Đề thi HK2 môn Toán 10 Trường THPT Chuyên Hà Nội - Amsterdam năm 2017 - 2018

Câu 2: Các giá trị của tham số m để bất phương trình \(\left( {{m^2} - 1} \right)x + m \ge 0\) có nghiệm là:

Câu 3: Tập hợp nghiệm của bất phương trình \(\frac{{1 - 2x}}{{4x + 8}} \ge 0\) là:

Câu 4: Tập hợp nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x^2} - 6x + 5 \le 0}\\
{{x^2} - 8x + 12 < 0}
\end{array}} \right.\) là

Câu 5: Các giá trị của tham số m để bất phương trình \(m{x^2} - 2mx - 1 \ge 0\) vô nghiệm là:

Câu 6: Khi thống kê điểm môn Toán trong một kỳ thi của 200 em học sinh thì thấy có 36 bài được điểm bằng 5. Tần suất của giá trị x_i = 5 là:

Câu 7: Chọn hệ thức sai trong các hệ thức sau:

Câu 8: Cho \(\sin \alpha  = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\) với \(0 < \alpha  < \frac{\pi }{2}\). Gía trị của \(\cos \left( {\alpha  + \frac{\pi }{3}} \right)\) bằng:

Câu 9: Nếu \({\mathop{\rm sinx}\nolimits}  + \cos x = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\) thì giá trị của sin2x là:

Câu 10: Trong mặt phẳng tọa đọ Oxy, cho ba đường thẳng (d₁): 3x - 4y + 7 = 0. (d₂): 5x + y + 4 = 0 và (d₃): mx + (1-m)y + 3 = 0. Để ba đường thẳng này đồng quy thì giá trị của tham số m là:

Câu 11: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(-1; 3), B(4;-1). Phương trình nào sau đây là phương trình đường thẳng AB

Câu 12: Một elip có diện tích hình chữ nhật cơ sở là 80, độ dài tiêu cự là 6. Tâm sai của elip đó là:

Câu 13: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm A(1; -1),B(3; 4). Giả sử (d) là một đường thẳng bất kỳ luôn đi qua B. Khi khoảng cách từ A đến đường thẳng (d) đạt giá trị lớn nhất, đường thẳng (d) có phương trình nào sau đây?

Câu 14: Trên mặt phẳng Oxy, gọi (d) là đường thẳng đi qua A(1; 1) và tạo với đường thẳng có phương trình x - 3y +2 = 0 một góc bằng 45⁰. Đường thẳng (d) có phương trình là:

Câu 15: Trên mặt phẳng Oxy, cho các điểm A(3; 0), B(0; 4). Đường tròn nội tiếp tam giác OAB có phương trình là:

Câu 16: Trên mặt phẳng Oxy, cho điểm P(-3; -2) và đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 36\). Từ điểm P kẻ các tiếp tuyến PM và PN tới đường tròn (C), với M và N là các tiếp điểm. Phương trình đường thẳng MN là:

Câu 17: a) Giải bất phương trình sau trên tập số thực: \(|2x + 1| + 2 \ge 4x\)

b) Giải hệ bất phương trình sau trên tập số thực: \(\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{x + 3}}{{2x - 3}} - \frac{x}{{2x - 1}} \le 0\\
\sqrt {{x^2} + 3}  + 3x < 1
\end{array} \right.\)

Câu 18: a) Chứng minh đẳng thức \(\frac{{\cos 2x}}{{1 - \sin 2x}} = \frac{1}{{{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x}} + \frac{{2\tan x}}{{1 - {{\tan }^2}x}}\)

b) Tìm các giá trị của tham số m để hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} - 4x > 5\\
{x^2} - \left( {m - 1} \right)x - m \le 0
\end{array} \right.\) có nghiệm 

Câu 19: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hai đường tròn (C₁), (C₂) có phương trình lần lượt là \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 9\,\,và \,\,{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 4\)

a) Tìm tọa độ tâm, bán kính của hai đường tròn và chứng minh đường tròn tiếp xúc với nhau

b) Viết phương trình đường thẳng đi qua gốc tọa độ và tạo với đường thẳng nối tâm của hai đường tròn một góc bằng 45⁰

c) Cho elip (E) có phương trình 16x² + 49y² = 1. Viết phương trình đường tròn (C) có bán kính gấp đôi độ dài trục lớn của elip (E) và (C) tiếp xúc với hai đường tròn (C₁) và (C₂) 

Câu 20: Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện a² + b² + c² = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

\(P = \frac{1}{{\sqrt {1 + 8{a^3}} }} + \frac{1}{{\sqrt {1 + 8{b^3}} }} + \frac{1}{{\sqrt {1 + 8{c^3}} }}\)