| BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHÍNH THỨC | KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA THPT NĂM HỌC 2020 – 2021 Môn: TOÁN Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi thứ nhất: 25/12/2020 |
Bài 1 (5,0 điểm)
Cho dãy số thực \(({x_n})\) có \({x_1} \in \left( {0,\frac{1}{2}} \right)\) và \({x_{n + 1}} = 3x_n^2 - 2nx_n^3\) với mọi \(n \ge 1.\)
a) Chứng minh \(\lim {x_n} = 0.\)
b) Với mỗi \(n \ge 1\) đặt \({y_n} = {x_1} + 2{x_2} + ... + n{x_n}\). Chứng minh rằng dãy \(\left( {{y_n}} \right)\) có giới hạn hữu hạn.
Bài 2 (5,0 điểm)
Tìm tất cả các hàm số f: R→R thỏa mãn
\(f\left( x \right)f\left( y \right) = f\left( {xy - 1} \right) + xf\left( y \right) + yf\left( x \right)\) \(\forall x,y \in R\)
Bài 3 (5,0 điểm)
Cho tam giác nhọn không cân ABC có trực tâm H và D, E, F lần lượt là chân đường cao hạ từ các đỉnh A, B, C. Gọi (I) là đường tròn ngoại tiếp tam giác HEF với tâm I và K, J lần lượt là trung điểm BC, EF. Cho HJ cắt lại (I) tại G, GK cắt lại (I) tại L.
a) Chứng minh rằng AL vuông góc với EF.
b) Cho AL cắt EF tại M, IM cắt lại đường tròn ngoại tiếp tam giác IEF tại N, DN cắt AB, AC lần lượt tại P, Q. Chứng minh rằng PE, QF, AK đồng quy.
Bài 4 (5,0 điểm)
Với số nguyên \(n \ge 2\), gọi \(s\left( n \right)\) là tổng các số nguyên dương không vượt quá n và không nguyên tố cùng nhau với n.
a) Chứng minh \(s\left( n \right) = \frac{n}{2}\left( {n + 1 - \varphi \left( n \right)} \right)\), trong đó \(\varphi \left( n \right)\) là các số nguyên dương không vượt quá n và nguyên tố cùng nhau với n.
b) Chứng minh rằng không tồn tại số nguyên \(n \ge 2\) thỏa mãn \(s\left( n \right) = s\left( {n + 2021} \right)\).
---HẾT---
* Thí sinh không được phép sử dụng tài liệu và máy tính cần tay.
* Giám thị không giải thích gì thêm.
ĐÁP ÁN
...
---(Để xem nội dung đáp án của đề thi các em vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---
Trên đây là 1 phần trích đoạn nội dung tài liệu Đề thi chọn HSG QG THPT môn Toán vòng 1 (25-12) năm học 2020-2021 Bộ GD&ĐT có đáp án chi tiết. Để xem toàn bộ nội dung các em đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.
Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.
