Đề thi kết thúc học phần môn Đại số tuyến tính - Đề 2

Câu hỏi Tự luận (4 câu):

• Câu 1:

  Mã câu hỏi: 205107

  Cho ma trận A=$\left(\begin{array}{ccc}3& 2& 2\\ -3& -2& -3\\ 2& 2& 3\end{array}\right)$ .tìm trị riêng cơ sở của các không gian con riêng của ma trận $A^0$

  Xem đáp án

  Giả sử ${\lambda }_0$ là giá trị riêng của A <==> $\mathrm{\exists }{x}_0{:A{.x}_0=\lambda }_0.x_0$.Khi đó $A^0.x_0=A^5.A.x_0=A^5.{\lambda }_0.x_0=...={\lambda }_0^0.x_0$

  Lập phương trình đặc trưng ,Tìm được TR của A : ${\lambda }_1=1,{\lambda }_2=1$

• Câu 2:

  Mã câu hỏi: 205108

  Cho ánh xạ tuyến tính f là phép quay trong hệ trục tọa độ Oxy qua gôc stoaj độ cùng chiều kim đồng hồ 1 góc 60 độ.tìm ánh xạ tuyến tính f. giải thích rõ

  Xem đáp án

  $f:R_2\to R_2$.f được xác dịnh hoàn toàn  nếu biết ảnh của một cơ sở của $R_2$

  chọn cơ sở chính tắc E= {( 1 ,0 ) ,( 0 ,1 ) }. 

  Khi đó f(1,0)=$\left(\frac{1}{2},\frac{-\sqrt{3}}{2}\right),f(0,1)=\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{1}{2}\right)$,

  $f(x,y)=(\frac{x}{2}+\frac{y\sqrt{3}}{2},\frac{-z\sqrt{3}}{2}+\frac{y}{2})$

   

• Câu 3:

  Mã câu hỏi: 205109

  Cho A là ma trận vuông cấp n.Chứng tỏ rằng A khả nghịch khi và chỉ khi $\lambda$.Không là trị riêng của A.

  Khi A khả nghịch,chứng tỏ rằng nếu $\lambda$ là trị riêng của A,thì $\frac{1}{\lambda }$ là trị riêng của $A^{-1}$

  Xem đáp án

  A khả nghich <==> det(A) khác 0<==> $\lambda$=0 không là TR của A,Giả sử ${\lambda }_0$ là TR cuar A

  <==>$\begin{array}{l}\mathrm{\exists }{x}_0:A.x_0={\lambda }_0.x_0<==>A^{-1}.A.x_0=A^{-1}.{\lambda }_0.x_0\\ \iff A^{-1}.x_0=\frac{1}{{\lambda }_0}.x_0\to ddpcm\end{array}$

• Câu 4:

  Mã câu hỏi: 205110

  Tìm m để vecto X=${\left(2,1,m\right)}^T$ laf vecto rieeng của ma trận A= $\left(\begin{array}{ccc}-5& 3& 3\\ -3& 1& 3\\ -3& 3& 1\end{array}\right)$

  Xem đáp án

  x là VTR của A<==> A.x=$\lambda$.x<==>$\left(\begin{array}{ccc}-5& 3& 3\\ -3& 1& 3\\ -3& 3& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ m\end{array}\right)=\lambda .\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ m\end{array}\right)\iff m=1$