Giải Toán 10 SGK nâng cao Chương 4 Bài 8 Một số phương trình và bất phương trình quy về bậc hai

Giải các phương trình vầ bất phương trình sau:

a) |x² – 5x + 4| = x² + 6x + 5

b) |x – 1| = 2x – 1

c) |-x² + x – 1| ≤ 2x + 5

d) |x² – x|  ≤ |x² – 1|

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Ta có:

\(\begin{array}{l}
\left| {{x^2} - 5x + 4} \right| = {x^2} + 6x + 5\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + 6x + 5 \ge 0\\
\left[ \begin{array}{l}
{x^2} - 5x + 4 = {x^2} + 6x + 5\\
{x^2} - 5x + 4 =  - {x^2} - 6x - 5
\end{array} \right.
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
x \le  - 5\\
x \ge  - 1
\end{array} \right.\\
\left[ \begin{array}{l}
 - 11x = 1\\
2{x^2} + x + 9 = 0\left( {vn} \right)
\end{array} \right.
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
x \le  - 5\\
x \ge  - 1
\end{array} \right.\\
x =  - \frac{1}{{11}}
\end{array} \right. \Leftrightarrow x =  - \frac{1}{{11}}
\end{array}\)

Vậy \(S = \left\{ { - \frac{1}{{11}}} \right\}\)

Câu b:

Điều kiện: \(x \ge \frac{1}{2}\) 

Ta có:

\(\left| {x - 1} \right| = 2x - 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x - 1 = 2x - 1\\
x - 1 = 1 - 2x
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\,\,\,\left( l \right)\\
x = \frac{2}{3}\,\,\,\left( n \right)
\end{array} \right.\)

Vậy tập nghiệm là \(S = \left\{ {\frac{2}{3}} \right\}\)

Câu c:

Vì - x² + x – 1 < 0, ∀x ∈ R nên:

|- x² + x – 1| ≤ 2x + 5 ⇔ x² – x + 1 ≤ 2x + 5

⇔ x² – 3x + 4 ≤ 0 ⇔ -1 ≤ x ≤ 4

Vậy S = [-1, 4]

Câu d:

Ta có:

|x² – x|  ≤ |x² – 1|

⇔  (x² – x)² – (x² – 1)² ≤ 0

⇔ (1 – x)(2x² – x – 1) ≤  0 ⇔ (x – 1)²(2x + 1) ≥ 0

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 1\\
2x + 1 \ge 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge  - \frac{1}{2}\)

Vậy \(S = \left[ { - \frac{1}{2}; + \infty } \right)\)

---

Giải các phương trình sau:

a) \(\sqrt {2{x^2} + 4x - 1}  = x + 1\)

b) \(\sqrt {4{x^2} + 101x + 64}  = 2\left( {x + 10} \right)\)

c) \(\sqrt {{x^2} + 2x}  =  - 2{x^2} - 4x + 3\)

d) \(\sqrt {\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}  = {x^2} + 3x - 4\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Ta có:

\(\begin{array}{l}
\sqrt {2{x^2} + 4x - 1}  = x + 1\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge  - 10\\
2{x^2} + 4x - 1 = {\left( {x + 1} \right)^2}
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge  - 1\\
{x^2} + 2x + 2 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow x =  - 1 + \sqrt 3 
\end{array}\)

Vậy tập nghiệm là \(S = \left\{ { - 1 + \sqrt 3 } \right\}\)

Câu b:

\(\begin{array}{l}
\sqrt {4{x^2} + 101x + 64}  = 2\left( {x + 10} \right)\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge  - 10\\
4{x^2} + 101x + 64 = 4{\left( {x + 10} \right)^2}
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge  - 10\\
21x = 336
\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 16
\end{array}\)

Vậy S = {16}

Câu c:

Đặt \(y = \sqrt {{x^2} + 2x} ,y > 0\), ta có phương trình:

\(y =  - 2{y^2} + 3 \Leftrightarrow 2{y^2} + y - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
y = 1\,\,\,(n)\\
y =  - \frac{3}{2}\,\,\,(l)
\end{array} \right.\)

