Câu hỏi ôn thi môn Đại số tuyến tính - Chương 2

Câu hỏi Tự luận (5 câu):

• Câu 1:

  Mã câu hỏi: 205179

  Cho A=$\left(\begin{array}{cc}-4& 13\\ 7& -9\\ 15& 6\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 11& 8\\ -3& 1\end{array}\right)$.Tìm ma trận X thỏa mãn điều kiện 2X+A=B

  Xem đáp án

  Cộng - A vào hai vế của đẳng thức 2X + A - B, ta có : 

  2X=B-A

  hay $\begin{array}{l}2X=\left(\begin{array}{cc}2+4& 0-13\\ 11-7& 8+9\\ -3-15& 1-6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}6& -13\\ 4& 17\\ -18& -5\end{array}\right)\\ \Rightarrow X=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}6& -13\\ 4& 17\\ -18& -5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3& \frac{-13}{2}\\ 2& \frac{-17}{2}\\ -9& \frac{-5}{2}\end{array}\right)\end{array}$

• Câu 2:

  Mã câu hỏi: 205180

  Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận sau A=$\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 0\\ 0& 2& -1\\ 3& 1& 5\end{array}\right)$

  Xem đáp án

  |A|=$\left|\begin{array}{ccc}1& 3& 0\\ 0& 2& -1\\ 3& 1& 5\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}1& 3& 0\\ 0& 0& -1\\ 3& 11& 5\end{array}\right|={\left(-1\right)}^{2+3}(-1)(11-9)=2$

  Tìm các phần bù đại số

  $\begin{array}{l}{A}_{11}=11,A_{12}=-3,A_{13}=-6,A_{21}=-15,A_{22}=5\\ A_{23}=8,A_{31}=-3,A_{32}=1,A_{33}=2\end{array}$

   Thiết lập ma trận nghịch đảo 

  $A^{-1}=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{ccc}11& -15& -3\\ -3& 5& 1\\ -6& 8& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}\frac{11}{2}& \frac{-15}{2}& \frac{-3}{2}\\ \frac{-3}{2}& 2,5& 0,5\\ -3& 4& 1\end{array}\right)$

• Câu 3:

  Mã câu hỏi: 205181

  Cho phép biến đổi tuyến tính f: $R^3\to R^3$  có ma trận đối với cơ sở chính tắc là 

  A=$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& -2\\ 1& 0& 3\\ 1& 3& 0\end{array}\right)$

  Tìm các giá trị riêng của f và ứng với mỗi giá trị riêng tìm một vectơ riêng. Tìm các không gian bất biến tương ứng của f. 

  Xem đáp án

  Giải phương trình $\left|\begin{array}{ccc}1-k& 2& -2\\ 1& -k& 3\\ 1& 3& -k\end{array}\right|=0\Rightarrow (k+3)(k^2-4k+3)=0$

  Ta được $k_1=-3,k_2=1,k_3=3$

  Với K2=1,nên ta có 

  $\{\begin{array}{l}2x_2-2x_3=0\\ x_1-x_2+3x_3=0\\ x_1+3x_2-x_3\end{array}$

  ta được nghiệm tổng quát (- 2C3, C3, c3). 

  Không gian bất biến tương ứng gồm các vectơ có dạng C3(- 2, 1, 1) =C3$\overrightarrow{{\lambda }_3}$

   Vậy không gian bất biến này sinh bởi $\overrightarrow{{\lambda }_3}$

   

• Câu 4:

  Mã câu hỏi: 205182

  Cho một tự đồng cấu có ma trận $\left(\begin{array}{ccc}1& -4& -8\\ -4& 7& -4\\ -8& -4& 1\end{array}\right)$

   Tìm giá trị riêng

  Xem đáp án

  Tìm giá trị riêng 

  B={{1,- 4,- 8},{- 4,7,- 4},{- 8, - 4, 1}}↵ 

  Màn hình xuất hiện ma trận:

  Out[1]={{1, - 4, - 8}, {- 4, 7, - 4},{- 8, - 4, 1}}

  Eigenvalues[B] ↵ Màn hình xuất hiện:

  Out[2]={-9,9,9}. 

• Câu 5:

  Mã câu hỏi: 205183

  Cho mottj từ đồng cấu có ma trận $\left(\begin{array}{ccc}1& -4& -8\\ -4& 7& -4\\ -8& -4& 1\end{array}\right)$

   Tìm vectơ riêng. 

   Tìm đồng thời cả giá trị riêng và vectơ riêng 

   

   

  Xem đáp án

  Tìm vectơ riêng:

  Tạo các ma trận như trên. Nếu đã có ma trận trên màn hình thì không cần tạo nữa.

  Để tìm vectơ riêng đánh lệnh:

  Eigenvectors [B] ↵ 

  Màn hình xuất hiện:

  Out[]={{2,1,2},{-1,0,1},{-1,2,0}}.

  c) Tìm đồng thời cả giá trị riêng và vectơ riêng

  {vals, vecs}=Eigensystem[B] ↵

  Màn hình xuất hiện: Out[]={{-9,9,9},{{2,1,2},{-1,0,1},{-1,2,0}}}