Đề thi HSG môn Toán 11 Chuyên năm 2019 khu vực Duyên hải và đồng bằng Bắc Bộ

Câu hỏi Tự luận (5 câu):

• Câu 1:

  Mã câu hỏi: 81833

  Cho dãy số $(u_n{)}_{n=1}^{+\mathrm{\infty }}$ bị chặn trên và thoả mãn điều kiện

                                                          $u_{n+2}\ge \frac{2}{5}.u_{n+1}+\frac{3}{5}.u_n,$                 $\mathrm{\forall }n=1,2,3,...$

   Chứng minh rẳng dãy $(u_n)$ có giới hạn hữu hạn. 

• Câu 2:

  Mã câu hỏi: 81834

  Cho $\mathrm{\Delta }ABC$ có đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc với BC, CA, AB ở D, E, F. Đường thẳng qua A song song BC cắt DE, DF lần lượt tại M, N. Đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN cắt đường tròn (I) tại điểm L khác D.

  a)  Chứng minh A, K, L thẳng hàng.

  b) Tiếp tuyến với đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN tại M, N cắt EF tại U, V. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác UVL tiếp xúc với  đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN.

• Câu 3:

  Mã câu hỏi: 81835

  Tìm tất cả các đa thức $P\left(x\right)\in Z\left[x\right]$ sao cho với mọi số n nguyên dương, phương trình $P\left(x\right)=2^n$ có nghiệm nguyên.

• Câu 4:

  Mã câu hỏi: 81836

  Cho p là số nguyên tố có dạng $12k+11$. Một tập con S của tập

                                                               $M=\{1;2;3;\dots ;p-2;p-1\}$

  được gọi là “tốt” nếu như tích của tất cả các phần tử của S không nhỏ hơn tích của tất cả các phần tử của M\S. Ký hiệu ${\mathrm{\Delta }}_S$ hiệu của hai tích trên.  Tìm giá trị nhỏ nhất của số dư khi chia ${\mathrm{\Delta }}_S$ cho p xét trên mọi tập con tốt của M có chứa đúng $\frac{p-1}{2}$ phần tử.

• Câu 5:

  Mã câu hỏi: 81837

  Cho đa giác lồi  n đỉnh $A_0{A}_1...A_{n-1}\left(n\ge 2\right).$ Mỗi cạnh và đường chéo của đa giác  được tô bởi một trong k màu sao cho không có hai đoạn thẳng  nào cùng xuất phát từ một đỉnh cùng màu. Tìm giá trị nhỏ nhất của k.