Với \(y = 1 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 2x}  = 1 \Leftrightarrow {x^2} + 2x - 1 = 0 \Leftrightarrow x =  - 1 \pm \sqrt 2 \)

Vậy \(S = \left\{ { - 1 - \sqrt 2 ; - 1 + \sqrt 2 } \right\}\)

Câu d:

Đặt \(\sqrt {\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}  = y,y \ge 0\) ta có phương trình:

\(y = {y^2} - 6 \Leftrightarrow {y^2} - y - 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
y = 3\,\,\left( n \right)\\
y =  - 2\,\,\left( l \right)
\end{array} \right.\)

Với \(y = 3 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 3x + 2}  = 3 \Leftrightarrow {x^2} + 3x - 7 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{ - 3 \pm \sqrt {37} }}{2}\)

Vậy \(S = \left\{ {\frac{{ - 3 - \sqrt {37} }}{2};\frac{{ - 3 + \sqrt {37} }}{2}} \right\}\)

---

Giải các bất phương trình:

a) \(\sqrt {{x^2} + x - 6}  < x - 1\)

b) \(\sqrt {2x - 1}  \le 2x - 3\)

c) \(\sqrt {2{x^2} - 1}  > 1 - x\)

d) \(\sqrt {{x^2} - 5x - 14}  \ge 2x - 1\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Ta có:

\(\begin{array}{l}
\sqrt {{x^2} + x - 6}  < x - 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + x - 6 \ge 0\\
x - 1 > 0\\
{x^2} + x - 6 < {\left( {x - 1} \right)^2}
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
x \le 3\\
x \ge 2
\end{array} \right.\\
x > 1\\
3x < 7
\end{array} \right. \Leftrightarrow 2 \le x < \frac{7}{3}
\end{array}\)

Vậy \(S = \left[ {2;\frac{7}{3}} \right)\)

Câu b:

Ta có:

\(\begin{array}{l}
\sqrt {2x - 1}  \le 2x - 3 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2x - 1 \ge 0\\
2x - 3 \ge 0\\
2x - 1 \le {\left( {2x - 3} \right)^2}
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge \frac{1}{2}\\
x \ge \frac{3}{2}\\
4{x^2} - 14x + 10 \ge 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge \frac{3}{2}\\
\left[ \begin{array}{l}
x \le 1\\
x \ge \frac{5}{2}
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge \frac{5}{2}
\end{array}\)

Vậy \(S = \left[ {\frac{5}{2}; + \infty } \right)\)

Câu c:

Ta có:

\(\begin{array}{l}
\sqrt {2{x^2} - 1}  > 1 - x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
1 - x < 0\\
2{x^2} - 1 \ge 0
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
1 - x \ge 0\\
2{x^2} - 1 > {\left( {1 - x} \right)^2}
\end{array} \right.
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x > 1\\
\left\{ \begin{array}{l}
x \le 1\\
{x^2} + 2x - 2 > 0
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x > 1\\
\left\{ \begin{array}{l}
x \le 1\\
\left[ \begin{array}{l}
x <  - 1 - \sqrt 3 \\
x >  - 1 + \sqrt 3 
\end{array} \right.
\end{array} \right.
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x <  - 1 - \sqrt 3 \\
x >  - 1 + \sqrt 3 
\end{array} \right.
\end{array}\)

Vậy \(S = \left( { - \infty ; - 1 - \sqrt 3 } \right) \cup \left( { - 1 + \sqrt 3 ; + \infty } \right)\)

Câu d:

Ta có:

\(\begin{array}{l}
\sqrt {{x^2} - 5x - 14}  \ge 2x - 1\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
2x - 1 < 0\\
{x^2} - 5x - 14 \ge 0
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
2x - 1 \ge 0\\
{x^2} - 5x - 14 \ge {\left( {2x - 1} \right)^2}
\end{array} \right.
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x < \frac{1}{2}\\
\left[ \begin{array}{l}
x \le  - 2\\
x \ge 7
\end{array} \right.
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
x \ge \frac{1}{2}\\
3{x^2} + x + 15 \le 0
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow x \le  - 2
\end{array}\)

