Đề thi kết thúc học phần môn Đại số tuyến tính - Đề 1

Câu hỏi Tự luận (3 câu):

• Câu 1:

  Mã câu hỏi: 205111

  Cho mạ trận A= $\left(\begin{array}{cc}7& -3\\ 10& -4\end{array}\right)$

  a: Chéo hóa ma trận A

  b: Áp dụng,tìm ma trận B Sao cho $B^{20}$

  Xem đáp án

  Chéo hóa ma trận A=PD$P^{-1}$

  P=$\left(\begin{array}{cc}7& -3\\ 10& -4\end{array}\right)$,D=$\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$

  Ta có A=PD$P^{-1}$

  Giả sử B=Q.${D_{1}P}^{-1}$

  Ta có $B^{20}=Q.D_1^{20}.Q^{-1}$=A.Chọn Q =P và $D_1=\left(\begin{array}{cc}\sqrt[20]{2}& 0\\ 0& \sqrt[20]{1}\end{array}\right)$

  vậy ma trận B=P$D_1$.$P^{-1}$

• Câu 2:

  Mã câu hỏi: 205112

  Cho ánh xạ tuyến tính f: $R^3\to R^3$ biết ma trận của f trong cơ sở E={( 1 ,2 ,1 ) ,( 1 ,1 ,2 ) ;( 1 ,1 ,1 ) } là A=$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 2& 1& -1\\ 3& 0& 2\end{array}\right)$

  Tìm ma trận của f trong cơ sở chính tắc

  Xem đáp án

  Gọi ma trận chuyển cơ sở từ E sang chính tắc là P. Khi đó ma trận chuyển cơ sở từ chính tắc sang E là :$P^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 2& 1& 1\\ 1& 2& 1\end{array}\right)$ Ma trận của ánh xạ tuyến tính trong cơ sở chính tắc là B=$P^{-1}AP=\left(\begin{array}{ccc}-6& 5& 2\\ -9& 6& 4\\ -12& 8& 4\end{array}\right)$

• Câu 3:

  Mã câu hỏi: 205113

  Tìm m để vecto $X={\left(2,1,m\right)}^T$ là vecto riêng củ ma trận A=$\left(\begin{array}{ccc}-5& 3& 3\\ -3& 1& 3\\ -3& 3& 1\end{array}\right)$

  Xem đáp án

  Ma trận đói xứng thực.Dạng toàn phương tương ứng f( x,x) = $f(x_1,x)=x_1^2+m{x}_2^2+6x_3^2+6x_1{x}_2-8x_2{x}_3-4x_1{x}_3$

  Đưa về chính tắc bằng biến đổi Lagrange $f(x_1,x)={\left(x_1+3x_2-2x_3\right)}^2+2{{(x}_3+x_2)}^2+(m-11).x_3^2$

  Ma trận A có một TR dương,1 TR âm ==> m<11