Câu hỏi ôn thi môn Toán cao cấp - Chương 4

Câu hỏi Tự luận (6 câu):

• Câu 1:

  Mã câu hỏi: 204908

  Cho f: [0,1]-->[o,1],f liên tục khác 0 và $\underset{0}{\overset{1}{\int }}f(x)dx=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{f}^2(x)dx$ .Chứng minh f=1

  Xem đáp án

  Xét $\underset{0}{\overset{1}{\int }}f(1-f)dx=\underset{0}{\overset{1}{\int }}fdx-\underset{0}{\overset{1}{\int }}{f}^{2}dx=0$,theo giả thiết f(1-f)>=0 và f(1-f) liên tục [0,1]==>f(1-f)=0 với mọi x thuộc [0,1],vì f khác 0 suy ra

  f=1 với mọi x thuộc [0,1]

• Câu 2:

  Mã câu hỏi: 204909

  Tính $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\underset{x}{\overset{x^2}{\int }}\frac{dt}{{(\ln t)}^2}$

  Xem đáp án

  Vơi x dương khá lớn sẽ có ${(\ln x)}^2\le {{(\ln x}^2)}^2$

  $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\underset{x}{\overset{x^2}{\int }}\frac{dt}{{(\mathrm{lnt})}^2}\ge \frac{x^2-x}{{{(\ln x}^2)}^2}\to +\mathrm{\infty }$

  $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\underset{x}{\overset{x^2}{\int }}\frac{dt}{{(\mathrm{lnt})}^2}=+\mathrm{\infty }$

• Câu 3:

  Mã câu hỏi: 204910

  Xét sự hội tụ và phân kì của các tích phân sau:

  $\begin{array}{l}\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x^{\frac{3}{2}}}{1+x^2}dx\\ \underset{1}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{dx}{z\sqrt{1+x^2}}\end{array}$

  Xem đáp án

  $\left(\frac{x^{\frac{3}{2}}}{1+x^2}:\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}\right)$=1 ==> tích phân suy rộng phận kì

  $\left(\frac{1}{z\sqrt{1+x^2}}:\frac{1}{x^2}\right)$=1==> tích phân suy rộng hội tụ

• Câu 4:

  Mã câu hỏi: 204911

  Xét sự hội tụ của tích phân suy rộng sau:

  $\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\cos \alpha x}{k^2+x^2}dx,\alpha \in R,k\in R^{\ast }$

  Xem đáp án

  $\begin{array}{l}|\cos \alpha x|\le 1.\frac{1}{k^2+x^2}\sim \frac{1}{x^2},x\to \mathrm{\infty }\\ \Rightarrow \underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\cos \alpha x}{k^2+x^2}dx\end{array}$ hội tụ tuyệt đối 

• Câu 5:

  Mã câu hỏi: 204912

  Xét sự tồn tại của tích phân suy rộng sau :

  $\begin{array}{l}\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}\\ \underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{dx}{{\left(x-a\right)}^{\alpha }},\alpha \in R\end{array}$

  Xem đáp án

  Hàm dưới dấu tích phân có cực điểm là $\pm 1$

  $\begin{array}{l}\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\underset{-1}{\overset{a}{\int }}\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}+\underset{a}{\overset{1}{\int }}\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}\\ =\arcsin a-\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\arcsin x+\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\arcsin x-\arcsin a=3,14\end{array}$

• Câu 6:

  Mã câu hỏi: 204913

  Xét sự hội tụ của  các tích phân suy rộng sau

  $\begin{array}{l}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{dx}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2{x}^2)}},\left|k\right|<1\\ \underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{dx}{\ln x}\end{array}$

  Xem đáp án

  a. Hàm  dưới dấu tích phân có một cực điểm x=1,là VCL cấp 1/2 so với VCL $\frac{1}{1-x}$ tại x=1.Vậy tích phân suy rộng hội tụ

  b.$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{dx}{\ln x},\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{1}{\ln x}=0$ vậy hàm 1/lnx có cực điểm tại x=1

  $\left(\frac{1}{\ln x}:\frac{1}{x-1}\right)$ =1 (với x=1),tích phân suy rộng phân kì