Câu hỏi ôn thi môn Toán cao cấp - Chương 1
Câu hỏi Tự luận (5 câu):
-
Tìm các tiệm cận dưới và tiệm cận trên đúng trong R nếu chúng tồn tại của tập
\(X = \left\{ {\frac{1}{{\mathop 2\nolimits^n }} + \frac{{\mathop {( - 1)}\nolimits^n }}{n},n \in \mathop N\nolimits^* } \right\} = \left\{ {\mathop u\nolimits_n ,n \in \mathop N\nolimits^* } \right\}\)
Xem đáp án Với mọi p thuộc \({\mathop N\nolimits^* }\)
ta có : \(\begin{array}{l}
\mathop u\nolimits_{2p} = \frac{1}{{\mathop 2\nolimits^{2p} }} + \frac{1}{{2p}} \Rightarrow 0 < \mathop u\nolimits_{2p} < \mathop u\nolimits_2 = \frac{3}{4}\\
\mathop u\nolimits_{2p + 1} = \frac{1}{{\mathop 2\nolimits^{2p + 1} }} - \frac{1}{{2p + 1}} \Rightarrow \frac{{ - 1}}{3} \le \frac{{ - 1}}{{2p + 1}} \le \mathop u\nolimits_{2p + 1} \le \frac{1}{{\mathop 2\nolimits^{2p + 1} }} \le \frac{1}{8}\\
\mathop u\nolimits_1 = \frac{{ - 1}}{2}
\end{array}\)
Suy ra với mọi n thuộc \({\mathop N\nolimits^* }\)
ta có \(\frac{{ - 1}}{2} = \mathop u\nolimits_1 \le \mathop u\nolimits_n \le \mathop u\nolimits_2 = \frac{3}{4}\)
InfX=minX=-1/2,SupX=maxX=3/4
-
Cho A,B là hai tập không rỗng của R và bị chặn trên
a: Chứng minh Sup(\(A \cup B\)=Max(Sup(A),sup(B))
b: Gọi A+B={\(x \in R,\exists (a,b) \in A.B,x = a + b\)},chứng minh rằng Sup(A-B)=Sup(A)+Sup(B)
Xem đáp án Kí hiệu \(\alpha = SupA,\beta = SupB,\gamma = Max(\alpha ,\beta )\).Vậy tập hợp các cận trên của \(A \cup B\) chính là X=\(X = {\rm{\{ }}x,x \ge \alpha ,x \ge \beta \)}
-
Hãy tìm tất cả các ánh xạ f: C--->C sao cho
Với mọi z thuộc C,f(z)+zf(-z)=1+z
Xem đáp án Nếu tồn tại f(-z)-zf(z)=1-z đúng
suy ra \((1 + \mathop z\nolimits^2 )f(z) = 1 + \mathop z\nolimits^2 \)
Chứng tỏ f(z)=1 nếu \(z \pm i\)
Đạt f(i)=\(\alpha + i\beta \in C,\alpha ,\beta \in R \Rightarrow f( - i) = 1 - i + i\alpha - \beta \)
f:C--->C
Kiểm tra
\(z \to \left\{ \begin{array}{l}
1\\
\alpha \\
1 - \beta + i(\alpha - 1)
\end{array} \right.\)
-
Tính \(\begin{array}{l}
a.\frac{{\sqrt 3 - i}}{{1 + i}}\\
b.(1 - i)(1 - \sqrt 3 i)(\sqrt 3 + 1)
\end{array}\)
Xem đáp án \(a.z = \mathop z\nolimits_1 \mathop z\nolimits_2 \mathop z\nolimits_{3,} \mathop z\nolimits_1 = 1 - i,\mathop z\nolimits_2 = 1 - \sqrt 3 i,\mathop z\nolimits_3 = \sqrt 3 + i\)
Ta đi tìm mooddun và acgumen của các số phức này
\(\begin{array}{l}
\mathop r\nolimits_1 = \left| {\mathop z\nolimits_1 } \right| = \sqrt {1 + 1} = \sqrt 2 ,\mathop \theta \nolimits_1 = \arg \mathop z\nolimits_1 ,\left\{ \begin{array}{l}
tg\mathop \theta \nolimits_1 = - 1\\
tg\mathop \theta \nolimits_1 > 0
\end{array} \right.\\
= = > \mathop \theta \nolimits_1 = \frac{{ - 3,14}}{4}
\end{array}\)
Tương tự nhận được \(\mathop r\nolimits_2 = 2,\mathop \theta \nolimits_2 = \frac{{ - \pi }}{3},\mathop r\nolimits_2 = 2,\mathop \theta \nolimits_2 = \frac{\pi }{6}\)
-
Chứng minh rằng với mọi z thuộc C thì
\(\left[ \begin{array}{l}
\left| {1 + z} \right| \ge \frac{1}{2}\\
\left| {1 + \mathop z\nolimits^2 } \right| < 1
\end{array} \right.\)
Xem đáp án Giả sử tồn tại z=x+iy thuộc c sao cho
\(\left( \begin{array}{l}
|1 + z| < \frac{1}{2}\\
|1 + \mathop z\nolimits^2 | < 1
\end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array}{l}
\mathop {(\mathop x\nolimits^2 + \mathop y\nolimits^2 )}\nolimits^2 + 2\mathop {(x}\nolimits^2 - \mathop y\nolimits^2 ) < 0\\
\mathop x\nolimits^2 + \mathop y\nolimits^2 + 2x + \frac{3}{4} < 0
\end{array} \right.\)
"Việc làm nhỏ, ý nghĩa lớn." → Không nghừng cố gắng, thành công sẽ đến.
