Đề thi chọn HSG môn Toán 9 Sở GD & ĐT Đồng Nai năm 2018 - 2019

Câu hỏi Tự luận (5 câu):

• Câu 1:

  Mã câu hỏi: 65792

  1. Cho (x, y) là nghiệm của hệ phương trình $\{\begin{array}{l}x-y=m+1\\ 2x-3y=m+3\end{array}$ (với m là tham số thực). Tìm m để biểu thức $P=x^2+8y$ đạt giá trị nhỏ nhất.

  2. Giải hệ phương trình $\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2=1\\ x^3-y^3=-1\end{array}$ (với x, y thuộc R).

• Câu 2:

  Mã câu hỏi: 65793

  1. Giải phương trình $x^4-9x^3+24x^2-27x+9=0(\mathrm{x}\in \mathrm{R})$

  2. Cho ba số thực dương a, b, c. Chứng minh: $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+3\ge 4\left(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\right)$

• Câu 3:

  Mã câu hỏi: 65794

  1. Cho a, b, c là ba số nguyên khác 0 thỏa $\frac{1}{a}=\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$. Chứng minh rằng: abc chia hết cho 4.

  2. Tìm số các số nguyên dương không vượt quá 1000 nguyên tố cùng nhau với 999.

• Câu 4:

  Mã câu hỏi: 65795

  Cho $A=\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{2}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{3}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+....+\frac{99}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}$ là tổng của 99 số hạng và $B=\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{4}+...+\sqrt{100}$ là tổng của 99 số hạng.

  Tính A + B

• Câu 5:

  Mã câu hỏi: 65796

  Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I). Gọi D, E lần lượt là hai tiếp điểm của AB, AC với đường tròn (I). Biết ba góc $\widehat{BAC},\widehat{ABC},\widehat{BCA}$ đều là góc nhọn. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của hai đoạn BC và AC.

  1) Chứng minh: 2AD = AB + AC – BC

  2) Chứng minh rằng ba đường thẳng BI, DE, MN đồng quy.