Câu hỏi ôn thi môn Toán cao cấp - Chương 1

Câu hỏi Tự luận (5 câu):

• Câu 1:

  Mã câu hỏi: 204929

  Tìm các tiệm cận dưới  và tiệm cận trên đúng trong R nếu chúng tồn tại của tập 

  $X=\left\{\frac{1}{2^n}+\frac{{(-1)}^n}{n},n\in N^{\ast }\right\}=\left\{u_n,n\in N^{\ast }\right\}$

  Xem đáp án

  Với mọi p thuộc $N^{\ast }$

  ta có : $\begin{array}{l}{u}_{2p}=\frac{1}{2^{2p}}+\frac{1}{2p}\Rightarrow 0<u_{2p}<u_2=\frac{3}{4}\\ u_{2p+1}=\frac{1}{2^{2p+1}}-\frac{1}{2p+1}\Rightarrow \frac{-1}{3}\le \frac{-1}{2p+1}\le u_{2p+1}\le \frac{1}{2^{2p+1}}\le \frac{1}{8}\\ u_1=\frac{-1}{2}\end{array}$

  Suy ra với mọi n thuộc $N^{\ast }$

  ta có $\frac{-1}{2}=u_1\le u_n\le u_2=\frac{3}{4}$

  InfX=minX=-1/2,SupX=maxX=3/4

• Câu 2:

  Mã câu hỏi: 204930

  Cho A,B là hai tập không rỗng của R và bị chặn trên 

  a: Chứng minh Sup($A\cup B$=Max(Sup(A),sup(B))

  b: Gọi A+B={$x\in R,\mathrm{\exists }(a,b)\in A.B,x=a+b$},chứng minh rằng Sup(A-B)=Sup(A)+Sup(B)

  Xem đáp án

  Kí hiệu $\alpha =SupA,\beta =SupB,\gamma =Max(\alpha ,\beta )$.Vậy tập hợp các cận trên của $A\cup B$  chính là X=$X=\{x,x\ge \alpha ,x\ge \beta$}

• Câu 3:

  Mã câu hỏi: 204931

  Hãy tìm tất cả các ánh xạ f: C--->C sao cho

  Với mọi z thuộc C,f(z)+zf(-z)=1+z

  Xem đáp án

  Nếu tồn tại f(-z)-zf(z)=1-z đúng

   suy ra $(1+z^2)f(z)=1+z^2$

  Chứng tỏ f(z)=1 nếu $z\pm i$

  Đạt f(i)=$\alpha +i\beta \in C,\alpha ,\beta \in R\Rightarrow f(-i)=1-i+i\alpha -\beta$

  f:C--->C 

  Kiểm tra 

  $z\to \{\begin{array}{l}1\\ \alpha \\ 1-\beta +i(\alpha -1)\end{array}$

• Câu 4:

  Mã câu hỏi: 204933

  Tính $\begin{array}{l}a.\frac{\sqrt{3}-i}{1+i}\\ b.(1-i)(1-\sqrt{3}i)(\sqrt{3}+1)\end{array}$

  Xem đáp án

  $a.z=z_1{z}_2{z}_{3,}{z}_1=1-i,z_2=1-\sqrt{3}i,z_3=\sqrt{3}+i$

  Ta đi tìm mooddun và acgumen của các số phức này

  $\begin{array}{l}{r}_1=\left|z_1\right|=\sqrt{1+1}=\sqrt{2},{\theta }_1=\arg z_1,\{\begin{array}{c}tg{\theta }_1=-1\\ tg{\theta }_1>0\end{array}\\ ==>{\theta }_1=\frac{-3,14}{4}\end{array}$

  Tương tự nhận được $r_2=2,{\theta }_2=\frac{-\pi }{3},r_2=2,{\theta }_2=\frac{\pi }{6}$

   

• Câu 5:

  Mã câu hỏi: 204935

  Chứng minh rằng với mọi z thuộc C thì 

  $[\begin{array}{l}\left|1+z\right|\ge \frac{1}{2}\\ \left|1+z^2\right|<1\end{array}$

  Xem đáp án

  Giả sử tồn tại z=x+iy thuộc c sao cho 

  $(\begin{array}{l}|1+z|<\frac{1}{2}\\ |1+z^2|<1\end{array}$

  $\{\begin{array}{l}{(x^2+y^2)}^2+2{(x}^2-y^2)<0\\ x^2+y^2+2x+\frac{3}{4}<0\end{array}$