Câu hỏi ôn thi môn Đại số tuyến tính - Chương 3

Câu hỏi Tự luận (5 câu):

• Câu 1:

  Mã câu hỏi: 205157

  Chứng minh rằng một không gian véctơ hoặc chỉ có một vecto hoặc có vô số vecto

   

  Xem đáp án

  Giả sử V là không gian vecto và V có nhiều hơn 1 vecto,ta chứng minh V chứa vô số vecto.thật vậy,vì V có nhiều hơn một vecto nên tồn taig vecto có alpha thuộc V,alpha khác 0.

  Khi đó với mọi a,b thuộc R <==>(a-b)$\lambda$-0

                                              <==>a-b-0<==>a=b

  Do đó có vô số các vecto 

• Câu 2:

  Mã câu hỏi: 205158

  Xét không gian vecto với 2 cơ sở sau

  $\begin{array}{l}\epsilon =\left({\epsilon }_1,{\epsilon }_2,{\epsilon }_3\right),\overrightarrow{{\epsilon }_1}=(1,0,0),\overrightarrow{{\epsilon }_2}=(0,1,0),\overrightarrow{{\epsilon }_3}=(0,0,1)\\ \xi =({\xi }_1,{\xi }_2,{\xi }_3),\overrightarrow{{\xi }_1}=(1,1,0),\overrightarrow{{\xi }_2}=(0,1,1),\overrightarrow{{\xi }_3}=(1,0,1)\end{array}$

   Tìm ma trận chuyển từ cơ sở (ε) sang cơ sở (ξ) 

  Xem đáp án

  Ta có: $\begin{array}{l}\overrightarrow{{\xi }_1}=(1,1,0)+(0,1,0)=\overrightarrow{{\epsilon }_1}+\overrightarrow{{\epsilon }_2}\\ \overrightarrow{{\xi }_2}=(0,1,1)+(0,0,1)=\overrightarrow{{\epsilon }_3}+\overrightarrow{{\epsilon }_2}\\ \overrightarrow{{\xi }_3}=(1,0,1)+(0,0,3)=\overrightarrow{{\epsilon }_3}+\overrightarrow{{\epsilon }_1}\end{array}$

  Vậy ma trận chuyển từ cơ sở (ε) sang cơ sở (ξ) là 

  $T=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 1& 1& 0\\ 0& 1& 1\end{array}\right)$

   

• Câu 3:

  Mã câu hỏi: 205159

  Xét không gian R3 với hai cơ sở (ε) và (ξ) . Cho vecto β = (- 5, 0 , 1) ∈ R3. Hãy tìm tọa độ của vectơ β ∈ R3 đối với cơ sở (ξ). 

  $\begin{array}{l}\epsilon =\left({\epsilon }_1,{\epsilon }_2,{\epsilon }_3\right),\overrightarrow{{\epsilon }_1}=(1,0,0),\overrightarrow{{\epsilon }_2}=(0,1,0),\overrightarrow{{\epsilon }_3}=(0,0,1)\\ \xi =({\xi }_1,{\xi }_2,{\xi }_3),\overrightarrow{{\xi }_1}=(1,1,0),\overrightarrow{{\xi }_2}=(0,1,1),\overrightarrow{{\xi }_3}=(1,0,1)\end{array}$

  Xem đáp án

   ta biết rằng ma trận chuyển từ cơ sở (ξ) sang cơ sở (ε) là:  

  $T=\left(\begin{array}{ccc}0,5& 0,5& -0,5\\ -0,5& 0,5& 0,5\\ 0,5& -0,5& 0,5\end{array}\right)$

  Gọi tọa độ của vectoβ đối với cơ sở (ξ) là (x1, x2, x3). Theo giả thiết tọa độ củavecto β đối với cơ sở (ε) là y1 = - 5, y2 = 0, y3 = 1. Theo công thức đổi tọa độ ta có:

   x1=0,5.(-5)+0,5.0+(-0,5).1=-3

  x2=-0,5.(-5)+0,5.0+(0,5).1=3

  x3=0,5.(-5)+-0,5.0+(+0,5).1=-2

• Câu 4:

  Mã câu hỏi: 205160

   Tìm cơ sở của không gian vectơ sinh bởi hệ vectơ gồm các vectơ trong R3: $\overline{{\lambda }_1}=(1,5,-3),\overline{{\lambda }_2}=(4,20,-12),\overline{{\lambda }_3}=(2,-1,5)$

  Xem đáp án

  Gọi A là ma trận mà các vectơ dòng là các vectơ đã cho: 

  A=$\left|\begin{array}{ccc}1& 5& -3\\ 4& 20& -12\\ 2& -1& 5\end{array}\right|$

  Nhận thấy $\left|\begin{array}{cc}1& 5\\ 2& -1\end{array}\right|\ne 0,\left|\begin{array}{ccc}1& 5& -3\\ 4& 20& -12\\ 2& -1& 5\end{array}\right|=0$

  Như vậy $\left|\begin{array}{cc}1& 5\\ 2& -1\end{array}\right|$ là định thức con cấp cao nhất khác 0 của ma trận A. 

• Câu 5:

  Mã câu hỏi: 205161

  Cho hệ vecto A gồm $\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{\lambda }}_1=(1,2,3,4)\\ {\overrightarrow{\lambda }}_2=(-1,3,0,1)\\ {\overrightarrow{\lambda }}_3=(2,4,1,8)\\ {\overrightarrow{\lambda }}_4=(1,7,6,9)\\ {\overrightarrow{\lambda }}_5=(0,10,1,10)\end{array}$

  Xem đáp án

   Để tìm hạng của hệ vectơ, ta phải tìm hạng của ma trận 

  $\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ -1& 3& 0& 1\\ 2& 4& 1& 8\\ 1& 7& 6& 9\\ 0& 10& 1& 10\end{array}\right)$

  Theo định lí, ta phải tìm định thức con cấp cao nhất khác 0 của A. Xuất phát từ một định thức con khác 0 bất kì, chẳng hạn 

  $D_2=\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ -1& 3\end{array}\right|\ne 0$

  Ta xét các định thức cấp 3 chứa D2. 

  D3=-25 khác 0

  Tương tự Xét tiếp các định thức con cấp 4 chứa D3