Đề thi kết thúc học phần môn Đại số tuyến tính - Đề 2
Câu hỏi Tự luận (4 câu):
-
Cho ma trận A=\(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
3&2&2\\
{ - 3}&{ - 2}&{ - 3}\\
2&2&3
\end{array}} \right)\) .tìm trị riêng cơ sở của các không gian con riêng của ma trận \(\mathop A\nolimits^0 \)
Xem đáp án Giả sử \(\mathop \lambda \nolimits_0 \) là giá trị riêng của A <==> \(\exists \mathop x\nolimits_0 \mathop {:A\mathop {.x}\nolimits_0 = \lambda }\nolimits_0 .\mathop x\nolimits_0 \).Khi đó \(\mathop A\nolimits^0 .\mathop x\nolimits_0 = \mathop A\nolimits^5 .A.\mathop x\nolimits_0 = \mathop A\nolimits^5 .\mathop \lambda \nolimits_0 .\mathop x\nolimits_0 = ... = \mathop \lambda \nolimits_0^0 .\mathop x\nolimits_0 \)
Lập phương trình đặc trưng ,Tìm được TR của A : \(\mathop \lambda \nolimits_1 = 1,\mathop \lambda \nolimits_2 = 1\)
-
Cho ánh xạ tuyến tính f là phép quay trong hệ trục tọa độ Oxy qua gôc stoaj độ cùng chiều kim đồng hồ 1 góc 60 độ.tìm ánh xạ tuyến tính f. giải thích rõ
Xem đáp án \(f:\mathop R\nolimits_2 \to \mathop R\nolimits_2 \).f được xác dịnh hoàn toàn nếu biết ảnh của một cơ sở của \(\mathop R\nolimits_2 \)
chọn cơ sở chính tắc E= {( 1 ,0 ) ,( 0 ,1 ) }.
Khi đó f(1,0)=\(\left( {\frac{1}{2},\frac{{ - \sqrt 3 }}{2}} \right),f(0,1) = \left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2},\frac{1}{2}} \right)\),
\(f(x,y) = (\frac{x}{2} + \frac{{y\sqrt 3 }}{2},\frac{{ - z\sqrt 3 }}{2} + \frac{y}{2})\)
-
Cho A là ma trận vuông cấp n.Chứng tỏ rằng A khả nghịch khi và chỉ khi \(\lambda \).Không là trị riêng của A.
Khi A khả nghịch,chứng tỏ rằng nếu \(\lambda \) là trị riêng của A,thì \(\frac{1}{\lambda }\) là trị riêng của \(\mathop A\nolimits^{ - 1} \)
Xem đáp án A khả nghich <==> det(A) khác 0<==> \(\lambda \)=0 không là TR của A,Giả sử \(\mathop \lambda \nolimits_0 \) là TR cuar A
<==>\(\begin{array}{l}
\exists \mathop x\nolimits_0 :A.\mathop x\nolimits_0 = \mathop \lambda \nolimits_0 .\mathop x\nolimits_0 < = = > \mathop A\nolimits^{ - 1} .A.\mathop x\nolimits_0 = \mathop A\nolimits^{ - 1} .\mathop \lambda \nolimits_0 .\mathop x\nolimits_0 \\
\Leftrightarrow \mathop A\nolimits^{ - 1} .\mathop x\nolimits_0 = \frac{1}{{\mathop \lambda \nolimits_0 }}.\mathop x\nolimits_0 \to ddpcm
\end{array}\)
-
Tìm m để vecto X=\(\mathop {\left( {2,1,m} \right)}\nolimits^T \) laf vecto rieeng của ma trận A= \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 5}&3&3\\
{ - 3}&1&3\\
{ - 3}&3&1
\end{array}} \right)\)
Xem đáp án x là VTR của A<==> A.x=\(\lambda \).x<==>\(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 5}&3&3\\
{ - 3}&1&3\\
{ - 3}&3&1
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
2\\
1\\
m
\end{array}} \right) = \lambda .\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
2\\
1\\
m
\end{array}} \right) \Leftrightarrow m = 1\)
"Việc làm nhỏ, ý nghĩa lớn." → Không nghừng cố gắng, thành công sẽ đến.
