Câu hỏi ôn thi môn Toán cao cấp - Chương 2

Câu hỏi Tự luận (8 câu):

• Câu 1:

  Mã câu hỏi: 204921

  Cho f,g : R-->R thỏa mãn mọi x,y thuộc R,(f(x)-f(y))(g(x)-g(y))=0

  Chứng minh rằng ít nhất một trong hai hàm số là hằng số 

  Xem đáp án

  Giả sử a,b thuộc R,f(a) khác f(b),ta sẽ chỉ ra g(x) là hằng số.trước hết có 

  với mọi x thuộc R $\{\begin{array}{l}\left(f\left(a\right)-f\left(x\right)\right)\left(g\left(a\right)-g\left(x\right)\right)=0\\ \left(f\left(b\right)-f\left(x\right)\right)\left(g\left(a\right)-g\left(x\right)\right)=0\end{array}$

  Trừ từng vế và để ý đến g(a)=g(b) suy ra

  (f(a)-f(b))(g(a)-g(x))=0==>g(x)=g(a)

   

• Câu 2:

  Mã câu hỏi: 204922

  Tìm hàm f(x) trên R sao cho x.f(x)+f(1-x)=$x^3$+1,với mọi x thuộc R

  Xem đáp án

  Giả sử tồn tại f(x),thay x bởi 1-x vào hệ thức đã cho:

  (1-x).f(1-x)+f(x)=2-3x+$3x^2{-x}^3$

  Suy ra $\begin{array}{l}(x^2-x+1)f(x)={(x^2-x+1)}^2\\ \Rightarrow f(x)=(x^2-x+1)\end{array}$

  Kiểm tra $f(x)=(x^2-x+1)$

• Câu 3:

  Mã câu hỏi: 204923

  Cho ${a\in R}_{+}^{\ast }\mathrm{\setminus }\{1\}$,giải phương trình ${\log }_{a}x-{\log }_{a^2}x+{\log }_{a^4}x=\frac{3}{4}$

  Xem đáp án

  Điều kiện $\begin{array}{l}{x\in R}_{+}^{\ast }\\ \ln x(\frac{1}{\ln a}-\frac{1}{2\ln a}+\frac{1}{4\ln a})=\frac{3}{4}\\ \iff \ln x=\ln a\iff x=a\end{array}$

• Câu 4:

  Mã câu hỏi: 204924

  Giả phương trình sau arcsin(tgx)=x

  Xem đáp án

  Điều kiện $\{\begin{array}{l}x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,x\in \left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)\\ tgx\in [-1,1]\Rightarrow x\in \left(-\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{4}\right)\end{array}$

  arcsin(tgx)=arcsin(sinx)

  ==>tgx=sinx

  ==.sinx(1-(1/cosx))=0

  $[\begin{array}{l}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{x}=0\\ \cos x=1\end{array}\Rightarrow x=k\pi ,k\in Z$

  Vì $k\pi \notin \left[\frac{-\pi }{4},\frac{-\pi }{4}\right]$ nên phương trình vô nghiệm

• Câu 5:

  Mã câu hỏi: 204925

  Tính $\underset{x\to 4}{lim}\frac{\sqrt{2x+1}-3}{\sqrt{x+2}-\sqrt{2}}$

  Xem đáp án

  $\frac{\sqrt{2x+1}-3}{\sqrt{x+2}-\sqrt{2}}=\frac{2(x-4)(\sqrt{x-2}+\sqrt{2})}{(x-4)(\sqrt{2x+1}+3)}\frac{2.2\sqrt{2}}{2.3}=\frac{2}{3}\sqrt{2}$

• Câu 6:

  Mã câu hỏi: 204926

  Tính $\underset{x\to 0}{lim}\frac{\cos x-\cos 3x}{x^2}$

  Xem đáp án

  $\begin{array}{l}\frac{\cos x-\cos 3x}{x^2}=\frac{(cosx-1)+(1-\cos 3x)}{x^2}\\ =\frac{-1}{2}\frac{{\sin }^2\frac{x}{2}}{{(\frac{x}{2})}^2}+\frac{9}{2}\frac{{\sin }^2\frac{3x}{2}}{{(\frac{3x}{2})}^2}\end{array}$

• Câu 7:

  Mã câu hỏi: 204927

  Tính $\underset{x\to 0}{lim}{\left(\frac{x-1}{x^2+1}\right)}^{x^2},\underset{x\to 0}{lim}{(1+\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{x})}^{\frac{1}{x}}$

  Xem đáp án

  ${\left(\frac{x-1}{x^2+1}\right)}^{x^2}={\left(1-\frac{2}{1+x^2}\right)}^{\left(-\frac{1+x^2}{2}\right)\left(\frac{-2x^2}{x^2+1}\right)}{e}^{-2}$

• Câu 8:

  Mã câu hỏi: 204928

  Tìm $\underset{x\to 0}{lim}\frac{x^2+x-1}{2x^2-2},\underset{x\to 0}{lim}\frac{x^2+x+1}{x^3+2}$

  Xem đáp án

  $\begin{array}{l}\underset{x\to 0}{lim}\frac{x^2+x-1}{2x^2-2}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{x^2}{2x^2}=\frac{1}{2}\\ \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x^2+x+1}{x^3+2}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x^2}{x^2}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{x}=0\end{array}$