Đề thi HSG môn Toán 10 năm 2019 Trường THPT Thị xã Quảng Trị

Câu hỏi Tự luận (4 câu):

• Câu 1:

  Mã câu hỏi: 1537

  Cho Parabol (P):  $y=x^2+bx+c$.

  1) Tìm $b,c$ để Parabol (P) có đỉnh $S\left(-\frac{1}{2};-\frac{5}{4}\right)$.

  2) Với $b,c$ tìm được ở câu 1. Tìm m để đường thẳng $\mathrm{\Delta }:y=-2x-m$ cắt Parabol (P) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB vuông tại O (với O là gốc tọa độ).

• Câu 2:

  Mã câu hỏi: 1538

  1) Tìm m để bất phương trình:  $m{x}^2-2\left(m+3\right)x+2m+14\ge 0$ vô nghiệm trên tập số thực.

  2)  Giải bất phương trình sau trên tập số thực: $\left(\sqrt{2x^2+4}-x-2\right)\sqrt{x^2-5x+6}\ge 0.$       

  3) Giải hệ phương trình sau trên tập số thực : $\{\begin{array}{l}{x}^2+x^{3}y-x{y}^2+xy-y=1\\ x^4+y^2-xy\left(2x-1\right)=1\end{array}$  

• Câu 3:

  Mã câu hỏi: 1539

  1) Cho tam giác ABC đều có độ dài cạnh bằng 3. Trên các cạnh BC, CA lần lượt lấy các điểm N, M sao cho $BN=1,CM=2.$

  a) Phân tích vectơ $\overrightarrow{AN}$ theo hai vectơ $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}.$

  b) Trên cạnh AB lấy điểm P, $\left(P\ne A,P\ne B\right)$sao cho AN vuông góc với PM. Tính tỉ số $\frac{AP}{AB}.$ 

  2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang cân ABCD có hai đáy là AD, BC và AD > BC, biết rằng $AB=BC,AD=7.$ Đường chéo AC có phương trình là $x-3y-3=0$, điểm $M\left(-2;-5\right)$ thuộc đường thẳng AD. Tìm tọa độ đỉnh D biết đỉnh B(1;1).

• Câu 4:

  Mã câu hỏi: 1540

  1 ) Cho tam giác ABC có diện tích S và bán kính của đường tròn ngoại tiếp R thỏa mãn hệ thức $S=\frac{2}{3}{R}^2\left({\sin }^{3}A+{\sin }^{3}B+{\sin }^{3}C\right)$. Chứng minh tam giác ABC là tam giác đều.

  2)  Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn điều kiện $x^2+y^2+z^2=3.$ Chứng minh rằng  $\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\ge \frac{9}{x+y+z}.$

   3)  Cho đa thức $P\left(x\right)=x^{2018}-m{x}^{2016}+m$ trong đó m là tham số thực. Biết rằng P(x) có 2018 nghiệm thực. Chứng minh rằng tồn tại một nghiệm thực x₀ của P(x) thỏa mãn $\left|x_0\right|\le \sqrt{2}.$