Đề thi kết thúc học phần môn Đại số tuyến tính - Đề 3

Câu hỏi Tự luận (4 câu):

• Câu 1:

  Mã câu hỏi: 205103

  Cho ma trận A=\(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
  7&4&{16}\\
  2&5&8\\
  { - 2}&{ - 2}&{ - 5}
  \end{array}} \right)\).Tính \(\mathop A\nolimits^{2010} \),biết A có hai giá trị riêng là 1 và 3

  Xem đáp án

  Chéo hóa ma trận A=PD\(\mathop P\nolimits^{ - 1} \);\(\begin{array}{l}
  \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
  { - 2}&{ - 1}&{ - 4}\\
  { - 1}&1&0\\
  1&0&1
  \end{array}} \right),D = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
  1&0&0\\
  0&3&0\\
  0&0&3
  \end{array}} \right).\\
  \mathop A\nolimits^{2010}  = P\mathop D\nolimits^{2010} \mathop P\nolimits^{ - 1} 
  \end{array}\),tính ra được \(\mathop P\nolimits^{ - 1}  = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
  1&1&4\\
  1&2&3\\
  { - 1}&{ - 1}&{ - 3}
  \end{array}} \right),\mathop D\nolimits^{2010}  = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
  1&0&0\\
  0&{\mathop 3\nolimits^{2010} }&0\\
  0&0&{\mathop 3\nolimits^{2010} }
  \end{array}} \right)\)

• Câu 2:

  Mã câu hỏi: 205104

  Tìm chiều và 1 cơ sở trưc chuẩn của không gian nghiệm của không gian nghiệm của hệ phương trình 

  \(\left\{ \begin{array}{l}
  \mathop x\nolimits_1  + \mathop x\nolimits_2  - \mathop x\nolimits_3  - 2\mathop x\nolimits_4  = 0\\
  \mathop {2x}\nolimits_1  + \mathop x\nolimits_2  - \mathop {3x}\nolimits_3  - 5\mathop x\nolimits_4  = 0\\
  \mathop {3x}\nolimits_1  + \mathop x\nolimits_2  - \mathop {5x}\nolimits_3  - 8\mathop x\nolimits_4  = 0\\
  \mathop {5x}\nolimits_1  + \mathop {3x}\nolimits_2  - \mathop {7x}\nolimits_3  - 12\mathop x\nolimits_4  = 0
  \end{array} \right.\)

  Xem đáp án

  Tìm một cơ sở tùy ý của không gian nghiệm E={(2,-1,1,0),(3,-1,0,1)}

  Dùng quá trình Gram đưa về cơ sở trực giao,ta có  E1 ={( 2 ,−1 ,1 ,0 ) ,( 4 ,1 ,−7 ,6 ) } 

  Chuản hóa,cơ sở trực chuẩn \(\mathop E\nolimits_2  = {\rm{\{ }}\frac{1}{{\sqrt 6 }}(2, - 1,1,0),\frac{1}{{\sqrt {67} }}(4,1, - 7,1){\rm{\} }}\)

• Câu 3:

  Mã câu hỏi: 205105

  Cho ánh xạ tuyến tính f:\(\mathop R\nolimits^3  \to \mathop R\nolimits^3 \),biết ma trận của f trong co sở chính tắc là A=\(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
  2&1&{ - 1}\\
  1&3&4\\
  { - 1}&1&0
  \end{array}} \right)\).tìm ma trận của f trong cơ sở   E = {( 1 ,2 ,1 ) ,( 1 ,1 ,2 ) ;( 1 ,1 ,1 ) }.

  Xem đáp án

  Ma trận chuyển cơ sở từ chính tắc sang E là P=\(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
  1&1&1\\
  2&1&1\\
  1&2&1
  \end{array}} \right)\)

  Ma trận của ánh xạ tuyến tính trong cơ sở E là B =\(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
  8&{11}&6\\
  { - 2}&{ - 1}&{ - 2}\\
  { - 3}&{ - 9}&{ - 2}
  \end{array}} \right)\)

• Câu 4:

  Mã câu hỏi: 205106

  Cho A là ma trận vuông tùy ý ,thực cấp n,thỏa \(\mathop A\nolimits^{10}  = 0\).chứng tỏ rằng A chéo hóa được khi và chỉ khi A là ma trận 0

  Xem đáp án

  Vì \(\mathop A\nolimits^{10} \) nên A chỉ có một trị riêng là \(\lambda \)( theo tính chất ,nếu \(\mathop \lambda \nolimits_0 \) là TR của A thì \(\mathop \lambda \nolimits_0^{10} \). A chéo háo được <==> A=P.D.(1/P),D là ma trận 0 nên A=0