Câu hỏi ôn thi môn Toán cao cấp - Chương 5
Câu hỏi Tự luận (6 câu):
-
Xét sự hội tụ của chuỗi cấp số nhân với công bội q
\(\sum\limits_{k = 0}^\infty {a\mathop q\nolimits^k ,a \ne 0} \)
Xem đáp án Tính tổng riêng tứ n; \(\mathop S\nolimits_n = \left\{ \begin{array}{l}
a.\frac{{\mathop q\nolimits^n - 1}}{{q - 1}}\\
na,q = 1
\end{array} \right.,q \ne 1\)
Nếu |q|<1 thì \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \mathop S\nolimits_n = \frac{a}{{1 - q}}\)
Nếu |q|>1 thì Sn không hội tụ
Vậy chuỗi cấp số nhân hội tụ khi và chỉ khi |q|<1
-
Xét sự hội tụ của chuỗi \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\ln \frac{n}{{n + 1}}} \)
Xem đáp án \(\mathop S\nolimits_n = \sum\limits_{k = 1}^n {\ln \frac{k}{{k + 1}}} = \sum\limits_{k = 1}^n {{\rm{[}}\ln k - \ln (k + 1){\rm{]}}} \)
=ln1-ln2+ln2-ln3+...+lnn-ln(n+1)=-ln(n+1)
\(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } = - \mathop {\lim \ln (n + 1) = - \infty }\limits_{n \to \infty } \) Vậy chuỗi phân kì
-
Xét sự hội tụ của chuổi số \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{n(n + 1)}}} \)
Xem đáp án \(\mathop S\nolimits_n = \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{{k(k + 1)}}} = \sum\limits_{k = 1}^n {{\rm{[}}\frac{1}{k} - \frac{1}{{k + 1}}{\rm{]}}} \)
=1-1/2+1/2-1/3+...+1/n-1/(n+1)=1-1/(n+1)
\(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \mathop S\nolimits_n = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {1 - \frac{1}{{n + 1}}} \right) = 1\)
-
Tính các tích phân sau \(\sum\limits_{n = 2}^\infty {\frac{1}{{\mathop {(\ln n)}\nolimits^p }}} ,p > 0\)
Xem đáp án Vì \(\frac{n}{{\mathop {(\ln n)}\nolimits^p }} \to \infty ,\left( {n \to \infty } \right) \Rightarrow \exists \mathop n\nolimits_0 \in N\)
để \(\forall n > \mathop n\nolimits_o \) có \(\frac{1}{{\mathop {(\ln n)}\nolimits^p }} > \frac{1}{n}\) mà chuỗi điều hòa phân kì,suy ra chuỗi đã ch phân kì
-
Xét sự hội tụ của chuối số \(\sum\limits_{n = 2}^\infty {\frac{{1 + \mathop {\left( { - 1} \right)}\nolimits^n .\sqrt n }}{n}} \)
Xem đáp án Chuỗi là đan dấu,tuy nhiên phân kì vì là tổng của chuỗi điều hòa \(\sum\limits_{n = 2}^\infty {\frac{1}{n}} \) và chuối đan dấu \(\sum\limits_{n = 2}^\infty {\frac{{\mathop {( - 1)}\nolimits^n }}{{\mathop n\nolimits^{\frac{1}{2}} }}} \) với \(\alpha = \frac{1}{2}\)
-
Chứng minh rằng chuỗi hàm
\(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\left[ {\frac{x}{{1 + \mathop n\nolimits^2 \mathop x\nolimits^2 }} - \frac{x}{{1 + \mathop {(n - 1)}\nolimits^2 \mathop x\nolimits^2 }}} \right]} \) hội tụ đều trên [0,1]
Xem đáp án \(\begin{array}{l}
\mathop S\nolimits_n (x) = \frac{x}{{1 + \mathop n\nolimits^2 \mathop x\nolimits^2 }},\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \mathop S\nolimits_n (x) = 0,x \in {\rm{[}}0,1]\\
\left| {\mathop R\nolimits_n (x)} \right| = \frac{x}{{1 + \mathop n\nolimits^2 \mathop x\nolimits^2 }} = \frac{{2nx}}{{1 + \mathop n\nolimits^2 \mathop x\nolimits^2 }}.\frac{1}{{2n}} \le \frac{1}{{2n}} < \varepsilon \\
\Rightarrow \exists \mathop n\nolimits_0 = \left[ {\frac{1}{{2\varepsilon }}} \right]
\end{array}\)
"Việc làm nhỏ, ý nghĩa lớn." → Không nghừng cố gắng, thành công sẽ đến.
