Bài 1: Khái niệm và Sự hội tụ của dãy số

Nội dung bài giảng Bài 1: Khái niệm và Sự hội tụ của dãy số sau đây sẽ giúp các bạn tìm hiểu về khái niệm và sự hội tụ của dãy số của dãy số thực. Mời các bạn cùng tham khảo!

Tóm tắt lý thuyết

1. Khái niệm

Ánh xạ f: N → R

$n \mapsto u_{n} = f (n)$ được gọi là một dãy số thực.

Ký hiệu: $u_{0}, u_{1}, u_{2}, . . ., u_{n}, . . . h a y {u_{n}, n \in N} h a y {u_{n}}$ . Lúc đó, n được gọi là chỉ số; u_n được gọi là số hạng tổng quát của dãy.

Ghi chú: Ta thường xét dãy số thực là ánh xạ từ N vào R.

Ví dụ:

Cho dãy 1, 2, 3, 4, n, .... Ta có số hạng tổng quát của dãy là: u_n = n.
Cho dãy ${u_{n}}$ có số hạng tổng quát $u_{n} = \frac{1}{2 n + 3}$ . Các phần tử của dãy là $\frac{1}{5}, \frac{1}{7}, \frac{1}{9}, . . . .$
Cho u₁ = 2 và $u_{n} = \frac{3 u_{n - 1} + 5}{u_{n - 1}}$ các số hạng của dãy là $u_{1} = 2, u_{2} = \frac{11}{2}, u_{3} = \frac{43}{11}, . . .$

2. Sự hội tụ của dãy số

Định nghĩa:

Dãy {u_n} gọi là hội tụ nếu tồn tai số $a \in R$ thỏa : “ $\forall ε > 0$ cho trước, luôn tồn tại số nguyên dương $N (ε)$ sao cho $\forall n > N (ε) \Rightarrow | u_{n} - a | < ε$ ”

Khi đó ta nói {u_n} hội tụ về a và ký hiệu: u_n→ a hay $lim_{n \to \infty} u_{n} = a$

Nhận xét:

i) Viết $N (ε)$ nghĩa là $N (ε)$ phụ thuộc vào $ε, N (ε)$ có thể không là số nguyên cũng được.

$i i) | u_{n} - a | < ε \Leftrightarrow - ε < u_{n} - a < ε \Leftrightarrow a - ε < u_{n} < a + ε$

$i i i) u_{n} \to 0 \Leftrightarrow | u_{n} | \to 0$

iv) Ta còn có thể nói {u_n} hội tụ về a nếu với mọi khoảng mở V tâm a ta đều có N₀ sao cho $u_{n} \in V, \forall n > N_{0}$ (nghĩa là với mọi $ε$ dương, luôn tồn tại số N₀sao cho $u_{n} \in (a - ε; a + ε), \forall n > N_{0}$ )

Ví dụ: Chứng minh dãy ${\frac{1}{n}}$ hội tụ về 0

$\forall ε > 0$ , ta cần chứng minh tồn tại N₀ sao cho:

$| \frac{1}{n} - 0 | < ε$ với mọi n > N₀

Với $ε > 0$ , theo tính chất Archimède thì $\exists N_{0} : \frac{1}{N_{0}} < ε$

Vậy với n > N₀ ta có $\frac{1}{n} < ε$

Do đó $\forall ε > 0, \exists N_{0} : n > N_{0} \Rightarrow | \frac{1}{n} - 0 | < ε \Rightarrow \frac{1}{n} \to 0$

Ví dụ: Chứng min {u_n} với $u_{n} = \frac{2 n - 1}{3 n + 2}$ hội tụ về $\frac{2}{3}$

Ta có: $| u_{n} - \frac{2}{3} | = | \frac{2 n - 1}{3 n + 2} - \frac{2}{3} | = | \frac{6 n - 3 - 6 n - 4}{3 (3 n + 2)} | = \frac{7}{3 (3 n + 2)} < \frac{7}{n} < ε$

khi $n > \frac{7}{ε} = N_{0}$

Vậy $\forall ε > 0, \exists N_{0} = \frac{7}{ε}$ , sao cho với mọi n > N₀

$\Rightarrow | u_{n} - \frac{2}{3} | < \frac{7}{n} < ε \Rightarrow u_{n} \to \frac{2}{3}$

Định nghĩa: Dãy {u_n} gọi là bị chận nếu $\exists K$ sao cho

$| u_{n} | \leq K, \forall n$

Ví dụ:

{u_n} với $u_{n} = 2 + s i n^{2} \frac{1}{n}$ . Ta có: $2 \leq u_{n} \leq 3, \forall \Rightarrow$ dãy {u_n} bị chận.

{u_n} với $u_{n} = (1 - \frac{1}{2}) (1 - \frac{1}{3}) (1 - \frac{1}{4}) . . . . (1 - \frac{1}{n})$

Ta có: $0 \leq u_{n} \leq 1 \Rightarrow | u_{n} | < 1 \Rightarrow$ dãy {u_n} bị chận.

