Câu hỏi ôn thi môn Toán cao cấp - Chương 5

Câu hỏi Tự luận (6 câu):

• Câu 1:

  Mã câu hỏi: 204902

  Xét sự hội tụ của chuỗi cấp số nhân với công bội q

  $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}a{q}^k,a\ne 0$

  Xem đáp án

  Tính tổng riêng tứ n; $S_n=\{\begin{array}{l}a.\frac{q^n-1}{q-1}\\ na,q=1\end{array},q\ne 1$

  Nếu |q|<1 thì $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{S}_n=\frac{a}{1-q}$

  Nếu |q|>1 thì Sn không hội tụ

   

  Vậy chuỗi cấp số nhân hội tụ khi và chỉ khi |q|<1

• Câu 2:

  Mã câu hỏi: 204903

  Xét sự hội tụ của chuỗi $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\ln \frac{n}{n+1}$

  Xem đáp án

  $S_n=\sum _{k=1}^n\ln \frac{k}{k+1}=\sum _{k=1}^n[\ln k-\ln (k+1)]$

  =ln1-ln2+ln2-ln3+...+lnn-ln(n+1)=-ln(n+1)

  $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}=-\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim\ln (n+1)=-\mathrm{\infty }}$ Vậy chuỗi phân kì

• Câu 3:

  Mã câu hỏi: 204904

  Xét sự hội tụ của chuổi số $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n(n+1)}$

  Xem đáp án

  $S_n=\sum _{k=1}^n\frac{1}{k(k+1)}=\sum _{k=1}^n[\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}]$

  =1-1/2+1/2-1/3+...+1/n-1/(n+1)=1-1/(n+1)

  $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{S}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\left(1-\frac{1}{n+1}\right)=1$

• Câu 4:

  Mã câu hỏi: 204905

  Tính các tích phân sau $\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{{(\ln n)}^p},p>0$

  Xem đáp án

  Vì $\frac{n}{{(\ln n)}^p}\to \mathrm{\infty },\left(n\to \mathrm{\infty }\right)\Rightarrow \mathrm{\exists }{n}_0\in N$

  để $\mathrm{\forall }n>n_o$ có $\frac{1}{{(\ln n)}^p}>\frac{1}{n}$ mà chuỗi điều hòa phân kì,suy ra chuỗi đã ch phân kì

• Câu 5:

  Mã câu hỏi: 204906

  Xét sự hội tụ của chuối số $\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1+{\left(-1\right)}^n.\sqrt{n}}{n}$

  Xem đáp án

  Chuỗi là đan dấu,tuy nhiên phân kì vì là tổng của chuỗi điều hòa $\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n}$ và chuối đan dấu $\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{{(-1)}^n}{n^{\frac{1}{2}}}$ với $\alpha =\frac{1}{2}$

• Câu 6:

  Mã câu hỏi: 204907

  Chứng minh rằng chuỗi hàm 

  $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\left[\frac{x}{1+n^2{x}^2}-\frac{x}{1+{(n-1)}^2{x}^2}\right]$ hội tụ đều trên [0,1]

  Xem đáp án

  $\begin{array}{l}{S}_n(x)=\frac{x}{1+n^2{x}^2},\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{S}_n(x)=0,x\in [0,1]\\ \left|R_n(x)\right|=\frac{x}{1+n^2{x}^2}=\frac{2nx}{1+n^2{x}^2}.\frac{1}{2n}\le \frac{1}{2n}<\epsilon \\ \Rightarrow \mathrm{\exists }{n}_0=\left[\frac{1}{2\epsilon }\right]\end{array}$