Câu hỏi ôn thi môn Toán cao cấp - Chương 3

Câu hỏi Tự luận (7 câu):

• Câu 1:

  Mã câu hỏi: 204914

  Cho f thuộc R khả vi tại a thuộc X.hãy tìm

  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f(a + \mathop h\nolimits^2 ) - f(a + h)}}{h}\)

  Xem đáp án

  \(\frac{{f(a + \mathop h\nolimits^2 ) - f(a + h)}}{h}\)

  \(= h\frac{{f(a + \mathop h\nolimits^2 ) - f(a)}}{{\mathop h\nolimits^2 }} - \frac{{f(a + h) - f(a)}}{h}\)

  -->-f"(a)

• Câu 2:

  Mã câu hỏi: 204915

  Hãy tính đạo hàm tại 0 của các hàm số sau (nếu có)

  \(\mathop f\nolimits_1 (x) = \left\{ \begin{array}{l}
  \mathop x\nolimits^2 \sin \frac{1}{x}\\
  0
  \end{array} \right.\)

  \(\mathop f\nolimits_2 (x) = \mathop x\nolimits^{\frac{1}{3}} \)

  Xem đáp án

  \(\frac{{\mathop f\nolimits_1 (h) - \mathop f\nolimits_1 (0)}}{h} = \frac{{\mathop h\nolimits^2 \sin \frac{1}{h}}}{h}\)

• Câu 3:

  Mã câu hỏi: 204916

  Chứng tỏ rằng f thuộc R cho bởi biểu thức dưới đây không khả vi tại mọi x thuộc R

  \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
  x + 1,x \in Q\\
  3 - x,x \in R/Q
  \end{array} \right.\)

  Xem đáp án

  Nhận thấy tập Q và R/Q đều trù mật lấy x thuộc R

  \(\mathop {\lim }\limits_{\mathop {x \to \mathop x\nolimits_0 }\limits_{x \in Q} } f(x) = \mathop x\nolimits_0  + 1,\mathop {\lim }\limits_{\mathop {x \to \mathop x\nolimits_0 }\limits_{x \in Q} } f(x) = 3 - \mathop x\nolimits_0 \)

  Vậy hàm không khả vi tại x khác 1

  Xét 1+h thuộc Q....

  Xét 1+h thuộc R\ Q

  vậy không tồn tại f'(1)

• Câu 4:

  Mã câu hỏi: 204917

  Tính đạo hàm  của hàm số

  \(\left\{ \begin{array}{l}
  y = t - {\rm{ar}}ctgt\\
  x = \ln (1 + \mathop t\nolimits^2 )
  \end{array} \right.\)

  Xem đáp án

  \(\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{d(t - {\rm{ar}}ctgt)}}{{d\ln (1 + \mathop t\nolimits^2 )}}\)=\(\frac{t}{2}\)

• Câu 5:

  Mã câu hỏi: 204918

  Tính đạo hàm cấp 100 của hàm số f(x)=\(\mathop x\nolimits^2 {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}\)

  Xem đáp án

  Áp dụng công thúc Leibnitz

  \(\mathop f\nolimits^{100} (x) = \sum\limits_{k = 0}^{100} {\mathop C\nolimits_{100}^k } \mathop {\left( {\mathop x\nolimits^2 } \right)}\nolimits^k \mathop {\left( {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} \right)}\nolimits^{(100 - k)} \)

  =\(\mathop x\nolimits^2 \)sĩn-200x.cosx-9900sinx

• Câu 6:

  Mã câu hỏi: 204919

  Cho f: (-1,1)-->R

  f(x)=\(\frac{{2x + 3}}{{\mathop {\left( {x - 1} \right)}\nolimits^2 (x + 1)}}\)

  Hãy tính \(\mathop f\nolimits^n (x)\)

  Xem đáp án

  Phân tích f(x) thành các phân thức tối giản

  \(f(x) = \frac{5}{2}.\frac{1}{{\mathop {(x - 1)}\nolimits^2 }} - \frac{1}{4}.\frac{1}{{x - 1}} + \frac{1}{4}.\frac{1}{{x + 1}}\)

  \(\mathop f\nolimits^{(n)} (x) = \frac{5}{2}\mathop {( - 1)}\nolimits^n .\frac{{(n + 1)!}}{{\mathop {(x - 1)}\nolimits^{2 + n} }} - \frac{1}{4}\mathop {( - 1)}\nolimits^n .\frac{{(n)!}}{{\mathop {(x - 1)}\nolimits^{2 + n} }} + \frac{1}{4}\mathop {( - 1)}\nolimits^n .\frac{{(n)!}}{{\mathop {(x + 1)}\nolimits^n }}\)

• Câu 7:

  Mã câu hỏi: 204920

  Cho f,g thuộc C^2 trên R và h(x)=\(\left\{ \begin{array}{l}
  f(x),g(x) \ge 0\\
  f(x) + \mathop {\left( {g(x)} \right)}\nolimits^3 g(x) < 0
  \end{array} \right.\)

  chứng minh h thuộc C^2 trên R

  Xem đáp án

  Dễ dàng nhận được \(\varphi (t) = \left\{ \begin{array}{l}
  0,t \ge 0\\
  \mathop t\nolimits^3 ,t < 0
  \end{array} \right.\)

  thuộc lớp C^2 trên R ==>\(\varphi \) thuộc C^2 trên R==>h=f+\(\varphi \) thuộc C^2 trên R