Đề thi kết thúc học phần môn Đại số tuyến tính - Đề 4
Câu hỏi Tự luận (3 câu):
-
Cho ánh xạ tuyến tính ,biết ma trận của f trong cơ sở E = {( 0 ,1 ,1 ) ,( 1 ,0 ,1 ) ;( 1 ,1 ,1 ) } là A=\(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
2&1&{ - 1}\\
3&2&4\\
4&3&9
\end{array}} \right)\).tìm cơ sở và chiều của kerf
Xem đáp án f(x)=0<==>\(\begin{array}{l}
\mathop {{\rm{[}}f(x){\rm{]}}}\nolimits_E = 0 \Leftrightarrow A.{\rm{[}}\mathop {x{\rm{]}}}\nolimits_E = 0\\
\Leftrightarrow \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
2&1&{ - 1}\\
3&2&4\\
4&3&9
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{\mathop x\nolimits_1 }\\
{\mathop x\nolimits_2 }\\
{\mathop x\nolimits_3 }
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
0\\
0\\
0
\end{array}} \right) \Leftrightarrow \mathop {{\rm{[}}x{\rm{]}}}\nolimits_E = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{6\alpha }\\
{ - 11\alpha }\\
\alpha
\end{array}} \right)\\
\Leftrightarrow x = ( - 10\alpha ,7\alpha , - 4\alpha
\end{array}\)
Dim(Kerf)=1,cơ sở (10,-7,4)
-
Tìm m để ma trận A=\(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&{ - 2}&3\\
{ - 2}&5&1\\
3&1&m
\end{array}} \right)\) có ba trị riêng đương ( có thể trùng nhau )
Xem đáp án Ma trận đối xứng thực có 3 trị riêng ,suy ra dạng toàn phương tương ứng xác định dương (hay ma trận đã cho xác định dương).Theo sylvester,A xác định dương khi và chỉ khi các định thức con chính dương \( \Leftrightarrow \mathop \delta \nolimits_1 = 1 > 0,\mathop \delta \nolimits_2 = 1 > 0,\mathop \delta \nolimits_3 \det (A) = m - 58 > 0 \Leftrightarrow m > 58\)
-
Trong hệ trục tọa độ Oxy,cho đường cong C,có phương trình như sau :\(5\mathop x\nolimits^2 + 2xy + 5\mathop y\nolimits^2 - 2\sqrt 2 x + 4\sqrt 2 y = 0\).Nhận dạng và vẽ đường cong c
Xem đáp án Xét dạng toàn phương \(5\mathop x\nolimits_1^2 + 2\mathop x\nolimits_1 \mathop x\nolimits_2 + 5\mathop x\nolimits_2^2 \) có ma trận A=\(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
5&1\\
1&5
\end{array}} \right)\).Chéo hóa trực giao ma trận A bởi ma trận trực giao P=\( = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&{ - 1}\\
1&1
\end{array}} \right)\) và ma trận chéo D=\(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
6&0\\
0&4
\end{array}} \right)\)
Đường cong C có phương trình trong hệ trục Ouv với 2 vcto cơ sở là \(\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }},\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right),\left( { - \frac{1}{{\sqrt 2 }},\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)\) là :
\(6\mathop {\left( {u + \frac{1}{6}} \right)}\nolimits^2 + 4\mathop {\left( {u + \frac{3}{4}} \right)}\nolimits^2 = \frac{{11}}{{12}}\) đây là đương cong ellipse.hệ trục Ouv thu được từ hệ Oxy bằng cách quay 1 góc \(\mathop {45}\nolimits^o \) ngược chiều kim đồng hồ
"Việc làm nhỏ, ý nghĩa lớn." → Không nghừng cố gắng, thành công sẽ đến.
