leq - t \Rightarrow t \leq - s u p B$

=> inf A = -sup B

Ví dụ: Với A={-7,5,-2,1} thì supA = 5 ; inf A = -7

A = {-2,18} thì supA =18; inf A = -2

A= [-7; 12] thì supA = 12 ; infA = - 7

A =(-5,2) thì supA = 2 ; inf A = - 5

Nhận xét: SupA có thể thuộc A hoạc không thuộc A. Nếu supA $\in$ A ta có supA = maxA

InfA có thể thuộc A hoạc không thuộc A.

Nếu inf A e A ta có inf A = min A

Mênh đề (đặc trưng của sup).

Cho $A \subset R, A \neq \emptyset$ . Khi đó: M = sup A

(i) M là một chận trên của A

(ii) $\forall ε > 0, \exists x_{0} \in A : M - ε < x_{0} \leq M$

Chứng minh:

(⇒) Giả sử M = supA, khi đó (i) là hiển nhiên.

$\forall ε > 0 \Rightarrow M - ε < M \Rightarrow M - ε$ không là chặn trên của A.

⇒ mệnh đề $(\forall x \in A; x \leq M - ε)$ là sai.

$\Rightarrow \exists x_{0} \in A : M - ε < x_{0} \leq M \Rightarrow$ (ii) thỏa.

Giả sử M thỏa i) và ii) ⇒ M là chặn trên. Giả sử M không là chặn trên nhỏ nhất của A.

Ta có: supA < M ⇒ supA - M < 0 .

Coi $ε = M - s u p A > 0$

Từ ii) $\Rightarrow \exists x_{0} \in A : M - (M - sup A) < x_{0} \leq sup A$

$\Rightarrow sup A < s u p A$ vô lý

Vậy M phải là chặn trên nhỏ nhất của A.

3. Vài ứng dụng của tính chất được sắp hoàn chỉnh

Mệnh đề: (Tính chất Archimède)

$\forall a, b \in R v à a > 0$ luôn luôn $\exists n \in N$ để cho n.a > b

Chứng minh:

Giả sử $\exists n \in N$ để cho $n a > b \Rightarrow n a \leq b, \forall n \in N$ .

Đặt $A = {n . a / n \in N}$ , ta có $A \neq \emptyset$ vì A chứa phần tử

a = 1.a

Vì $n a \in A$ và $n a . ε = a > 0$ thì :

$\exists x_{0} \in A : s u p A - a < x_{0}$

Vì $x_{0} \in A$ nên $\exists n_{0} \in N : x_{0} = n_{0} a$

Do đó $sup A - a < n_{0} a$

$\Rightarrow sup A < n_{0} a + a = (n_{0} + 1) a \in A$

⇒ vô lý.

Hệ quả: $\forall ε > 0, ε \in R, \exists n \in N$ sao cho $\frac{1}{n} < ε$

Chứng minh:

Áp dụng tính chất Archimède với a = $ε$ và b = 1 ta có:

$n ε > 1 \Rightarrow \frac{1}{n} < ε$

Mênh đề: Xen kẽ hai số thực khác nhau bất kỳ có ít nhất một số hữu tỷ. Nói cách khác:

$\forall a, b \in R v a a < b \Rightarrow \exists α \in Q : a < α < b$

Tương tự, xen kẽ giữa hai số thực bất kỳ có ít nhất một số vô tỉ.

Mênh đề: Phương trình x2 =2 có nghiệm trong R.

Chứng minh: Đặt $A = {t \in [1; 2] / t^{2} \leq 2}$ .Vì 1 $\in$ A nên $A \neq \emptyset$ , hơn nữa A bị chặn trên bởi 2 ⇒supA tồn tại và $1 \leq s u p A \leq 2$ . Ta sẽ chứng minh rằng supA là nghiệm của phương trình x2 = 2 nghĩa là cần kiểm tra (sup A)2 = 2.

