Đề thi kết thúc học phần môn Đại số tuyến tính - Đề 3

Câu hỏi Tự luận (4 câu):

• Câu 1:

  Mã câu hỏi: 205103

  Cho ma trận A=$\left(\begin{array}{ccc}7& 4& 16\\ 2& 5& 8\\ -2& -2& -5\end{array}\right)$.Tính $A^{2010}$,biết A có hai giá trị riêng là 1 và 3

  Xem đáp án

  Chéo hóa ma trận A=PD$P^{-1}$;$\begin{array}{l}\left(\begin{array}{ccc}-2& -1& -4\\ -1& 1& 0\\ 1& 0& 1\end{array}\right),D=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 3& 0\\ 0& 0& 3\end{array}\right).\\ A^{2010}=P{D}^{2010}{P}^{-1}\end{array}$,tính ra được $P^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 4\\ 1& 2& 3\\ -1& -1& -3\end{array}\right),D^{2010}=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 3^{2010}& 0\\ 0& 0& 3^{2010}\end{array}\right)$

• Câu 2:

  Mã câu hỏi: 205104

  Tìm chiều và 1 cơ sở trưc chuẩn của không gian nghiệm của không gian nghiệm của hệ phương trình 

  $\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2-x_3-2x_4=0\\ {2x}_1+x_2-{3x}_3-5x_4=0\\ {3x}_1+x_2-{5x}_3-8x_4=0\\ {5x}_1+{3x}_2-{7x}_3-12x_4=0\end{array}$

  Xem đáp án

  Tìm một cơ sở tùy ý của không gian nghiệm E={(2,-1,1,0),(3,-1,0,1)}

  Dùng quá trình Gram đưa về cơ sở trực giao,ta có  E1 ={( 2 ,−1 ,1 ,0 ) ,( 4 ,1 ,−7 ,6 ) } 

  Chuản hóa,cơ sở trực chuẩn $E_2=\{\frac{1}{\sqrt{6}}(2,-1,1,0),\frac{1}{\sqrt{67}}(4,1,-7,1)\}$

• Câu 3:

  Mã câu hỏi: 205105

  Cho ánh xạ tuyến tính f:$R^3\to R^3$,biết ma trận của f trong co sở chính tắc là A=$\left(\begin{array}{ccc}2& 1& -1\\ 1& 3& 4\\ -1& 1& 0\end{array}\right)$.tìm ma trận của f trong cơ sở   E = {( 1 ,2 ,1 ) ,( 1 ,1 ,2 ) ;( 1 ,1 ,1 ) }.

  Xem đáp án

  Ma trận chuyển cơ sở từ chính tắc sang E là P=$\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 2& 1& 1\\ 1& 2& 1\end{array}\right)$

  Ma trận của ánh xạ tuyến tính trong cơ sở E là B =$\left(\begin{array}{ccc}8& 11& 6\\ -2& -1& -2\\ -3& -9& -2\end{array}\right)$

• Câu 4:

  Mã câu hỏi: 205106

  Cho A là ma trận vuông tùy ý ,thực cấp n,thỏa $A^{10}=0$.chứng tỏ rằng A chéo hóa được khi và chỉ khi A là ma trận 0

  Xem đáp án

  Vì $A^{10}$ nên A chỉ có một trị riêng là $\lambda$( theo tính chất ,nếu ${\lambda }_0$ là TR của A thì ${\lambda }_0^{10}$. A chéo háo được <==> A=P.D.(1/P),D là ma trận 0 nên A=0