Đề thi kết thúc học phần môn Toán cao cấp - Đề 1
Câu hỏi Tự luận (4 câu):
-
Cho số phức \(z = \frac{{1 + i}}{{1 - \sqrt 3 i}}.\).Tính \(\mathop z\nolimits^{2016} \) và \(\sqrt[5]{z}\)
Xem đáp án \(\begin{array}{l}
z = \frac{{1 - \sqrt 3 }}{4} + \frac{{1 + \sqrt 3 }}{4}i = z = \frac{1}{{\sqrt 2 }}(cos\frac{{7\pi }}{{12}}{\rm{i}}\sin \frac{{7\pi }}{{12}})\\
\mathop z\nolimits^{2016} = \frac{1}{{\mathop {(\sqrt 2 )}\nolimits^{2016} }}\left( {\cos \frac{{7\pi .2016}}{{12}}{\rm{ + i}}\sin \frac{{7\pi .2016}}{{12}}} \right)\\
k = 0,1,2,3,4
\end{array}\)
-
cho hàm số \(\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{x.\ln (3x + 1)}}{{\mathop e\nolimits^{\mathop x\nolimits^2 } - 1}},x > 0\\
3\cos x + x,x \le 0
\end{array} \right.\)
a. Khảo sát sự liên tục của hàm f(x) tại x=0
b.Tính f'(1)
Xem đáp án a.\(\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\nolimits_{x \to \mathop 0\nolimits^ + } f(x) = \mathop {\lim }\nolimits_{x \to \mathop 0\nolimits^ + } \frac{{x\ln (3x + 1)}}{{\mathop e\nolimits^{\mathop x\nolimits^2 } - 1}} = \mathop {\lim }\nolimits_{x \to \mathop 0\nolimits^ + } \frac{{3\mathop x\nolimits^2 }}{{\mathop x\nolimits^2 }} = 3\\
\mathop {\lim }\nolimits_{x \to \mathop 0\nolimits^ - } f(x) = \mathop {\lim }\nolimits_{x \to \mathop 0\nolimits^ - } (3\cos x + x) = 3\\
f(0) = 3\\
\mathop {\lim }\nolimits_{x \to \mathop 0\nolimits^ - } f(x) = \mathop {\lim }\nolimits_{x \to \mathop 0\nolimits^ + } f(x) = f(0)
\end{array}\)
Nên hám số liên tục tại 0
b:
\(\begin{array}{l}
x > 0,f'(x) = \frac{{\left( {\ln (3x + 1} \right) + \frac{{3x}}{{3x + 1}})(\mathop e\nolimits^{\mathop x\nolimits^2 - 1} ) - 2\mathop x\nolimits^2 .\mathop {\mathop e\nolimits^x }\nolimits^2 .\ln (3x + 1)}}{{\mathop {\mathop {(e}\nolimits^{\mathop x\nolimits^2 - 1} )}\nolimits^2 }}\\
f'(1) = \frac{{(\ln 4 + \frac{3}{4})(e - 1) - 2e\ln 4}}{{\mathop {\left( {e - 1} \right)}\nolimits^2 }}
\end{array}\)
TXD: R,T=2\(\begin{array}{l}
f'(1) = \frac{{(\ln 4 + \frac{3}{4})(e - 1) - 2e\ln 4}}{{\mathop {\left( {e - 1} \right)}\nolimits^2 }}\\
\pi
\end{array}\)
Bảng biến thiên...
Vẽ đồ thị...
-
1. Tính tích phân suy rộng I=\(\int_0^2 {\frac{x}{{\sqrt {2 - x} }}} dx\)
2.Khảo sát sự hội tụ của tíc phân suy rộng \(\int\limits_1^{ + \infty } {\frac{{\mathop x\nolimits^3 + 2}}{{\mathop x\nolimits^5 - x + 3}}} \)
Xem đáp án 1.
I=\(\begin{array}{l}
\mathop {I = \lim }\nolimits_{a \to \mathop 2\nolimits^ - } \int\limits_0^a {\frac{x}{{\sqrt {2 - x} }}} dx\\
\mathop {I = \lim }\nolimits_{a \to \mathop 2\nolimits^ - } \int\limits_{\sqrt 2 }^{\sqrt {2 - a} } {(2\mathop t\nolimits^2 - 4)} \\
\mathop {I = \lim }\nolimits_{a \to \mathop 2\nolimits^ - } \mathop {\left. {\left( {\frac{{2\mathop t\nolimits^3 }}{3} - 4t} \right)} \right|}\nolimits_{\sqrt a }^{\sqrt {2 - a} } = \frac{{8\sqrt 2 }}{3}
\end{array}\)
2.
\(\begin{array}{l}
f(x) = \frac{{\mathop x\nolimits^3 + 2}}{{\mathop x\nolimits^5 - x + 3}},g(x) = \frac{1}{{\mathop x\nolimits^2 }},\mathop {\lim }\nolimits_{x \to + \infty \frac{{f(x)}}{{g(x)}}} = 1\\
\int\limits_1^{ + \infty } {\frac{1}{{\mathop x\nolimits^2 }}} dx
\end{array}\) hội tụ
\(\int\limits_1^{ + \infty } {\frac{{\mathop x\nolimits^3 + 2}}{{\mathop x\nolimits^5 - x + 3}}dx} \) hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh 2
-
Khảo sát sự hội tụ của chuổi \(\sum\nolimits_{n = 1}^{ + \infty } {\mathop {\left( {\frac{n}{{n + 1}}} \right)}\nolimits^{n(n + 1)} } \)
Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa \(\sum\nolimits_{n = 1}^{ + \infty } {\frac{{\mathop x\nolimits^n }}{{\mathop n\nolimits^2 + n}}} \)
Xem đáp án \(\mathop {\lim }\nolimits_{n \to + \infty } \sqrt[n]{{\mathop u\nolimits_n }} = \mathop {\lim }\nolimits_{n \to + \infty } \mathop {\left( {\frac{n}{{n + 1}}} \right)}\nolimits^{n + 1} = \frac{1}{e} < 1\)
nên chuối hội tụ
"Việc làm nhỏ, ý nghĩa lớn." → Không nghừng cố gắng, thành công sẽ đến.
