Câu hỏi ôn thi môn Đại số tuyến tính - Chương 4

Câu hỏi Tự luận (8 câu):

• Câu 1:

  Mã câu hỏi: 205162

  Giải hệ phương trình sau \(\left\{ \begin{array}{l}
  x - 5y + 4z =  - 7\\
  2x - 9y - z = 4\\
  3x - 11y - 7z = 17
  \end{array} \right.\)

  Xem đáp án

  Nhân hai vế của phương trình (1) lần lượt với - 2, - 3 rồi cộng lũ lượt vào phương trình (2) và phương trình (3), ta được hệ:  

  \(\left\{ \begin{array}{l}
  x - 5y + 4z =  - 7\\
  y - 9z = 18\\
  4y - 19z = 38
  \end{array} \right.\)

  Từ đó z=-2,thay z vào  2 phương thì thì tìm được x=1,y=0

  Vậy nghiệm của hệ là (1,0,-2)

• Câu 2:

  Mã câu hỏi: 205163

  Giải hệ phương trình sau

  \(\left\{ \begin{array}{l}
  3x - yy - z + 2t = 1\\
  x - y - 2z + 4t = 5\\
  x + y + 3z - 6t =  - 9\\
  12x - 2y + z - 2t =  - 10
  \end{array} \right.\)

  Xem đáp án

  B=\(\left( {\left. {\begin{array}{*{20}{c}}
  3&{ - 1}&{ - 1}&2\\
  1&{ - 1}&{ - 2}&4\\
  1&1&3&{ - 6}\\
  {12}&{ - 2}&1&{ - 2}
  \end{array}} \right|\begin{array}{*{20}{c}}
  1\\
  5\\
  { - 9}\\
  { - 10}
  \end{array}} \right)\)

  Đổi chỗ dòng thứ nhất với dòng thứ ba rồi tiếp tục biến đổi ta được:  

  \(\left( {\left. {\begin{array}{*{20}{c}}
  1&1&3&{ - 6}\\
  0&{ - 2}&{ - 5}&{10}\\
  0&0&0&0\\
  0&0&0&0
  \end{array}} \right|\begin{array}{*{20}{c}}
  { - 9}\\
  {14}\\
  0\\
  0
  \end{array}} \right)\)

  Ma trận cuối cùng ứng với hệ phương trình: 

  \(\left\{ \begin{array}{l}
  x + y + 3z - 6t =  - 9\\
   - 2y - 5z + 10t = 14
  \end{array} \right.\)

  Nếu cho x3 = c3, x4 = c4, với c3, c4 thuộc trường số K thì vế phải của mỗi phương trình trong hệ này là một số và hệ trở thành một hệ Cramer vì định thức của nó là 

  \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
  1&1\\
  0&{ - 2}
  \end{array}} \right| =  - 2 \ne 0\)

  Nếu cho c3, c4 một giá trị cụ thể thì ta được một nghiệm riêng của hệ. Chẳng hạn, với c3 = 0, c4 = 1, ta được một nghiệm riêng là (-1, - 2, 0, 1). 

• Câu 3:

  Mã câu hỏi: 205164

  Giải hệ phương trình sau 

  \(\left\{ \begin{array}{l}
  4x + 2y + z - 3t = 7\\
  x - y + z + 2t = 5\\
  2x + 3y - 3z + t = 3\\
  4x + y - z + 5t = 1
  \end{array} \right.\)

  Xem đáp án

  \(\begin{array}{l}
  \left( {\left. {\begin{array}{*{20}{c}}
  4&2&1&{ - 3}\\
  1&{ - 1}&1&2\\
  2&3&{ - 3}&1\\
  4&1&{ - 1}&5
  \end{array}} \right|\begin{array}{*{20}{c}}
  7\\
  5\\
  3\\
  1
  \end{array}} \right) \Rightarrow \left( {\left. {\begin{array}{*{20}{c}}
  1&{ - 1}&1&2\\
  4&2&1&{ - 3}\\
  2&3&{ - 3}&1\\
  4&1&{ - 1}&5
  \end{array}} \right|\begin{array}{*{20}{c}}
  5\\
  7\\
  3\\
  1
  \end{array}} \right)\\
   \Rightarrow \left( {\left. {\begin{array}{*{20}{c}}
  1&{ - 1}&1&2\\
  0&1&2&{ - 8}\\
  0&5&{ - 5}&{ - 3}\\
  0&0&0&0
  \end{array}} \right|\begin{array}{*{20}{c}}
  5\\
  { - 13}\\
  { - 7}\\
  { - 12}
  \end{array}} \right)
  \end{array}\)

  Ma trận cuối cùng ứng với hệ phương trình tương đương với hệ phương trình đã cho mà phương trình cuối cùng là: 0x1 + 0x2 + 0x3 + 0x4 = - 1 2. Phương trình này vô nghiệm. Vậy hệ đã cho vô nghiệm. 

