Câu hỏi ôn thi môn Toán cao cấp - Chương 2
Câu hỏi Tự luận (8 câu):
-
Cho f,g : R-->R thỏa mãn mọi x,y thuộc R,(f(x)-f(y))(g(x)-g(y))=0
Chứng minh rằng ít nhất một trong hai hàm số là hằng số
Xem đáp án Giả sử a,b thuộc R,f(a) khác f(b),ta sẽ chỉ ra g(x) là hằng số.trước hết có
với mọi x thuộc R \(\left\{ \begin{array}{l}
\left( {f\left( a \right) - f\left( x \right)} \right)\left( {g\left( a \right) - g\left( x \right)} \right) = 0\\
\left( {f\left( b \right) - f\left( x \right)} \right)\left( {g\left( a \right) - g\left( x \right)} \right) = 0
\end{array} \right.\)
Trừ từng vế và để ý đến g(a)=g(b) suy ra
(f(a)-f(b))(g(a)-g(x))=0==>g(x)=g(a)
-
Tìm hàm f(x) trên R sao cho x.f(x)+f(1-x)=\(\mathop x\nolimits^3 \)+1,với mọi x thuộc R
Xem đáp án Giả sử tồn tại f(x),thay x bởi 1-x vào hệ thức đã cho:
(1-x).f(1-x)+f(x)=2-3x+\(3\mathop x\nolimits^2 \mathop { - x}\nolimits^3 \)
Suy ra \(\begin{array}{l}
(\mathop x\nolimits^2 - x + 1)f(x) = \mathop {(\mathop x\nolimits^2 - x + 1)}\nolimits^2 \\
\Rightarrow f(x) = (\mathop x\nolimits^2 - x + 1)
\end{array}\)
Kiểm tra \(f(x) = (\mathop x\nolimits^2 - x + 1)\)
-
Cho \(\mathop {a \in R}\nolimits_ + ^* \backslash {\rm{\{ }}1\} \),giải phương trình \(\mathop {\log }\nolimits_a x - \mathop {\log }\nolimits_{\mathop a\nolimits^2 } x + \mathop {\log }\nolimits_{\mathop a\nolimits^4 } x = \frac{3}{4}\)
Xem đáp án Điều kiện \(\begin{array}{l}
\mathop {x \in R}\nolimits_ + ^* \\
\ln x(\frac{1}{{\ln a}} - \frac{1}{{2\ln a}} + \frac{1}{{4\ln a}}) = \frac{3}{4}\\
\Leftrightarrow \ln x = \ln a \Leftrightarrow x = a
\end{array}\)
-
Giả phương trình sau arcsin(tgx)=x
Xem đáp án Điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}
x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,x \in \left( { - \frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}} \right)\\
tgx \in {\rm{[}} - 1,1] \Rightarrow x \in \left( { - \frac{\pi }{4},\frac{\pi }{4}} \right)
\end{array} \right.\)
arcsin(tgx)=arcsin(sinx)
==>tgx=sinx
==.sinx(1-(1/cosx))=0
\(\left[ \begin{array}{l}
{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} = 0\\
\cos x = 1
\end{array} \right. \Rightarrow x = k\pi ,k \in Z\)
Vì \(k\pi \notin \left[ {\frac{{ - \pi }}{4},\frac{{ - \pi }}{4}} \right]\) nên phương trình vô nghiệm
-
Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{\sqrt {2x + 1} - 3}}{{\sqrt {x + 2} - \sqrt 2 }}\)
Xem đáp án \(\frac{{\sqrt {2x + 1} - 3}}{{\sqrt {x + 2} - \sqrt 2 }} = \frac{{2(x - 4)(\sqrt {x - 2} + \sqrt 2 )}}{{(x - 4)(\sqrt {2x + 1} + 3)}}\frac{{2.2\sqrt 2 }}{{2.3}} = \frac{2}{3}\sqrt 2 \)
-
Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\cos x - \cos 3x}}{{\mathop x\nolimits^2 }}\)
Xem đáp án \(\begin{array}{l}
\frac{{\cos x - \cos 3x}}{{\mathop x\nolimits^2 }} = \frac{{(cosx - 1) + (1 - \cos 3x)}}{{\mathop x\nolimits^2 }}\\
= \frac{{ - 1}}{2}\frac{{\mathop {\sin }\nolimits^2 \frac{x}{2}}}{{\mathop {(\frac{x}{2})}\nolimits^2 }} + \frac{9}{2}\frac{{\mathop {\sin }\nolimits^2 \frac{{3x}}{2}}}{{\mathop {(\frac{{3x}}{2})}\nolimits^2 }}
\end{array}\)
-
Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \mathop {\left( {\frac{{x - 1}}{{\mathop x\nolimits^2 + 1}}} \right)}\nolimits^{\mathop x\nolimits^2 } ,\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \mathop {(1 + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}})}\nolimits^{\frac{1}{x}} \)
Xem đáp án \(\mathop {\left( {\frac{{x - 1}}{{\mathop x\nolimits^2 + 1}}} \right)}\nolimits^{\mathop x\nolimits^2 } = \mathop {\left( {1 - \frac{2}{{1 + \mathop x\nolimits^2 }}} \right)}\nolimits^{\left( { - \frac{{1 + \mathop x\nolimits^2 }}{2}} \right)\left( {\frac{{ - 2\mathop x\nolimits^2 }}{{\mathop x\nolimits^2 + 1}}} \right)} \mathop e\nolimits^{ - 2} \)
-
Tìm \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\mathop x\nolimits^2 + x - 1}}{{2\mathop x\nolimits^2 - 2}},\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\mathop x\nolimits^2 + x + 1}}{{\mathop x\nolimits^3 + 2}}\)
Xem đáp án \(\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\mathop x\nolimits^2 + x - 1}}{{2\mathop x\nolimits^2 - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\mathop x\nolimits^2 }}{{2\mathop x\nolimits^2 }} = \frac{1}{2}\\
\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\mathop x\nolimits^2 + x + 1}}{{\mathop x\nolimits^3 + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\mathop x\nolimits^2 }}{{\mathop x\nolimits^2 }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{1}{x} = 0
\end{array}\)
"Việc làm nhỏ, ý nghĩa lớn." → Không nghừng cố gắng, thành công sẽ đến.
