Đề thi kết thúc học phần môn Toán cao cấp - Đề 2

Câu hỏi Tự luận (3 câu):

• Câu 1:

  Mã câu hỏi: 204946

  a.Phát biểu và tổ hợp tuyến tính của một hệ véc tơ và sự biểu diễn tuyến tính của một véc tơ qua một hệ véc tơ trong không gian véc tơ \(\mathop R\nolimits^n \)

  b.Trong không gian  \(\mathop R\nolimits^3 \)  cho \(H = {\rm{\{ }}\mathop A\nolimits_1 ,\mathop A\nolimits_2 ,\mathop A\nolimits_3 ,X{\rm{\} }}\) .Biết rằng tập hợp \(T = {\rm{\{ }}t = (\mathop t\nolimits_1 ,\mathop t\nolimits_2 ,\mathop t\nolimits_3 ) \in \mathop R\nolimits^3 :X = \mathop t\nolimits_1 \mathop A\nolimits_1  + \mathop t\nolimits_2 \mathop A\nolimits_2  + \mathop t\nolimits_3 \mathop A\nolimits_3 {\rm{\} }} \ne \emptyset \).

  Cho nhận định về số phần tử của T

  Xem đáp án

   Mỗi phần tử của T tương ứng với một cách biểu diễn tuyến tính của X qua hệ véc tơ \({\rm{\{ }}\mathop A\nolimits_1 ,\mathop A\nolimits_2 ,\mathop A\nolimits_3 {\rm{\} }}\) và cũng là tương ứng với một nghiệm của hệ phương trình tuyến tính \(\mathop t\nolimits_1 \mathop A\nolimits_1  + \mathop t\nolimits_2 \mathop A\nolimits_2  + \mathop t\nolimits_3 \mathop A\nolimits_3 \)

• Câu 2:

  Mã câu hỏi: 204947

  a. Xét sự hội tụ của chuỗi số \(\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {(\sqrt {n + 1} }  - \sqrt {n - 1} )\)

  b.Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm \(\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\mathop {\left( {\frac{{3n - 1}}{{2 + \mathop 3\nolimits^n }}} \right)(x - 1)}\nolimits^2 } \)

  Xem đáp án

  Đặt \(\mathop u\nolimits_n  = \frac{2}{{\sqrt {n + 1}  + \sqrt {n - 1} }},\mathop v\nolimits_n  = \frac{1}{{\sqrt n }} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{{\mathop u\nolimits_n }}{{\mathop v\nolimits_n }} = 1\)

  mặt khác chuỗi \(\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\frac{1}{{\sqrt n }}} \) phân kì ==>chuỗi \(\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {(\sqrt {n + 1} }  - \sqrt {n - 1} )\) phân kì

• Câu 3:

  Mã câu hỏi: 204948

  Xét sự hội tụ của  các tích phân suy rộng sau

  \(\begin{array}{l}
  \int\limits_0^1 {\frac{{dx}}{{\sqrt {(1 - \mathop x\nolimits^2 )(1 - \mathop k\nolimits^2 \mathop x\nolimits^2 )} }}} ,\left| k \right| < 1\\
  \int\limits_0^1 {\frac{{dx}}{{\ln x}}} 
  \end{array}\)

  Xem đáp án

  a. Hàm  dưới dấu tích phân có một cực điểm x=1,là VCL cấp 1/2 so với VCL \(\frac{1}{{1 - x}}\) tại x=1.Vậy tích phân suy rộng hội tụ

  b.\(\int\limits_0^1 {\frac{{dx}}{{\ln x}}} ,\mathop {\lim }\limits_{x \to \mathop 0\nolimits^ +  } \frac{1}{{\ln x}} = 0\) vậy hàm 1/lnx có cực điểm tại x=1

  \(\left( {\frac{1}{{\ln x}}:\frac{1}{{x - 1}}} \right)\) =1 (với x=1),tích phân suy rộng phân kì