Câu hỏi ôn thi môn Toán cao cấp - Chương 3

Câu hỏi Tự luận (7 câu):

• Câu 1:

  Mã câu hỏi: 204914

  Cho f thuộc R khả vi tại a thuộc X.hãy tìm

  $\underset{x\to 0}{lim}\frac{f(a+h^2)-f(a+h)}{h}$

  Xem đáp án

  $\frac{f(a+h^2)-f(a+h)}{h}$

  $=h\frac{f(a+h^2)-f(a)}{h^2}-\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$

  -->-f"(a)

• Câu 2:

  Mã câu hỏi: 204915

  Hãy tính đạo hàm tại 0 của các hàm số sau (nếu có)

  $f_1(x)=\{\begin{array}{l}{x}^2\sin \frac{1}{x}\\ 0\end{array}$

  $f_2(x)=x^{\frac{1}{3}}$

  Xem đáp án

  $\frac{f_1(h)-f_1(0)}{h}=\frac{h^2\sin \frac{1}{h}}{h}$

• Câu 3:

  Mã câu hỏi: 204916

  Chứng tỏ rằng f thuộc R cho bởi biểu thức dưới đây không khả vi tại mọi x thuộc R

  $f(x)=\{\begin{array}{l}x+1,x\in Q\\ 3-x,x\in R/Q\end{array}$

  Xem đáp án

  Nhận thấy tập Q và R/Q đều trù mật lấy x thuộc R

  $\underset{\underset{x\in Q}{x\to x_0}}{lim}f(x)=x_0+1,\underset{\underset{x\in Q}{x\to x_0}}{lim}f(x)=3-x_0$

  Vậy hàm không khả vi tại x khác 1

  Xét 1+h thuộc Q....

  Xét 1+h thuộc R\ Q

  vậy không tồn tại f'(1)

• Câu 4:

  Mã câu hỏi: 204917

  Tính đạo hàm  của hàm số

  $\{\begin{array}{l}y=t-\mathrm{a}\mathrm{r}ctgt\\ x=\ln (1+t^2)\end{array}$

  Xem đáp án

  $\frac{dy}{dx}=\frac{d(t-\mathrm{a}\mathrm{r}ctgt)}{d\ln (1+t^2)}$=$\frac{t}{2}$

• Câu 5:

  Mã câu hỏi: 204918

  Tính đạo hàm cấp 100 của hàm số f(x)=$x^2\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{x}$

  Xem đáp án

  Áp dụng công thúc Leibnitz

  $f^{100}(x)=\sum _{k=0}^{100}{C}_{100}^k{\left(x^2\right)}^k{\left(\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{x}\right)}^{(100-k)}$

  =$x^2$sĩn-200x.cosx-9900sinx

• Câu 6:

  Mã câu hỏi: 204919

  Cho f: (-1,1)-->R

  f(x)=$\frac{2x+3}{{\left(x-1\right)}^2(x+1)}$

  Hãy tính $f^n(x)$

  Xem đáp án

  Phân tích f(x) thành các phân thức tối giản

  $f(x)=\frac{5}{2}.\frac{1}{{(x-1)}^2}-\frac{1}{4}.\frac{1}{x-1}+\frac{1}{4}.\frac{1}{x+1}$

  $f^{(n)}(x)=\frac{5}{2}{(-1)}^n.\frac{(n+1)!}{{(x-1)}^{2+n}}-\frac{1}{4}{(-1)}^n.\frac{(n)!}{{(x-1)}^{2+n}}+\frac{1}{4}{(-1)}^n.\frac{(n)!}{{(x+1)}^n}$

• Câu 7:

  Mã câu hỏi: 204920

  Cho f,g thuộc C^2 trên R và h(x)=$\{\begin{array}{l}f(x),g(x)\ge 0\\ f(x)+{\left(g(x)\right)}^{3}g(x)<0\end{array}$

  chứng minh h thuộc C^2 trên R

  Xem đáp án

  Dễ dàng nhận được $\phi (t)=\{\begin{array}{l}0,t\ge 0\\ t^3,t<0\end{array}$

  thuộc lớp C^2 trên R ==>$\phi$ thuộc C^2 trên R==>h=f+$\phi$ thuộc C^2 trên R