   

• Câu 4:

  Mã câu hỏi: 205165

  \(\left\{ \begin{array}{l}
  3x - y - z = 6\\
  x - 5y + 3z = 12\\
  2x + 4y =  - 6\\
  2x + y + 3z = 3\\
  5x + 4z = 9
  \end{array} \right.\)

  Xem đáp án

  \(\begin{array}{l}
  A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
  3&{ - 1}&1\\
  1&{ - 5}&1\\
  2&4&0\\
  2&1&3\\
  5&0&4
  \end{array}} \right),B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
  3&{ - 1}&1&6\\
  1&{ - 5}&1&{12}\\
  2&4&0&{ - 6}\\
  2&1&3&3\\
  5&0&4&9
  \end{array}} \right)\\
  D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
  1&{ - 5}&1\\
  2&4&0\\
  2&1&3
  \end{array}} \right| = 36
  \end{array}\),do đó hạng (A)=3

  Để tính hạng của B ta chỉ cần tính các định thức con của B bao quanh D

  đó là \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
  3&{ - 1}&1&6\\
  1&{ - 5}&1&{12}\\
  2&4&0&{ - 6}\\
  2&1&3&3
  \end{array}} \right| = 0,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
  1&{ - 5}&1&{12}\\
  2&4&0&{ - 6}\\
  2&1&3&3\\
  5&0&4&9
  \end{array}} \right| = 0\)

  Vì thế hạng(B) = 3 = hạng(B). Vậy hệ có nghiệm. Giải hệ phương trình (gồm các phương trình ứng với các dòng của định thức D): 

  \(\left\{ \begin{array}{l}
  x - 5y + z = 12\\
  2x + 4y =  - 6\\
  2x + y = 3z = 3
  \end{array} \right.\)

  Đó là một hệ Cramer vì D ≠ 0. Áp dụng công thức Cramer ta tìm được nghiệm là: (1, - 2, 1). 

• Câu 5:

  Mã câu hỏi: 205166

  Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp Gauss, rồi tìm hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình:  

  \(\left\{ \begin{array}{l}
  3x - 3z + 3t = 0\\
  x - y + z + 2t = 0\\
  2x + y - 4z + t = 0\\
  x + 2y - 5z - t = 0
  \end{array} \right.\)

  Xem đáp án

  Biến đổi ma trận A: 

  \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
  3&0&{ - 3}&3\\
  1&{ - 1}&1&2\\
  2&1&{ - 4}&1\\
  1&2&{ - 5}&{ - 1}
  \end{array}} \right) \Rightarrow \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
  1&{ - 1}&1&2\\
  0&3&{ - 6}&{ - 3}\\
  0&0&0&0\\
  0&0&0&0
  \end{array}} \right)\)

  Hệ đã cho trở thành hệ tương đương

  \(\left\{ \begin{array}{l}
  x - y + z + 2t = 0\\
  3y - 6z - 3t = 0
  \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
  z - y =  - z - 2t\\
  y = 2z + t
  \end{array} \right.\)

  Nghiệm tổng quát của hệ là (c3 - c4, 2c3 + c4, c3, c4) cho x3 = 1, x4 = 0, ta được một nghiệm riêng: (1, 2, 1, 0). Cho x3 = 0, X4 = 1, ta được một nghiệm riêng: (-1, 1, 0, 1). 
  Hệ nghiệm cơ bản là:

  \(\left\{ \begin{array}{l}
  (1,2,1,0)\\
  ( - 1,2,0,1)
  \end{array} \right.\)

   Ta xét tiếp mối liên hệ giữa các nghiệm của hệ phương trình tuyến tính và của hệ thuần nhất liên kết. Nhắc lại rằng mỗi nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính n ẩn là một vectơ của không gian Kết. 