Ghi chú:

{u_n} gọi là bị chận trên nếu $\exists M : u_{n} \leq M, \forall n$
{u_n} bị chận dưới nếu $\exists m : u_{n} \leq m, \forall n$
{u_n} bị chận ⇔ {u_n} bị chận trên và bị chận dưới.

Mệnh đề

i) {u_n} hội tụ ⇒ {u_n} bị chận.

ii) Giả sử ${u_{n}} \to a \neq 0$ . Thì $\exists A > 0, \exists N > 0$ sao cho $| u_{n} | > A, \forall n > N$

Chứng minh:

Giả sử u_n → a

Khi đó với $ε = 1, \exists N : n > N \Rightarrow | u_{n} - a | < 1$

$\Rightarrow | u_{n} | = | u_{n} - a + a | \leq | u_{n} - a | + | a | < 1 + | a |, \forall n > N (| u_{n} | < 1 + | a |, \forall n > N)$

Chọn $K = m a x {| u_{1} |, | u_{2} |, . . . | u_{N} |, 1 + | a |} \Rightarrow {u_{n}} \leq K, \forall n \in N$

Ghi chú: Ta cũng có thể chọn

K=|u₁| + |u₂| + ... + |u_N|+ 1 +|a|

Giả sử $u_{n} \to a \neq 0$ . Ta sẽ chứng minh:

$\exists A > 0, \exists N > 0 : | u_{n} | > A, \forall n > N$

Với $ε = \frac{| a |}{2} > 0, \exists N : n > N$ ta có $| u_{n} - a | < \frac{| a |}{2}$

$\Rightarrow - \frac{| a |}{2} < - | u_{n} - a |, \forall n > N$

mà $| u_{n} | = | u_{n} - a + a | \geq | a | - | u_{n} - a | > | a | - \frac{| a |}{2} = \frac{| a |}{2} \forall n > N$

$\Rightarrow \exists A = \frac{| a |}{2} > 0 : | u_{n} | > A, \forall n > N$

Mệnh đề:

Nếu $u_{n} \geq 0, \forall n \in N, lim_{x \to \infty} u_{n} = a t h i a \geq 0$

Chứng minh (bằng phản chứng)

Giả sử a < 0, coi $ε = - \frac{a}{2}, \exists N_{1} : n > N_{1} \Rightarrow | u_{n} - a | < - \frac{a}{2}$

$\Rightarrow u_{n} < a - \frac{a}{2} = \frac{a}{2} < 0, \forall n > N_{1}$

⇒ mâu thuẫn với giả thiết $u_{n} \geq 0, \forall n$

Ví dụ: $u_{n} = \frac{1}{n} > 0, \forall n \in N$ nhưng $lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$

Mệnh đề (các phép toán về giới hạn của dãy):

Giả sử $lim_{n \to + \infty} u_{n} = a$ và $lim_{n \to + \infty} v_{n} = b$ . Ta có:

$\begin{array}{l} i) lim_{n \to + \infty} (u_{n} + v_{n}) = a + b \\ i i) lim_{n \to + \infty} u_{n} v_{n} = a . b \\ i i i) lim_{n \to \infty} \frac{u_{n}}{v_{n}} = \frac{a}{b} (n e u b \neq 0) \\ i v) lim_{n \to + \infty} \sqrt{u_{n}} = \sqrt{a} (n e u u_{n} \geq 0, \forall n) \end{array}$

Chứng minh:

i) Với $ε > 0$ cho trước,

$\begin{array}{l} u_{n} \to a \Rightarrow \exists N_{1} : n > N_{1} : | u_{n} - a | < \frac{ε}{2} \\ v_{n} \to b \Rightarrow \exists N_{2} : n > N_{2} : | v_{n} - b | < \frac{ε}{2} \end{array}$

Chọn N = max {N₁, N₂}

$\begin{array}{l} \Rightarrow n > N : | u_{n} + v_{n} - (a + b) | = | u_{n} - a + v_{n} - b | \\ \leq | u_{n} - a | + | v_{n} - b | < \frac{ε}{2} + \frac{ε}{2} = ε \\ \Rightarrow (u_{n} + v_{n}) \to a + b \end{array}$

$\begin{array}{l} i i) | u_{n} v_{n} - a b | = | u_{n} v_{n} - a v_{n} + a v_{n} - a b | \\ = | v_{n} (u_{n} - a) + a (v n - b) | \\ = v_{n} (u_{n} - a) | + | a (v_{n} - b) | \\ = | v_{n} | | u_{n} - a | + | a | | v_{n} - b | \\ \leq M | u_{n} - a | + | a | | | v_{n} - b | | \end{array}$

(vì v_n hội tụ nên v_n bị chận bởi M)

