Đề thi kết thúc học phần môn Toán cao cấp - Đề 3

Câu hỏi Tự luận (4 câu):

• Câu 1:

  Mã câu hỏi: 204932

  Tính

  a. $\underset{x\to 4}{lim}\frac{\sqrt{2x+1}-3}{\sqrt{x+2}-\sqrt{2}}$

  b.$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\cos x-\cos 3x}{x^2}$

  Xem đáp án

  a.$\frac{\sqrt{2x+1}-3}{\sqrt{x+2}-\sqrt{2}}=\frac{2(x-4)(\sqrt{x-2}+\sqrt{2})}{(x-4)(\sqrt{2x+1}+3)}\frac{2.2\sqrt{2}}{2.3}=\frac{2}{3}\sqrt{2}$

  b.$\begin{array}{l}\frac{\cos x-\cos 3x}{x^2}=\frac{(cosx-1)+(1-\cos 3x)}{x^2}\\ =\frac{-1}{2}\frac{{\sin }^2\frac{x}{2}}{{(\frac{x}{2})}^2}+\frac{9}{2}\frac{{\sin }^2\frac{3x}{2}}{{(\frac{3x}{2})}^2}\end{array}$

• Câu 2:

  Mã câu hỏi: 204934

  Chứng tỏ rằng f thuộc R cho bởi biểu thức dưới đây không khả vi tại mọi x thuộc R

  $f(x)=\{\begin{array}{l}x+1,x\in Q\\ 3-x,x\in R/Q\end{array}$

  Xem đáp án

  Nhận thấy tập Q và R/Q đều trù mật lấy x thuộc R

  $\underset{\underset{x\in Q}{x\to x_0}}{lim}f(x)=x_0+1,\underset{\underset{x\in Q}{x\to x_0}}{lim}f(x)=3-x_0$

  Vậy hàm không khả vi tại x khác 1

  Xét 1+h thuộc Q....

  Xét 1+h thuộc R\ Q

  vậy không tồn tại f'(1)

• Câu 3:

  Mã câu hỏi: 204936

  cho hàm số $\{\begin{array}{l}\frac{x.\ln (3x+1)}{e^{x^2}-1},x>0\\ 3\cos x+x,x\le 0\end{array}$

  a. Khảo sát sự liên tục của hàm f(x) tại x=0

  b.Tính f'(1)

  Xem đáp án

  a.$\begin{array}{l}{lim}_{x\to 0^{+}}f(x)={lim}_{x\to 0^{+}}\frac{x\ln (3x+1)}{e^{x^2}-1}={lim}_{x\to 0^{+}}\frac{3x^2}{x^2}=3\\ {lim}_{x\to 0^{-}}f(x)={lim}_{x\to 0^{-}}(3\cos x+x)=3\\ f(0)=3\\ {lim}_{x\to 0^{-}}f(x)={lim}_{x\to 0^{+}}f(x)=f(0)\end{array}$ 

  Nên hám số liên tục tại 0

  b:

  $\begin{array}{l}x>0,f^{\prime }(x)=\frac{\left(\ln (3x+1\right)+\frac{3x}{3x+1})(e^{x^2-1})-2x^2.{e^x}^2.\ln (3x+1)}{{{(e}^{x^2-1})}^2}\\ f^{\prime }(1)=\frac{(\ln 4+\frac{3}{4})(e-1)-2e\ln 4}{{\left(e-1\right)}^2}\end{array}$

  TXD: R,T=2$\begin{array}{l}{f}^{\prime }(1)=\frac{(\ln 4+\frac{3}{4})(e-1)-2e\ln 4}{{\left(e-1\right)}^2}\\ \pi \end{array}$

  Bảng biến thiên...

  Vẽ đồ thị...

• Câu 4:

  Mã câu hỏi: 204937

  Tính tích phân suy rộng sau $\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{e^{x}dx}{1+e^{2x}}$

  Xem đáp án

  $\begin{array}{l}\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{e^{x}dx}{1+e^{2x}}=\underset{c\to +\mathrm{\infty }}{lim}\underset{0}{\overset{c}{\int }}\frac{e^{x}dx}{1+e^{2x}}\\ =\underset{c\to +\mathrm{\infty }}{lim}\underset{0}{\overset{c}{\int }}\frac{{d(e}^x)}{1+e^{2x}}=\underset{c\to +\mathrm{\infty }}{lim}{(\arctan (e^x)|}_0^{+\mathrm{\infty }})\\ =\frac{\pi }{4}\end{array}$