Đề thi kết thúc học phần môn Đại số tuyến tính - Đề 1
Câu hỏi Tự luận (3 câu):
-
Cho mạ trận A= \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
7&{ - 3}\\
{10}&{ - 4}
\end{array}} \right)\)
a: Chéo hóa ma trận A
b: Áp dụng,tìm ma trận B Sao cho \(\mathop B\nolimits^{20} \)
Xem đáp án Chéo hóa ma trận A=PD\(\mathop P\nolimits^{ - 1} \)
P=\(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
7&{ - 3}\\
{10}&{ - 4}
\end{array}} \right)\),D=\(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
2&0\\
0&1
\end{array}} \right)\)
Ta có A=PD\(\mathop P\nolimits^{ - 1} \)
Giả sử B=Q.\(\mathop {\mathop D\nolimits_1 P}\nolimits^{ - 1} \)
Ta có \(\mathop B\nolimits^{20} = Q.\mathop D\nolimits_1^{20} .\mathop Q\nolimits^{ - 1} \)=A.Chọn Q =P và \(\mathop D\nolimits_1 = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{\sqrt[{20}]{2}}&0\\
0&{\sqrt[{20}]{1}}
\end{array}} \right)\)
vậy ma trận B=P\({\mathop D\nolimits_1 }\).\(\mathop P\nolimits^{ - 1} \)
-
Cho ánh xạ tuyến tính f: \(\mathop R\nolimits^3 \to \mathop R\nolimits^3 \) biết ma trận của f trong cơ sở E={( 1 ,2 ,1 ) ,( 1 ,1 ,2 ) ;( 1 ,1 ,1 ) } là A=\(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&2&0\\
2&1&{ - 1}\\
3&0&2
\end{array}} \right)\)
Tìm ma trận của f trong cơ sở chính tắc
Xem đáp án Gọi ma trận chuyển cơ sở từ E sang chính tắc là P. Khi đó ma trận chuyển cơ sở từ chính tắc sang E là :\(\mathop P\nolimits^{ - 1} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&1\\
2&1&1\\
1&2&1
\end{array}} \right)\) Ma trận của ánh xạ tuyến tính trong cơ sở chính tắc là B=\(\mathop P\nolimits^{ - 1} AP = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 6}&5&2\\
{ - 9}&6&4\\
{ - 12}&8&4
\end{array}} \right)\)
-
Tìm m để vecto \(X = \mathop {\left( {2,1,m} \right)}\nolimits^T \) là vecto riêng củ ma trận A=\(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 5}&3&3\\
{ - 3}&1&3\\
{ - 3}&3&1
\end{array}} \right)\)
Xem đáp án Ma trận đói xứng thực.Dạng toàn phương tương ứng f( x,x) = \(f(\mathop x\nolimits_1 ,x) = \mathop x\nolimits_1^2 + m\mathop x\nolimits_2^2 + 6\mathop x\nolimits_3^2 + 6\mathop x\nolimits_1 \mathop x\nolimits_2 - 8\mathop x\nolimits_2 \mathop x\nolimits_3 - 4\mathop x\nolimits_1 \mathop x\nolimits_3 \)
Đưa về chính tắc bằng biến đổi Lagrange \(f(\mathop x\nolimits_1 ,x) = \mathop {\left( {\mathop x\nolimits_1 + 3\mathop x\nolimits_2 - 2\mathop x\nolimits_3 } \right)}\nolimits^2 + 2\mathop {\mathop {(x}\nolimits_3 + \mathop x\nolimits_2 )}\nolimits^2 + (m - 11).\mathop x\nolimits_3^2 \)
Ma trận A có một TR dương,1 TR âm ==> m<11
"Việc làm nhỏ, ý nghĩa lớn." → Không nghừng cố gắng, thành công sẽ đến.