• Câu 6:

  Mã câu hỏi: 205167

  Giiar hệ phương trình bằng máy tính bỏ túi

  \(\left\{ \begin{array}{l}
  3x - y - z + 2t = 1\\
  x - y - 2z + 4t = 5\\
  x + y + 3z - 6t =  - 9\\
  12x - 2y + z - 2t =  - 10
  \end{array} \right.\)

  Xem đáp án

  Tạo ma trận các hệ số, đánh lệnh: A={{3,-1,-1,2},{1,-1,-2,4},{1,1,3,-6},{12,-2,1,-2}}↵ Màn hình xuất hiện: Out[1]={{3,-1,-1,2},{1,-1,-2,4},{1,1,3,-6},{12,-2,1,-2}} • Giải hệ phương trình, đánh lệnh: LinearSolve[A,{1,5,- 910}]↵ Màn hình xuất hiện: Out[2]-{-2,-7,0,0} Đó là một nghiệm riêng của hệ đã cho. • Tìm hệ nghiệm cơ bản của hệ thuần nhất liên kết, đánh lệnh:  NullSpace[A] ↵ Màn hình xuất hiện hệ nghiệm cơ bản của hệ thuần nhất:  Out[3]={{1,5,0,1}, {-1,-5,2,0}}. Muốn tìm nghiệm tổng quát của hệ đã cho ta chỉ việc lấy tổng của một nghiệm riêng của hệ đã cho với một tổ hợp tuyến tính của hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình thuần nhất liên kết: (x,y,z,t) = (-2, -7, 0, 0) + c3(-1, -5, 2, 0) + c4(1, 5, 0, 1) = (-2-c3+ c4, -7- 5c3 + 5c4, 2c3, c4). 

• Câu 7:

  Mã câu hỏi: 205168

  Giải hệ phương trình sau bằng máy tính bỏ túi

  \(\left\{ \begin{array}{l}
  3x - y - z + 2t = 1\\
  x - y - 2z + 4t = 5\\
  x + y + 3z - 6t =  - 9\\
  12x - 2y + z - 2t =  - 10
  \end{array} \right.\)

  Xem đáp án

  • Tạo ma trận các hệ số.

  A={{3,-17-1,2},{1,-1,-2,4},{1,1,3,-6},{12,-2,1,-2}} ↵

  Màn hình xuất hiện: Out[1]={{3,-1,-1,2},{1,-1,-2,4},{1,1,3,-6},{12,-2,1,-2}}

  • Giải hệ phương trình, đánh lệnh:

  LinearSolve[A,{1,5,-9,10}}] ↵

  Màn hình xuất hiện:

  LinearSolve: nosol: Linear equation encountered which has no solution

  Out[2]=linearsolve[{{3,-1,-1,2},1,-1,-2,4~1,1,3,-6},{12,-2,1,-2}},{1,5,9,10}].

  Điều này có nghĩa rằng hệ vô nghiệm. Sở dĩ hệ vô nghiệm là vì hạng(A) = 2, còn hạng(B) - 3. 

   

• Câu 8:

  Mã câu hỏi: 205169

  Tìm chiều và 1 cơ sở trưc chuẩn của không gian nghiệm của không gian nghiệm của hệ phương trình 

  \(\left\{ \begin{array}{l}
  \mathop x\nolimits_1  + \mathop x\nolimits_2  - \mathop x\nolimits_3  - 2\mathop x\nolimits_4  = 0\\
  \mathop {2x}\nolimits_1  + \mathop x\nolimits_2  - \mathop {3x}\nolimits_3  - 5\mathop x\nolimits_4  = 0\\
  \mathop {3x}\nolimits_1  + \mathop x\nolimits_2  - \mathop {5x}\nolimits_3  - 8\mathop x\nolimits_4  = 0\\
  \mathop {5x}\nolimits_1  + \mathop {3x}\nolimits_2  - \mathop {7x}\nolimits_3  - 12\mathop x\nolimits_4  = 0
  \end{array} \right.\)

  Xem đáp án

  Tìm một cơ sở tùy ý của không gian nghiệm E={(2,-1,1,0),(3,-1,0,1)}

  Dùng quá trình Gram đưa về cơ sở trực giao,ta có  E1 ={( 2 ,−1 ,1 ,0 ) ,( 4 ,1 ,−7 ,6 ) } 

  Chuản hóa,cơ sở trực chuẩn \(\mathop E\nolimits_2  = {\rm{\{ }}\frac{1}{{\sqrt 6 }}(2, - 1,1,0),\frac{1}{{\sqrt {67} }}(4,1, - 7,1){\rm{\} }}\)