Giải Toán 10 SGK nâng cao Chương 4 Bài 8 Một số phương trình và bất phương trình quy về bậc hai

Giải các phương trình vầ bất phương trình sau:

a) |x² – 5x + 4| = x² + 6x + 5

b) |x – 1| = 2x – 1

c) |-x² + x – 1| ≤ 2x + 5

d) |x² – x|  ≤ |x² – 1|

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Ta có:

$\begin{array}{l}\left|x^2-5x+4\right|=x^2+6x+5\\ \iff \{\begin{array}{c}{x}^2+6x+5\ge 0\\ [\begin{array}{c}{x}^2-5x+4=x^2+6x+5\\ x^2-5x+4=-x^2-6x-5\end{array}\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{c}[\begin{array}{c}x\le -5\\ x\ge -1\end{array}\\ [\begin{array}{c}-11x=1\\ 2x^2+x+9=0\left(vn\right)\end{array}\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{c}[\begin{array}{c}x\le -5\\ x\ge -1\end{array}\\ x=-\frac{1}{11}\end{array}\iff x=-\frac{1}{11}\end{array}$

Vậy $S=\left\{-\frac{1}{11}\right\}$

Câu b:

Điều kiện: $x\ge \frac{1}{2}$ 

Ta có:

$\left|x-1\right|=2x-1\iff [\begin{array}{l}x-1=2x-1\\ x-1=1-2x\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=0\left(l\right)\\ x=\frac{2}{3}\left(n\right)\end{array}$

Vậy tập nghiệm là $S=\left\{\frac{2}{3}\right\}$

Câu c:

Vì - x² + x – 1 < 0, ∀x ∈ R nên:

|- x² + x – 1| ≤ 2x + 5 ⇔ x² – x + 1 ≤ 2x + 5

⇔ x² – 3x + 4 ≤ 0 ⇔ -1 ≤ x ≤ 4

Vậy S = [-1, 4]

Câu d:

Ta có:

|x² – x|  ≤ |x² – 1|

⇔  (x² – x)² – (x² – 1)² ≤ 0

⇔ (1 – x)(2x² – x – 1) ≤  0 ⇔ (x – 1)²(2x + 1) ≥ 0

$\iff [\begin{array}{l}x=1\\ 2x+1\ge 0\end{array}\iff x\ge -\frac{1}{2}$

Vậy $S=\left[-\frac{1}{2};+\mathrm{\infty }\right)$

---

Giải các phương trình sau:

a) $\sqrt{2x^2+4x-1}=x+1$

b) $\sqrt{4x^2+101x+64}=2\left(x+10\right)$

c) $\sqrt{x^2+2x}=-2x^2-4x+3$

d) $\sqrt{\left(x+1\right)\left(x+2\right)}=x^2+3x-4$

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Ta có:

$\begin{array}{l}\sqrt{2x^2+4x-1}=x+1\\ \iff \{\begin{array}{c}x\ge -10\\ 2x^2+4x-1={\left(x+1\right)}^2\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{c}x\ge -1\\ x^2+2x+2=0\end{array}\iff x=-1+\sqrt{3}\end{array}$

Vậy tập nghiệm là $S=\left\{-1+\sqrt{3}\right\}$

Câu b:

$\begin{array}{l}\sqrt{4x^2+101x+64}=2\left(x+10\right)\\ \iff \{\begin{array}{c}x\ge -10\\ 4x^2+101x+64=4{\left(x+10\right)}^2\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{c}x\ge -10\\ 21x=336\end{array}\iff x=16\end{array}$

Vậy S = {16}

Câu c:

Đặt $y=\sqrt{x^2+2x},y>0$, ta có phương trình:

$y=-2y^2+3\iff 2y^2+y-3=0\iff [\begin{array}{l}y=1(n)\\ y=-\frac{3}{2}(l)\end{array}$

Với $y=1\iff \sqrt{x^2+2x}=1\iff x^2+2x-1=0\iff x=-1\pm \sqrt{2}$

Vậy $S=\left\{-1-\sqrt{2};-1+\sqrt{2}\right\}$

Câu d:

