Đề thi kết thúc học phần môn Toán cao cấp - Đề 1

Câu hỏi Tự luận (4 câu):

• Câu 1:

  Mã câu hỏi: 204938

  Cho số phức $z=\frac{1+i}{1-\sqrt{3}i}.$.Tính $z^{2016}$ và $\sqrt[5]{z}$

  Xem đáp án

  $\begin{array}{l}z=\frac{1-\sqrt{3}}{4}+\frac{1+\sqrt{3}}{4}i=z=\frac{1}{\sqrt{2}}(cos\frac{7\pi }{12}\mathrm{i}\sin \frac{7\pi }{12})\\ z^{2016}=\frac{1}{{(\sqrt{2})}^{2016}}\left(\cos \frac{7\pi .2016}{12}+\mathrm{i}\sin \frac{7\pi .2016}{12}\right)\\ k=0,1,2,3,4\end{array}$

• Câu 2:

  Mã câu hỏi: 204939

  cho hàm số $\{\begin{array}{l}\frac{x.\ln (3x+1)}{e^{x^2}-1},x>0\\ 3\cos x+x,x\le 0\end{array}$

  a. Khảo sát sự liên tục của hàm f(x) tại x=0

  b.Tính f'(1)

  Xem đáp án

  a.$\begin{array}{l}{lim}_{x\to 0^{+}}f(x)={lim}_{x\to 0^{+}}\frac{x\ln (3x+1)}{e^{x^2}-1}={lim}_{x\to 0^{+}}\frac{3x^2}{x^2}=3\\ {lim}_{x\to 0^{-}}f(x)={lim}_{x\to 0^{-}}(3\cos x+x)=3\\ f(0)=3\\ {lim}_{x\to 0^{-}}f(x)={lim}_{x\to 0^{+}}f(x)=f(0)\end{array}$ 

  Nên hám số liên tục tại 0

  b:

  $\begin{array}{l}x>0,f^{\prime }(x)=\frac{\left(\ln (3x+1\right)+\frac{3x}{3x+1})(e^{x^2-1})-2x^2.{e^x}^2.\ln (3x+1)}{{{(e}^{x^2-1})}^2}\\ f^{\prime }(1)=\frac{(\ln 4+\frac{3}{4})(e-1)-2e\ln 4}{{\left(e-1\right)}^2}\end{array}$

  TXD: R,T=2$\begin{array}{l}{f}^{\prime }(1)=\frac{(\ln 4+\frac{3}{4})(e-1)-2e\ln 4}{{\left(e-1\right)}^2}\\ \pi \end{array}$

  Bảng biến thiên...

  Vẽ đồ thị...

• Câu 3:

  Mã câu hỏi: 204940

  1. Tính tích phân suy rộng I=${\int }_0^2\frac{x}{\sqrt{2-x}}dx$

  2.Khảo sát sự hội tụ của tíc phân suy rộng $\underset{1}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x^3+2}{x^5-x+3}$

  Xem đáp án

  1.

  I=$\begin{array}{l}{I=lim}_{a\to 2^{-}}\underset{0}{\overset{a}{\int }}\frac{x}{\sqrt{2-x}}dx\\ {I=lim}_{a\to 2^{-}}\underset{\sqrt{2}}{\overset{\sqrt{2-a}}{\int }}(2t^2-4)\\ {I=lim}_{a\to 2^{-}}{\left(\frac{2t^3}{3}-4t\right)|}_{\sqrt{a}}^{\sqrt{2-a}}=\frac{8\sqrt{2}}{3}\end{array}$

  2.

  $\begin{array}{l}f(x)=\frac{x^3+2}{x^5-x+3},g(x)=\frac{1}{x^2},{lim}_{x\to +\mathrm{\infty }\frac{f(x)}{g(x)}}=1\\ \underset{1}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{x^2}dx\end{array}$ hội tụ

  $\underset{1}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x^3+2}{x^5-x+3}dx$ hội tụ theo  tiêu chuẩn so sánh 2

• Câu 4:

  Mã câu hỏi: 204941

  Khảo sát  sự hội tụ của chuổi ${\sum }_{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{\left(\frac{n}{n+1}\right)}^{n(n+1)}$

  Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa ${\sum }_{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n^2+n}$

  Xem đáp án

  ${lim}_{n\to +\mathrm{\infty }}\sqrt[n]{u_n}={lim}_{n\to +\mathrm{\infty }}{\left(\frac{n}{n+1}\right)}^{n+1}=\frac{1}{e}<1$

  nên chuối hội tụ