Ta chứng minh bằng phản chứng

Giả sử (sup A)2 < 2. Xét 0 < £ < 1, ta có

$\begin{array}{l} {(s u p A + ε)}^{2} = {(s u p A)}^{2} + 2. ε . s u p A + ε^{2} \\ \leq {(s u p A)}^{2} + 4. ε + ε^{2} \\ \leq {(s u p A)}^{2} + 5 ε \end{array}$

Để ${(s u p A)}^{2} + 5 ε = 2$ ta chọn

$ε = \frac{2 - {(sup A)}^{2}}{5} (0 < ε < 1)$

Do đó với $ε = \frac{2 - {(sup A)}^{2}}{5}$ ta có $(sup A + ε)^{2} \leq 2$

$\Rightarrow sup A + ε \in A$

Mà sup $sup A + ε > sup A$ : vô lý.

ii) Giả sử (sup A)2 > 2. Xét $ε > 0$ , ta có :

$\begin{array}{l} {(sup A - ε)}^{2} = (sup A)^{2} - 2 ε sup A + ε^{2} \\ > (sup A)^{2} - 2. ε sup A \\ \geq (sup A)^{2} - 4 ε \end{array}$

Để $(sup A)^{2} - 4 ε = 2$ ta chọn

$ε = \frac{{(sup A)}^{2} - 2}{4} > 0$

Khi đó với $ε = \frac{{(sup A)}^{2} - 2}{4} > 0$ , ta có ${(sup A - ε)}^{2} > 2$ với $0 \leq t^{2} \leq 2 \Rightarrow t \in A$ Vậy $sup A - ε$ là một chặn trên của A

$\Rightarrow sup A \leq sup A - ε$

$\Rightarrow sup A - ε \leq sup A$ vô lý

4. Giá trị tuyệt đối - Nhị thức Newton.

Định nghĩa. Trị tuyệt đối của một số thực a là

$| a | = {\begin{cases} a n e u a \geq 0 \\ - a n e u a < 0 \end{cases}$

Tính chất.

$\begin{array}{l} i) | x | \geq 0, \forall x \in R \\ i i) | x + y | \leq | x | + | y |; d ấ u = x ả y r a \Leftrightarrow x y \geq 0 \\ i i i) | x | - | y | \leq | x - y |; | x | - | y | \leq | x + y | \\ i v) | x y | = | x | | y |; | \frac{x}{y} | = | \frac{x}{y} |, y \neq 0 \end{array}$

Nhị thức Newton:

$\begin{array}{l} (a + b)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} \frac{n!}{k! (n - k)!} a^{n - k} b^{k} \\ (a - b)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} \frac{n!}{k! (n - k)!} a^{n - k} {(- 1)}^{k} . b^{k} \end{array}$

Qui ước

$n! = {\begin{cases} n . (n - 1) . (n - 2) . . .2 .1 n e u n > 1 \\ 1 n e u n = 0 \lor n = 1 \end{cases}$

Ta kí hiệu $C_{n}^{k} = \frac{n!}{k! . (n - k)!}$

$\begin{array}{l} a^{n} - b^{n} = (a - b) (a^{n - 1} + a^{n - 2} b + a^{n - 3} b^{2} + . . . + a b^{n - 2} + b^{n - 1}) \\ a^{n} + b^{n} = (a + b) (a^{n - 1} - a^{n - 2} b + a^{n - 3} b^{2} + . . . + a b^{n - 2} + (- 1)^{n - 1} b^{n - 1}) \end{array}$

với n lẻ

Ghi chú: Khoảng mở tâm a bán kính $ε > 0$ là

$(a - ε; a + ε)$

còn gọi là lân cận tâm a bán kính $ε$ .

Bài 1: Số thực

Tóm tắt lý thuyết

1. Một số thiếu sót của Q

2. Tính chất được sắp hoàn chỉnh:

3. Vài ứng dụng của tính chất được sắp hoàn chỉnh

4. Giá trị tuyệt đối - Nhị thức Newton.

Hồng Phong

Bình luận

Bài viết đọc nhiều

Bài viết cũ mà hay

Có Thể Bạn Quan Tâm ?

Bài 1: Số thực

Tóm tắt lý thuyết

1. Một số thiếu sót của Q

2. Tính chất được sắp hoàn chỉnh:

3. Vài ứng dụng của tính chất được sắp hoàn chỉnh

4. Giá trị tuyệt đối - Nhị thức Newton.

Hồng Phong

Tham khảo thêm

Bình luận

Bài viết đọc nhiều

Bài viết cũ mà hay

Có Thể Bạn Quan Tâm ?