Câu hỏi ôn thi môn Đại số tuyến tính - Chương 1
Câu hỏi Tự luận (7 câu):
-
Tính định thức sau \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
2&{13}\\
6&{29}
\end{array}} \right|\)
Xem đáp án Nhân dòng thứ nhất với -3 rồi cộng vào dòng thứ 2 ta ta được
\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
2&{13}\\
6&{29}
\end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
2&{13}\\
{ - 6 + 6}&{ - 26 + 29}
\end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
2&{13}\\
0&3
\end{array}} \right| = 6\)
-
Tính định thức sau
\(D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
8&3&5&{ - 1}\\
2&0&{ - 2}&9\\
0&4&1&0\\
{ - 6}&1&0&7
\end{array}} \right|\)
Xem đáp án Nếu chọn dòng thứ ba cột thứ hai thì \(\mathop a\nolimits_{32} \) = 4, là một định thức con cấp một của D.
\(\mathop {\overline M }\nolimits_{32} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
8&5&{ - 1}\\
2&{ - 2}&9\\
{ - 6}&0&7
\end{array}} \right|\) là định thức con bù của 4
\(\mathop A\nolimits_{32} = \mathop {\left( { - 1} \right)}\nolimits^{3 + 2} \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
8&5&{ - 1}\\
2&{ - 2}&9\\
{ - 6}&0&7
\end{array}} \right|\) là phần bù đại số của 4
Nếu chọn hai dòng: thứ nhất và thứ ba, hai cột: thứ hai và thứ ba thì:
\(\mathop M\nolimits_{13}^{23} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
3&5\\
4&1
\end{array}} \right|\) là một định thức con cấp hai của D;
\(\mathop M\nolimits_{13}^{ - 23} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
2&9\\
{ - 6}&7
\end{array}} \right|\) là định thức con bù của \(\mathop M\nolimits_{13}^{23} \)
\(\mathop A\nolimits_{13}^{23} = \mathop {( - 1)}\nolimits^{1 + 3 + 2 + 3} \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
2&9\\
{ - 6}&7
\end{array}} \right|\)
-
Tính dịnh thức cấp 3 sau
\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
5&0&8\\
{ - 2}&7&4\\
3&6&0
\end{array}} \right|\)
Xem đáp án \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
5&0&8\\
{ - 2}&7&4\\
3&6&0
\end{array}} \right|\)=5.7.0+0.4.3+8.-2.6-5.4.6-0(-2).0-8.7.3=-96-120-168=-384
-
Tính định thức sau
\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
3&{ - 2}&5&0\\
7&0&6&3\\
1&0&0&{10}\\
{ - 4}&0&2&9
\end{array}} \right|\)
Xem đáp án Nhận thấy cột thứ hai có nhiều thành phần bằng 0. Khai triển định thức theo cột này ta không cần tính phần bù đại số của những thành phần bằng 0. Như vậy,
\(D = \mathop {\left( { - 1} \right)}\nolimits^{1 + 2} ( - 2)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
7&6&3\\
1&0&{10}\\
{ - 4}&2&9
\end{array}} \right|\)=2[6.10(-4)+3.12-6.19-7.10.2]
=2(-240+6-54-140)=-856
-
Tính định thức sau D=\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
3&{ - 2}&5&0\\
7&0&6&3\\
1&0&0&{10}\\
{ - 4}&0&2&9
\end{array}} \right|\)