Vậy \(S = \left( { - \infty ; - 2} \right]\)

---

Tìm tập xác định của mỗi hàm số sau:

a) \(y = \sqrt {\left| {{x^2} + 3x - 4} \right| - x + 8} \)

b) \(y = \sqrt {\frac{{{x^2} + x + 1}}{{\left| {2x - 1} \right| - x - 2}}} \)

c) \(y = \sqrt {\frac{1}{{{x^2} - 7x + 5}} - \frac{1}{{{x^2} + 2x + 5}}} \)

d) \(\sqrt {\sqrt {{x^2} - 5x - 14}  - x + 3} \)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Hàm số xác định khi và chỉ khí:

\(\begin{array}{l}
\left| {{x^2} + 3x - 4} \right| - x + 8 \ge 0\\
 \Leftrightarrow \left| {{x^2} + 3x - 4} \right| \ge x - 8\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x^2} + 3x - 4 \ge x - 8\\
{x^2} + 3x - 4 \le 8 - x
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x^2} + 2x + 4 \ge 0\\
{x^2} + 4x - 12 \le 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow x \in R
\end{array}\)

Vậy D = R

Câu b:

Hàm số xác định khi và chỉ khí:

\(\frac{{{x^2} + x + 1}}{{\left| {2x - 1} \right| - x - 2}} \ge 0\) 

\(\Leftrightarrow\left| {2x - 1} \right| - x - 2 > 0\) (vì x² + x + 1 > 0 với mọi x ∈ R)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2x - 1 > x + 2\\
2x - 1 <  - x - 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x > 3\\
x <  - \frac{1}{3}
\end{array} \right.\)

Vậy \(S = \left( { - \infty ; - \frac{1}{3}} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\)

Câu c:

Hàm số xác định khi và chỉ khí:

\(\begin{array}{l}
\frac{1}{{{x^2} - 7x + 5}} - \frac{1}{{{x^2} + 2x + 5}} \ge 0\\
 \Leftrightarrow \frac{{{x^2} + 2x + 5 - \left( {{x^2} - 7x + 5} \right)}}{{\left( {{x^2} - 7x + 5} \right)\left( {{x^2} + 2x + 5} \right)}} \ge 0\\
 \Leftrightarrow \frac{{9x}}{{\left( {{x^2} - 7x + 5} \right)\left( {{x^2} + 2x + 5} \right)}} \ge 0\\
 \Leftrightarrow \frac{x}{{{x^2} - 7x + 5}} \ge 0\left( {{x^2} + 2x + 5 > 0,\forall x} \right)\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
0 \le x < \frac{{7 - \sqrt {29} }}{2}\\
x > \frac{{7 + \sqrt {29} }}{2}
\end{array} \right.
\end{array}\)

Vậy \(S = \left[ {0;\frac{{7 - \sqrt {29} }}{2}} \right) \cup \left( {\frac{{7 + \sqrt {29} }}{2}; + \infty } \right)\)

Câu d:

Hàm số xác định khi và chỉ khí:

\(\begin{array}{l}
\sqrt {{x^2} - 5x - 14}  - x + 3 \ge 0\\
 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} - 5x - 14}  \ge x - 3\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x - 3 < 0\\
{x^2} - 5x - 14 \ge 0
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
x - 3 \ge 0\\
{x^2} - 5x - 14 \ge {\left( {x - 3} \right)^2}
\end{array} \right.
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x < 3\\
\left[ \begin{array}{l}
x \le  - 2\\
x \ge 7
\end{array} \right.
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
x \ge 3\\
x \ge 23
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x \le  - 2\\
x \ge 23
\end{array} \right.
\end{array}\)

Vậy \(S = \left( { - \infty ; - 2} \right] \cup \left[ {23; + \infty } \right)\)

 

Trên đây là nội dung chi tiết Giải bài tập nâng cao Toán 10 Chương 4 Bài 8 Một số phương trình và bất phương trình quy về bậc hai với hướng dẫn giải chi tiết, rõ ràng, trình bày khoa học. Chúng tôi hy vọng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các bạn học sinh lớp 10 học tập thật tốt.