Đề thi HSG môn Toán 11 năm 2019 Trường THPT Thị xã Quảng Trị

Câu hỏi Tự luận (6 câu):

• Câu 1:

  Mã câu hỏi: 81843

  1. Giải phương trình: ${\sin }^{2}3x\cos 2x+{\sin }^{2}x=0.$ 

  2. Cho $x_1$ và $x_2$ là hai nghiệm của phương trình: $x^2-3x+a=0$, $x_3$ và $x_4$ là hai nghiệm của phương trình: $x^2-12x+b=0$. Biết rằng $x_1,x_2,x_3,x_4$ theo thứ tự lập thành một cấp số nhân. Hãy tìm a, b.

• Câu 2:

  Mã câu hỏi: 81844

  ^​1. Cho k là số tự nhiên thỏa mãn: $5\le k\le 2014$.

  Chứng minh rằng: $C_5^0{C}_{2014}^k+C_5^1{C}_{2014}^{k-1}+...+C_5^5{C}_{2014}^{k-5}=C_{2019}^k$.

  2. Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực:

   $m\left(\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1-x^2}+2\right)=2\sqrt{1-x^4}+\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1-x^2}$.

• Câu 3:

  Mã câu hỏi: 81845

  Cho dãy số $\left(u_n\right)$ được xác định bởi: $u_1=\sin 1;u_n=u_{n-1}+\frac{\sin n}{n^2}$, với $\mathrm{\forall }n\in N,n\ge 2$.

  Chứng minh rằng dãy số $\left(u_n\right)$ xác định như trên là một dãy số bị chặn.

• Câu 4:

  Mã câu hỏi: 81846

  Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC đều cạnh bằng $a$ và tam giác BCD cân tại D với $DC=\frac{a\sqrt{5}}{2}$.

  1. Chứng minh rằng: $AD\mathrm{\perp }BC$.

  2. Gọi G là trọng tâm tam giác BCD, tính cosin góc giữa hai đường thẳng AG và CD, biết góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (BCD) bằng 30⁰.

• Câu 5:

  Mã câu hỏi: 81847

  Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC với A(2;1), B(- 1;2), trọng tâm G của tam giác nằm trên đường thẳng $x+y-2=0$. Tìm tọa độ đỉnh C biết diện tích tam giác ABC bằng $\frac{27}{2}$.

• Câu 6:

  Mã câu hỏi: 81848

  Cho các số dương $a,b,c$ thỏa mãn: $a^2+b^2+c^2=3$. Chứng minh rằng:

  $\left(\frac{4}{a^2+b^2}+1\right)\left(\frac{4}{b^2+c^2}+1\right)\left(\frac{4}{c^2+a^2}+1\right)\ge 3{\left(a+b+c\right)}^2$. Đẳng thức xảy ra khi nào?