Câu hỏi ôn thi môn Đại số tuyến tính - Chương 3

Câu hỏi Tự luận (5 câu):

• Câu 1:

  Mã câu hỏi: 205157

  Chứng minh rằng một không gian véctơ hoặc chỉ có một vecto hoặc có vô số vecto

   

  Xem đáp án

  Giả sử V là không gian vecto và V có nhiều hơn 1 vecto,ta chứng minh V chứa vô số vecto.thật vậy,vì V có nhiều hơn một vecto nên tồn taig vecto có alpha thuộc V,alpha khác 0.

  Khi đó với mọi a,b thuộc R <==>(a-b)\(\lambda \)-0

                                              <==>a-b-0<==>a=b

  Do đó có vô số các vecto 

• Câu 2:

  Mã câu hỏi: 205158

  Xét không gian vecto với 2 cơ sở sau

  \(\begin{array}{l}
  \varepsilon  = \left( {\mathop \varepsilon \nolimits_1 ,\mathop \varepsilon \nolimits_2 ,\mathop \varepsilon \nolimits_3 } \right),\overrightarrow {\mathop \varepsilon \nolimits_1 }  = {\rm{ (1, 0, 0),}}\overrightarrow {\mathop \varepsilon \nolimits_2 }  = {\rm{(0, 1, 0),}}\overrightarrow {\mathop \varepsilon \nolimits_3 }  = {\rm{ (0, 0, 1)}}\\
  \xi  = (\mathop {{\rm{ }}\xi }\nolimits_1 ,\mathop {{\rm{ }}\xi }\nolimits_2 ,\mathop {{\rm{ }}\xi }\nolimits_3 ),\overrightarrow {\mathop {{\rm{ }}\xi }\nolimits_1 }  = {\rm{ (1, 1, 0),}}\overrightarrow {\mathop {{\rm{ }}\xi }\nolimits_2 }  = {\rm{ (0, 1, 1)}},\overrightarrow {\mathop {{\rm{ }}\xi }\nolimits_3 }  = {\rm{(1, 0, 1}})
  \end{array}\)

   Tìm ma trận chuyển từ cơ sở (ε) sang cơ sở (ξ) 

  Xem đáp án

  Ta có: \(\begin{array}{l}
  \overrightarrow {\mathop {{\rm{ }}\xi }\nolimits_1 }  = {\rm{ (1, 1, 0) + (0,1,0) = }}\overrightarrow {\mathop \varepsilon \nolimits_1 }  + \overrightarrow {\mathop \varepsilon \nolimits_2 } \\
  \overrightarrow {\mathop {{\rm{ }}\xi }\nolimits_2 }  = {\rm{ (0, 1, 1) + (0,0,1) = }}\overrightarrow {\mathop \varepsilon \nolimits_3 }  + \overrightarrow {\mathop \varepsilon \nolimits_2 } \\
  \overrightarrow {\mathop {{\rm{ }}\xi }\nolimits_3 }  = {\rm{(1, 0, 1}}) + {\rm{(0,0,3) = }}\overrightarrow {\mathop \varepsilon \nolimits_3 }  + \overrightarrow {\mathop \varepsilon \nolimits_1 } 
  \end{array}\)

  Vậy ma trận chuyển từ cơ sở (ε) sang cơ sở (ξ) là 

  \(T = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
  1&0&1\\
  1&1&0\\
  0&1&1
  \end{array}} \right)\)

   

• Câu 3:

  Mã câu hỏi: 205159

  Xét không gian R3 với hai cơ sở (ε) và (ξ) . Cho vecto β = (- 5, 0 , 1) ∈ R3. Hãy tìm tọa độ của vectơ β ∈ R3 đối với cơ sở (ξ). 