$\leq K | u_{n} - a | + K | v_{n} - b |$

(với K = M + |a| hoặc K = max {M, |a|} )

Do đó: $\forall ε > 0, \exists N_{1} : n > N_{1} : | u_{n} - a | < \frac{ε}{2 K}$

$\exists N_{2} : n > N_{2} : | v_{n} - b | < \frac{ε}{2 K}$

$\Rightarrow n > N = max {N_{1}, N_{2}} : | u_{n} v_{n} - a b | < \frac{K ε}{2 K} + \frac{K ε}{2 K} = ε$

Do đó: $u_{n} v_{n} \to a b$

$i i i) \frac{u_{n}}{v_{n}} = u_{n} \frac{1}{v_{n}}$

Do đó, ta chỉ cần chứng minh: nếu $v_{n} \to b$ thì $\frac{1}{v_{n}} \to \frac{1}{b} (b \neq 0)$

Mênh đề:

Nếu ${\begin{cases} lim_{n \to + \infty} u_{n} = a, lim_{n \to + \infty} v_{n} = b \\ u_{n} \leq v_{n}, \forall n \in N \end{cases}$ thì a < b

Chứng minh: Theo mệnh đề 6, ta có

$lim_{x \to + \infty} (v_{n} - u_{n}) = b - a$

mà $v_{n} - u_{n} \geq 0, \forall n \in N$ . Theo mệnh đề 5 ta suy ra:

$b - a \geq 0 \Rightarrow b \geq a$

Ghi chú

Nếu ta thay $u_{n} \leq v_{n}, \forall n$ , bằng $u_{n} < v_{n}, \forall_{n} > N$ thì định lý vẫn đúng.
Nếu $u_{n} > v_{n}, \forall_{n} \in N$ thì ta cũng chỉ suy ra $b \geq a$ (không thể bỏ dấu = )

Ví dụ: $\frac{3 n^{2}}{4 n^{2} + 1} > \frac{3 n^{2}}{4 n^{2} + 3}$ nhưng

$lim_{x \to + \infty} \frac{3 n^{2}}{4 n^{2} + 1} = lim_{x \to + \infty} \frac{3 n^{2}}{4 n^{2} + 3} = \frac{3}{4}$

Định lý (kẹp)

Giả sử $u_{n} \leq x_{n} \leq v_{n}, \forall n \in N (*)$

và $lim_{x \to + \infty} u_{n} = lim_{x \to + \infty} v_{n} = a$

thì {x_n} hội tụ và $lim_{x \to + \infty} x_{n} = a$

Chứng minh: Với mọi $ε > 0$ cho trước,

Vì $u_{n} \to a$ , nên $\exists N_{1}$ sao cho $\forall n > N_{1}$ thì $| u_{n} - a | < ε$

$\Rightarrow a - ε < u_{n} < a + ε, \forall n > N_{1}$

Vì $v_{n} \to a$ , nên $\exists N_{2}$ sao cho $\forall n > N_{2}$ thì $| v_{n} - a | < ε$

$\Rightarrow a - ε < v_{n} < a + ε, \forall n > N_{2}$

Do đó $\forall n > max {N_{1}, N_{2}} = N$ thì $a - ε < u_{n} \leq x_{n} \leq v_{n} < a + ε$

$\begin{array}{l} \Rightarrow | x_{n} - a | < ε, \forall n > N \\ \Rightarrow x_{n} \to a \end{array}$

Ghi chú: Nếu giả sử thêm x_n cũng hội tụ, lấy giới hạn ba vế của (*) thì ta có:

$\begin{array}{l} a = lim_{x \to + \infty} u_{n} \leq lim_{x \to + \infty} x_{n} \leq lim_{x \to + \infty} v_{n} = a \\ \Rightarrow lim_{x \to + \infty} x_{n} = a \end{array}$

Ví dụ: Tìm $lim_{x \to \infty} \frac{1}{n} \sin (n!)$

Vì $0 \leq | \frac{1}{n} \sin n! | \leq \frac{1}{n} \Rightarrow | \frac{1}{n} \sin n! | \to 0$

$\Rightarrow \frac{1}{n} \sin n! \to 0$

Bài 1: Khái niệm và Sự hội tụ của dãy số

Tóm tắt lý thuyết

1. Khái niệm

2. Sự hội tụ của dãy số

Hồng Phong

Bình luận

Bài viết đọc nhiều

Bài viết cũ mà hay

Có Thể Bạn Quan Tâm ?

Bài 1: Khái niệm và Sự hội tụ của dãy số

Tóm tắt lý thuyết

1. Khái niệm

2. Sự hội tụ của dãy số

Hồng Phong

Bài 2: Dãy số đơn điệu và phân kỳ ra vô cực

Tham khảo thêm

Bình luận

Bài viết đọc nhiều

Bài viết cũ mà hay

Có Thể Bạn Quan Tâm ?