Câu hỏi ôn thi môn Đại số tuyến tính - Chương 2

Câu hỏi Tự luận (5 câu):

• Câu 1:

  Mã câu hỏi: 205179

  Cho A=\(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
  { - 4}&{13}\\
  7&{ - 9}\\
  {15}&6
  \end{array}} \right),B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
  2&0\\
  {11}&8\\
  { - 3}&1
  \end{array}} \right)\).Tìm ma trận X thỏa mãn điều kiện 2X+A=B

  Xem đáp án

  Cộng - A vào hai vế của đẳng thức 2X + A - B, ta có : 

  2X=B-A

  hay \(\begin{array}{l}
  2X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
  {2 + 4}&{0 - 13}\\
  {11 - 7}&{8 + 9}\\
  { - 3 - 15}&{1 - 6}
  \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
  6&{ - 13}\\
  4&{17}\\
  { - 18}&{ - 5}
  \end{array}} \right)\\
   \Rightarrow X = \frac{1}{2}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
  6&{ - 13}\\
  4&{17}\\
  { - 18}&{ - 5}
  \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
  3&{\frac{{ - 13}}{2}}\\
  2&{\frac{{ - 17}}{2}}\\
  { - 9}&{\frac{{ - 5}}{2}}
  \end{array}} \right)
  \end{array}\)

• Câu 2:

  Mã câu hỏi: 205180

  Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận sau A=\(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
  1&3&0\\
  0&2&{ - 1}\\
  3&1&5
  \end{array}} \right)\)

  Xem đáp án

  |A|=\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
  1&3&0\\
  0&2&{ - 1}\\
  3&1&5
  \end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
  1&3&0\\
  0&0&{ - 1}\\
  3&{11}&5
  \end{array}} \right| = \mathop {\left( { - 1} \right)}\nolimits^{2 + 3} ( - 1)(11 - 9) = 2\)

  Tìm các phần bù đại số

  \(\begin{array}{l}
  \mathop A\nolimits_{11}  = 11,\mathop A\nolimits_{12}  =  - 3,\mathop A\nolimits_{13}  =  - 6,\mathop A\nolimits_{21}  =  - 15,\mathop A\nolimits_{22}  = 5\\
  \mathop A\nolimits_{23}  = 8,\mathop A\nolimits_{31}  =  - 3,\mathop A\nolimits_{32}  = 1,\mathop A\nolimits_{33}  = 2
  \end{array}\)

   Thiết lập ma trận nghịch đảo 

  \(\mathop A\nolimits^{ - 1}  = \frac{1}{2}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
  {11}&{ - 15}&{ - 3}\\
  { - 3}&5&1\\
  { - 6}&8&2
  \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
  {\frac{{11}}{2}}&{\frac{{ - 15}}{2}}&{\frac{{ - 3}}{2}}\\
  {\frac{{ - 3}}{2}}&{2,5}&{0,5}\\
  { - 3}&4&1
  \end{array}} \right)\)

• Câu 3:

  Mã câu hỏi: 205181

  Cho phép biến đổi tuyến tính f: \(\mathop R\nolimits^3  \to \mathop R\nolimits^3 \)  có ma trận đối với cơ sở chính tắc là 

  A=\(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
  1&2&{ - 2}\\
  1&0&3\\
  1&3&0
  \end{array}} \right)\)

  Tìm các giá trị riêng của f và ứng với mỗi giá trị riêng tìm một vectơ riêng. Tìm các không gian bất biến tương ứng của f. 

  Xem đáp án

  Giải phương trình \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
  {1 - k}&2&{ - 2}\\
  1&{ - k}&3\\
  1&3&{ - k}
  \end{array}} \right| = 0 \Rightarrow (k + 3)(\mathop k\nolimits^2  - 4k + 3) = 0\)

  Ta được \(\mathop k\nolimits_1  =  - 3,\mathop k\nolimits_2  = 1,\mathop k\nolimits_3  = 3\)

  Với K2=1,nên ta có 

  \(\left\{ \begin{array}{l}
  2\mathop x\nolimits_2  - 2\mathop x\nolimits_3  = 0\\
  \mathop x\nolimits_1  - \mathop x\nolimits_2  + 3\mathop x\nolimits_3  = 0\\
  \mathop x\nolimits_1  + 3\mathop x\nolimits_2  - \mathop x\nolimits_3 
  \end{array} \right.\)

  ta được nghiệm tổng quát (- 2C3, C3, c3). 

  Không gian bất biến tương ứng gồm các vectơ có dạng C3(- 2, 1, 1) =C3\(\overrightarrow {\mathop \lambda \nolimits_3 } \)

   Vậy không gian bất biến này sinh bởi \(\overrightarrow {\mathop \lambda \nolimits_3 } \)

   

• Câu 4:

  Mã câu hỏi: 205182

  Cho một tự đồng cấu có ma trận \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
  1&{ - 4}&{ - 8}\\
  { - 4}&7&{ - 4}\\
  { - 8}&{ - 4}&1
  \end{array}} \right)\)

   Tìm giá trị riêng

  Xem đáp án

  Tìm giá trị riêng 

  B={{1,- 4,- 8},{- 4,7,- 4},{- 8, - 4, 1}}↵ 

  Màn hình xuất hiện ma trận:

  Out[1]={{1, - 4, - 8}, {- 4, 7, - 4},{- 8, - 4, 1}}

  Eigenvalues[B] ↵ Màn hình xuất hiện:

  Out[2]={-9,9,9}. 

• Câu 5:

  Mã câu hỏi: 205183

  Cho mottj từ đồng cấu có ma trận \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
  1&{ - 4}&{ - 8}\\
  { - 4}&7&{ - 4}\\
  { - 8}&{ - 4}&1
  \end{array}} \right)\)

   Tìm vectơ riêng. 

   Tìm đồng thời cả giá trị riêng và vectơ riêng 

   

   

  Xem đáp án

  Tìm vectơ riêng:

  Tạo các ma trận như trên. Nếu đã có ma trận trên màn hình thì không cần tạo nữa.

  Để tìm vectơ riêng đánh lệnh:

  Eigenvectors [B] ↵ 

  Màn hình xuất hiện:

  Out[]={{2,1,2},{-1,0,1},{-1,2,0}}.

  c) Tìm đồng thời cả giá trị riêng và vectơ riêng

  {vals, vecs}=Eigensystem[B] ↵

  Màn hình xuất hiện: Out[]={{-9,9,9},{{2,1,2},{-1,0,1},{-1,2,0}}}