  \(\begin{array}{l}
  \varepsilon  = \left( {\mathop \varepsilon \nolimits_1 ,\mathop \varepsilon \nolimits_2 ,\mathop \varepsilon \nolimits_3 } \right),\overrightarrow {\mathop \varepsilon \nolimits_1 }  = {\rm{ (1, 0, 0),}}\overrightarrow {\mathop \varepsilon \nolimits_2 }  = {\rm{(0, 1, 0),}}\overrightarrow {\mathop \varepsilon \nolimits_3 }  = {\rm{ (0, 0, 1)}}\\
  \xi  = (\mathop {{\rm{ }}\xi }\nolimits_1 ,\mathop {{\rm{ }}\xi }\nolimits_2 ,\mathop {{\rm{ }}\xi }\nolimits_3 ),\overrightarrow {\mathop {{\rm{ }}\xi }\nolimits_1 }  = {\rm{ (1, 1, 0),}}\overrightarrow {\mathop {{\rm{ }}\xi }\nolimits_2 }  = {\rm{ (0, 1, 1)}},\overrightarrow {\mathop {{\rm{ }}\xi }\nolimits_3 }  = {\rm{(1, 0, 1}})
  \end{array}\)

  Xem đáp án

   ta biết rằng ma trận chuyển từ cơ sở (ξ) sang cơ sở (ε) là:  

  \(T = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
  {0,5}&{0,5}&{ - 0,5}\\
  { - 0,5}&{0,5}&{0,5}\\
  {0,5}&{ - 0,5}&{0,5}
  \end{array}} \right)\)

  Gọi tọa độ của vectoβ đối với cơ sở (ξ) là (x1, x2, x3). Theo giả thiết tọa độ củavecto β đối với cơ sở (ε) là y1 = - 5, y2 = 0, y3 = 1. Theo công thức đổi tọa độ ta có:

   x1=0,5.(-5)+0,5.0+(-0,5).1=-3

  x2=-0,5.(-5)+0,5.0+(0,5).1=3

  x3=0,5.(-5)+-0,5.0+(+0,5).1=-2

• Câu 4:

  Mã câu hỏi: 205160

   Tìm cơ sở của không gian vectơ sinh bởi hệ vectơ gồm các vectơ trong R3: \(\overline {\mathop \lambda \nolimits_1 }  = (1,5, - 3),\overline {\mathop \lambda \nolimits_2 }  = (4,20, - 12),\overline {\mathop \lambda \nolimits_3 }  = (2, - 1,5)\)

  Xem đáp án

  Gọi A là ma trận mà các vectơ dòng là các vectơ đã cho: 

  A=\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
  1&5&{ - 3}\\
  4&{20}&{ - 12}\\
  2&{ - 1}&5
  \end{array}} \right|\)

  Nhận thấy \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
  1&5\\
  2&{ - 1}
  \end{array}} \right| \ne 0,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
  1&5&{ - 3}\\
  4&{20}&{ - 12}\\
  2&{ - 1}&5
  \end{array}} \right| = 0\)

  Như vậy \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
  1&5\\
  2&{ - 1}
  \end{array}} \right|\) là định thức con cấp cao nhất khác 0 của ma trận A. 

• Câu 5:

  Mã câu hỏi: 205161

  Cho hệ vecto A gồm \(\left\{ \begin{array}{l}
  \mathop {\overrightarrow \lambda  }\nolimits_1  = (1,2,3,4)\\
  \mathop {\overrightarrow \lambda  }\nolimits_2  = ( - 1,3,0,1)\\
  \mathop {\overrightarrow \lambda  }\nolimits_3  = (2,4,1,8)\\
  \mathop {\overrightarrow \lambda  }\nolimits_4  = (1,7,6,9)\\
  \mathop {\overrightarrow \lambda  }\nolimits_5  = (0,10,1,10)
  \end{array} \right.\)

  Xem đáp án

   Để tìm hạng của hệ vectơ, ta phải tìm hạng của ma trận 

  \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
  1&2&3&4\\
  { - 1}&3&0&1\\
  2&4&1&8\\
  1&7&6&9\\
  0&{10}&1&{10}
  \end{array}} \right)\)

  Theo định lí, ta phải tìm định thức con cấp cao nhất khác 0 của A. Xuất phát từ một định thức con khác 0 bất kì, chẳng hạn 

  \(\mathop D\nolimits_2  = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
  1&2\\
  { - 1}&3
  \end{array}} \right| \ne 0\)

  Ta xét các định thức cấp 3 chứa D2. 

  D3=-25 khác 0

  Tương tự Xét tiếp các định thức con cấp 4 chứa D3