Xem đáp án Ta cũng có thể khai triển định thức này theo dòng hoặc cột có thành phần bằng 0. Tuy nhiên nhờ tính chất 6, ta có thể biến đổi định thức để trong một dòng hoặc trong một cột chỉ còn nhiều nhất là một thành phần khác 0. Chẳng hạn, ta sẽ biến đổi dòng thứ ba. Nhân cột thứ nhất với 1 rồi cộng vào cột thứ hai, nhân cột thứ nhất với -10 rồi cộng vào cột thứ tư, ta được:
\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
3&{ - 2}&5&0\\
7&0&6&3\\
1&0&0&{10}\\
{ - 4}&0&2&9
\end{array}} \right|\)=\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
3&{ - 5}&5&{ - 30}\\
7&{ - 7}&6&{67}\\
1&0&0&0\\
{ - 4}&6&2&{49}
\end{array}} \right| = \mathop {\left( { - 1} \right)}\nolimits^{3 + 1} 1.\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 5}&5&{ - 30}\\
{ - 7}&6&{ - 67}\\
6&2&{49}
\end{array}} \right|\)
Giữ nguyên cột thứ hai, cộng cột thứ hai vào cột thứ nhất, nhân cột thứ hai với 6 rồi cộng vào cột thứ 3 ta được:
\(D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
0&5&0\\
{ - 1}&6&{ - 31}\\
8&2&{61}
\end{array}} \right| = \mathop {\left( { - 1} \right)}\nolimits^{1 + 2} 5\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 1}&{ - 31}\\
8&{61}
\end{array}} \right|\)=-5(-61+248)=-5.187=-935
-
Tính định thức sau
\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
0&1&2&3&4\\
{ - 1}&0&1&2&3\\
{ - 2}&{ - 1}&1&2&3\\
{ - 6}&{ - 4}&{ - 2}&0&2\\
{ - 16}&{ - 12}&{ - 8}&{ - 4}&0
\end{array}} \right|\)
Xem đáp án Nhận thấy các dòng thứ 4, 5 có thừa số chung lần lượt là 2, 4. Do đó:
D=2.4.\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
0&1&2&3&4\\
{ - 1}&0&1&2&3\\
{ - 2}&{ - 1}&1&2&3\\
{ - 6}&{ - 4}&{ - 2}&0&2\\
{ - 16}&{ - 12}&{ - 8}&{ - 4}&0
\end{array}} \right|\)=8D'
(D’ là định thức vừa tìm được). Nhân mỗi dòng của D’ với -1 ta được D’’ = - D’. Chuyển vị D’’ ta lại được D’. Do đó, theo tính chất 1, D’’ = D’. Như vậy, D’ = D’’ = - D’. Suy ra D’ = 0. Vậy D = 0.
-
Tính định thức \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
2&5&{ - 4}&1\\
{21}&{24}&{15}&{20}\\
1&7&0&1\\
5&{ - 1}&2&0
\end{array}} \right|\)
Xem đáp án Nhận thấy các thành phần ở dòng thứ hai bằng các thành phần tương ứng của dòng thứ nhất cộng với 19. Do đó, áp dụng tính chất 1 ta có: \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
2&5&{ - 4}&1\\
{2 + 19}&{5 + 19}&{ - 4 + 19}&{1 + 19}\\
1&7&0&1\\
5&{ - 1}&2&0
\end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
2&5&{ - 4}&1\\
2&5&{ - 4}&1\\
1&7&0&1\\
5&{ - 1}&2&0
\end{array}} \right| + \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
2&5&{ - 4}&1\\
{19}&{19}&{19}&{19}\\
1&7&0&1\\
5&{ - 1}&2&0
\end{array}} \right|\)
Định thức thứ nhất ở vế phải bằng 0 vì có hai dòng giống nhau. Đưa thừa số chung 19 của định thức thứ hai ra ngoài định thức, ta có: Vậy
D=\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
2&5&{ - 4}&1\\
{19}&{19}&{19}&{19}\\
1&7&0&1\\
5&{ - 1}&2&0
\end{array}} \right| = 19\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&4&{ - 5}\\
0&6&{ - 1}\\
0&{ - 21}&{27}
\end{array}} \right|\)=19.(162-21)=2679
"Việc làm nhỏ, ý nghĩa lớn." → Không nghừng cố gắng, thành công sẽ đến.