Đặt $\sqrt{\left(x+1\right)\left(x+2\right)}=y,y\ge 0$ ta có phương trình:

$y=y^2-6\iff y^2-y-6=0\iff [\begin{array}{l}y=3\left(n\right)\\ y=-2\left(l\right)\end{array}$

Với $y=3\iff \sqrt{x^2+3x+2}=3\iff x^2+3x-7=0\iff x=\frac{-3\pm \sqrt{37}}{2}$

Vậy $S=\left\{\frac{-3-\sqrt{37}}{2};\frac{-3+\sqrt{37}}{2}\right\}$

---

Giải các bất phương trình:

a) $\sqrt{x^2+x-6}<x-1$

b) $\sqrt{2x-1}\le 2x-3$

c) $\sqrt{2x^2-1}>1-x$

d) $\sqrt{x^2-5x-14}\ge 2x-1$

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Ta có:

$\begin{array}{l}\sqrt{x^2+x-6}<x-1\iff \{\begin{array}{c}{x}^2+x-6\ge 0\\ x-1>0\\ x^2+x-6<{\left(x-1\right)}^2\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{c}[\begin{array}{c}x\le 3\\ x\ge 2\end{array}\\ x>1\\ 3x<7\end{array}\iff 2\le x<\frac{7}{3}\end{array}$

Vậy $S=\left[2;\frac{7}{3}\right)$

Câu b:

Ta có:

$\begin{array}{l}\sqrt{2x-1}\le 2x-3\iff \{\begin{array}{c}2x-1\ge 0\\ 2x-3\ge 0\\ 2x-1\le {\left(2x-3\right)}^2\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{c}x\ge \frac{1}{2}\\ x\ge \frac{3}{2}\\ 4x^2-14x+10\ge 0\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{c}x\ge \frac{3}{2}\\ [\begin{array}{c}x\le 1\\ x\ge \frac{5}{2}\end{array}\end{array}\iff x\ge \frac{5}{2}\end{array}$

Vậy $S=\left[\frac{5}{2};+\mathrm{\infty }\right)$

Câu c:

Ta có:

$\begin{array}{l}\sqrt{2x^2-1}>1-x\iff [\begin{array}{c}\{\begin{array}{c}1-x<0\\ 2x^2-1\ge 0\end{array}\\ \{\begin{array}{c}1-x\ge 0\\ 2x^2-1>{\left(1-x\right)}^2\end{array}\end{array}\\ \iff [\begin{array}{c}x>1\\ \{\begin{array}{c}x\le 1\\ x^2+2x-2>0\end{array}\end{array}\iff [\begin{array}{c}x>1\\ \{\begin{array}{c}x\le 1\\ [\begin{array}{c}x<-1-\sqrt{3}\\ x>-1+\sqrt{3}\end{array}\end{array}\end{array}\\ \iff [\begin{array}{c}x<-1-\sqrt{3}\\ x>-1+\sqrt{3}\end{array}\end{array}$

Vậy $S=\left(-\mathrm{\infty };-1-\sqrt{3}\right)\cup \left(-1+\sqrt{3};+\mathrm{\infty }\right)$

Câu d:

Ta có:

$\begin{array}{l}\sqrt{x^2-5x-14}\ge 2x-1\\ \iff [\begin{array}{c}\{\begin{array}{c}2x-1<0\\ x^2-5x-14\ge 0\end{array}\\ \{\begin{array}{c}2x-1\ge 0\\ x^2-5x-14\ge {\left(2x-1\right)}^2\end{array}\end{array}\\ \iff [\begin{array}{c}\{\begin{array}{c}x<\frac{1}{2}\\ [\begin{array}{c}x\le -2\\ x\ge 7\end{array}\end{array}\\ \{\begin{array}{c}x\ge \frac{1}{2}\\ 3x^2+x+15\le 0\end{array}\end{array}\iff x\le -2\end{array}$

