Đề thi kết thúc học phần môn Toán cao cấp - Đề 3
Câu hỏi Tự luận (4 câu):
-
Tính
a. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{\sqrt {2x + 1} - 3}}{{\sqrt {x + 2} - \sqrt 2 }}\)
b.\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\cos x - \cos 3x}}{{\mathop x\nolimits^2 }}\)
Xem đáp án a.\(\frac{{\sqrt {2x + 1} - 3}}{{\sqrt {x + 2} - \sqrt 2 }} = \frac{{2(x - 4)(\sqrt {x - 2} + \sqrt 2 )}}{{(x - 4)(\sqrt {2x + 1} + 3)}}\frac{{2.2\sqrt 2 }}{{2.3}} = \frac{2}{3}\sqrt 2 \)
b.\(\begin{array}{l}
\frac{{\cos x - \cos 3x}}{{\mathop x\nolimits^2 }} = \frac{{(cosx - 1) + (1 - \cos 3x)}}{{\mathop x\nolimits^2 }}\\
= \frac{{ - 1}}{2}\frac{{\mathop {\sin }\nolimits^2 \frac{x}{2}}}{{\mathop {(\frac{x}{2})}\nolimits^2 }} + \frac{9}{2}\frac{{\mathop {\sin }\nolimits^2 \frac{{3x}}{2}}}{{\mathop {(\frac{{3x}}{2})}\nolimits^2 }}
\end{array}\)
-
Chứng tỏ rằng f thuộc R cho bởi biểu thức dưới đây không khả vi tại mọi x thuộc R
\(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
x + 1,x \in Q\\
3 - x,x \in R/Q
\end{array} \right.\)
Xem đáp án Nhận thấy tập Q và R/Q đều trù mật lấy x thuộc R
\(\mathop {\lim }\limits_{\mathop {x \to \mathop x\nolimits_0 }\limits_{x \in Q} } f(x) = \mathop x\nolimits_0 + 1,\mathop {\lim }\limits_{\mathop {x \to \mathop x\nolimits_0 }\limits_{x \in Q} } f(x) = 3 - \mathop x\nolimits_0 \)
Vậy hàm không khả vi tại x khác 1
Xét 1+h thuộc Q....
Xét 1+h thuộc R\ Q
vậy không tồn tại f'(1)
-
cho hàm số \(\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{x.\ln (3x + 1)}}{{\mathop e\nolimits^{\mathop x\nolimits^2 } - 1}},x > 0\\
3\cos x + x,x \le 0
\end{array} \right.\)
a. Khảo sát sự liên tục của hàm f(x) tại x=0
b.Tính f'(1)
Xem đáp án a.\(\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\nolimits_{x \to \mathop 0\nolimits^ + } f(x) = \mathop {\lim }\nolimits_{x \to \mathop 0\nolimits^ + } \frac{{x\ln (3x + 1)}}{{\mathop e\nolimits^{\mathop x\nolimits^2 } - 1}} = \mathop {\lim }\nolimits_{x \to \mathop 0\nolimits^ + } \frac{{3\mathop x\nolimits^2 }}{{\mathop x\nolimits^2 }} = 3\\
\mathop {\lim }\nolimits_{x \to \mathop 0\nolimits^ - } f(x) = \mathop {\lim }\nolimits_{x \to \mathop 0\nolimits^ - } (3\cos x + x) = 3\\
f(0) = 3\\
\mathop {\lim }\nolimits_{x \to \mathop 0\nolimits^ - } f(x) = \mathop {\lim }\nolimits_{x \to \mathop 0\nolimits^ + } f(x) = f(0)
\end{array}\)
Nên hám số liên tục tại 0
b:
\(\begin{array}{l}
x > 0,f'(x) = \frac{{\left( {\ln (3x + 1} \right) + \frac{{3x}}{{3x + 1}})(\mathop e\nolimits^{\mathop x\nolimits^2 - 1} ) - 2\mathop x\nolimits^2 .\mathop {\mathop e\nolimits^x }\nolimits^2 .\ln (3x + 1)}}{{\mathop {\mathop {(e}\nolimits^{\mathop x\nolimits^2 - 1} )}\nolimits^2 }}\\
f'(1) = \frac{{(\ln 4 + \frac{3}{4})(e - 1) - 2e\ln 4}}{{\mathop {\left( {e - 1} \right)}\nolimits^2 }}
\end{array}\)
TXD: R,T=2\(\begin{array}{l}
f'(1) = \frac{{(\ln 4 + \frac{3}{4})(e - 1) - 2e\ln 4}}{{\mathop {\left( {e - 1} \right)}\nolimits^2 }}\\
\pi
\end{array}\)
Bảng biến thiên...
Vẽ đồ thị...
-
Tính tích phân suy rộng sau \(\int\limits_0^{ + \infty } {\frac{{\mathop e\nolimits^x dx}}{{1 + \mathop e\nolimits^{2x} }}} \)
Xem đáp án \(\begin{array}{l}
\int\limits_0^{ + \infty } {\frac{{\mathop e\nolimits^x dx}}{{1 + \mathop e\nolimits^{2x} }}} = \mathop {\lim }\limits_{c \to + \infty } \int\limits_0^c {\frac{{\mathop e\nolimits^x dx}}{{1 + \mathop e\nolimits^{2x} }}} \\
= \mathop {\lim }\limits_{c \to + \infty } \int\limits_0^c {\frac{{\mathop {d(e}\nolimits^x )}}{{1 + \mathop e\nolimits^{2x} }}} = \mathop {\lim }\limits_{c \to + \infty } \mathop {\left. {(\arctan (\mathop e\nolimits^x )} \right|}\nolimits_0^{ + \infty } )\\
= \frac{\pi }{4}
\end{array}\)
"Việc làm nhỏ, ý nghĩa lớn." → Không nghừng cố gắng, thành công sẽ đến.