Vậy $S=\left(-\mathrm{\infty };-2\right]$

---

Tìm tập xác định của mỗi hàm số sau:

a) $y=\sqrt{\left|x^2+3x-4\right|-x+8}$

b) $y=\sqrt{\frac{x^2+x+1}{\left|2x-1\right|-x-2}}$

c) $y=\sqrt{\frac{1}{x^2-7x+5}-\frac{1}{x^2+2x+5}}$

d) $\sqrt{\sqrt{x^2-5x-14}-x+3}$

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Hàm số xác định khi và chỉ khí:

$\begin{array}{l}\left|x^2+3x-4\right|-x+8\ge 0\\ \iff \left|x^2+3x-4\right|\ge x-8\\ \iff [\begin{array}{c}{x}^2+3x-4\ge x-8\\ x^2+3x-4\le 8-x\end{array}\\ \iff [\begin{array}{c}{x}^2+2x+4\ge 0\\ x^2+4x-12\le 0\end{array}\iff x\in R\end{array}$

Vậy D = R

Câu b:

Hàm số xác định khi và chỉ khí:

$\frac{x^2+x+1}{\left|2x-1\right|-x-2}\ge 0$ 

$\iff \left|2x-1\right|-x-2>0$ (vì x² + x + 1 > 0 với mọi x ∈ R)
$\iff [\begin{array}{l}2x-1>x+2\\ 2x-1<-x-2\end{array}\iff [\begin{array}{l}x>3\\ x<-\frac{1}{3}\end{array}$

Vậy $S=\left(-\mathrm{\infty };-\frac{1}{3}\right)\cup \left(3;+\mathrm{\infty }\right)$

Câu c:

Hàm số xác định khi và chỉ khí:

$\begin{array}{l}\frac{1}{x^2-7x+5}-\frac{1}{x^2+2x+5}\ge 0\\ \iff \frac{x^2+2x+5-\left(x^2-7x+5\right)}{\left(x^2-7x+5\right)\left(x^2+2x+5\right)}\ge 0\\ \iff \frac{9x}{\left(x^2-7x+5\right)\left(x^2+2x+5\right)}\ge 0\\ \iff \frac{x}{x^2-7x+5}\ge 0\left(x^2+2x+5>0,\mathrm{\forall }x\right)\\ \iff [\begin{array}{c}0\le x<\frac{7-\sqrt{29}}{2}\\ x>\frac{7+\sqrt{29}}{2}\end{array}\end{array}$

Vậy $S=\left[0;\frac{7-\sqrt{29}}{2}\right)\cup \left(\frac{7+\sqrt{29}}{2};+\mathrm{\infty }\right)$

Câu d:

Hàm số xác định khi và chỉ khí:

$\begin{array}{l}\sqrt{x^2-5x-14}-x+3\ge 0\\ \iff \sqrt{x^2-5x-14}\ge x-3\\ \iff [\begin{array}{c}\{\begin{array}{c}x-3<0\\ x^2-5x-14\ge 0\end{array}\\ \{\begin{array}{c}x-3\ge 0\\ x^2-5x-14\ge {\left(x-3\right)}^2\end{array}\end{array}\\ \iff [\begin{array}{c}\{\begin{array}{c}x<3\\ [\begin{array}{c}x\le -2\\ x\ge 7\end{array}\end{array}\\ \{\begin{array}{c}x\ge 3\\ x\ge 23\end{array}\end{array}\iff [\begin{array}{c}x\le -2\\ x\ge 23\end{array}\end{array}$

Vậy $S=\left(-\mathrm{\infty };-2\right]\cup \left[23;+\mathrm{\infty }\right)$

 

Trên đây là nội dung chi tiết Giải bài tập nâng cao Toán 10 Chương 4 Bài 8 Một số phương trình và bất phương trình quy về bậc hai với hướng dẫn giải chi tiết, rõ ràng, trình bày khoa học. Chúng tôi hy vọng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các bạn học sinh lớp 10 học tập thật tốt.