Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 12 tỉnh Quảng Trị có đáp án chi tiết

Câu 1. ( 5,0 điểm)

1. Tìm tất các các điểm cực đại và điểm cực tiểu của hàm số \(y = \cos x - \sin x.\)

2. Tìm m để phương trình \(\left| {2{x^4} - 4{x^2} + 1} \right| - 2m = 0\) có đúng 5 nghiệm phân biệt.

Câu 2. ( 5,0 điểm)

1. Chứng minh rằng \(C_{2020}^1 + 2C_{2020}^2 + ... + 1010C_{2020}^{1010} = {1010.2^{2019}}.\)

2. Tìm tất cả các cặp số thực (x;y) thỏa mãn \(\left| {xy} \right| \le 4\) và \({\left( {x - y} \right)^2} + 20 = \left( {x + y} \right)\left( {xy - 8} \right).\)

Câu 3. ( 6,0 điểm)

1. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a tam giác SAB vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC theo a.

2. Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I). Gọi M, D, E lần lượt là trung điểm của BC, IB, IC; F, G lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABD và ACE. Chứng minh rằng AM vuông góc FG.

Câu 4. (2,0 điểm)

Cho dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) được xác định bởi \({x_1} = \sqrt 2 \) và \({x_{n + 1}} = \sqrt {2 - {x_n}} ,\;\forall n \ge 1.\)Chứng minh dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) có giới hạn và tìm giới hạn đó.

Câu 5. (2,0 điểm)

Xét các số thực dương a, b, c có tổng bằng 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

\(P = \frac{{2b + c}}{a} + \frac{{2c + a}}{b} + \frac{{2a + b}}{c} + \frac{{18abc}}{{ab + bc + ca}}.\)

----Hết----

Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay.

HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu 1.1. Tìm tất các các điểm cực đại và điểm cực tiểu của hàm số \(y = \cos x - \sin x.\)

\(y' = - \sin x - \cos x\); \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - \frac{\pi }{4} + k2\pi \\ x = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right.\)

\(y'' = \sin x - \cos x\); \(y''\left( { - \frac{\pi }{4} + k2\pi } \right) = - \sqrt 2 < 0;y''\left( {\frac{{3\pi }}{4} + k2\pi } \right) = \sqrt 2 > 0\)

Vậy các điểm cực đại của hàm số là: \(x = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \); Các điểm cực tiểu của hàm số là: \(x = - \frac{\pi }{4} + k2\pi \)

Câu 1. 2. Tìm m để phương trình \(\left| {2{x^4} - 4{x^2} + 1} \right| - 2m = 0\) có đúng 5 nghiệm phân biệt.

\(\left| {2{x^4} - 4{x^2} + 1} \right| - 2m = 0 \Leftrightarrow \left| {2{x^4} - 4{x^2} + 1} \right| = 2m\).

Cách 1: Xét hàm số \(f(x) = 2{x^4} - 4{x^2} + 1\) có BBT của hàm số f(x) và |f(x)|

Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm cửa đồ thị hàm số |f(x)| và đường thẳng y = m. Vậy phương trình đã cho có đúng 5 nghiệm phân biệt khi 2m = 1 hay \(m = \frac{1}{2}.\)

Cách 2: (HS 10,11). \(\left| {2{x^4} - 4{x^2} + 1} \right| = 2m\quad (1)\). Đặt \(t = {x^2},\left( {t \ge 0} \right)\)

PTTT: \(\left| {2{t^2} - 4t + 1} \right| = 2m\) (2).

Xét hàm số \(f(t) = 2{t^2} - 4t + 1\) trên \([0; + \infty )\). |f(t)| có đồ thị

Biện luận các trường hợp số nghiệm của (2) và (1). Từ đó kết luận \(m = \frac{1}{2}.\)

Cách 3: Nhận thấy nếu x₀ là nghiệm của (1) thì -x₀ cũng là nghiệm của pt (1). Do đó nếu các nghiệm \({x_i} \ne 0\) thì số nghiệm của phương trình (1) là số chẵn. Vậy đk cần để pt có 5 nghiệm là pt (1) có nghiệm \({x_0} = 0\), thế vào tìm được \(m = \frac{1}{2}.\) Giải phương trình khi \(m = \frac{1}{2}\) và kết luận.

---Để xem đầy đủ đáp án của đề thi các em vui lòng xem online hoặc tải về máy---

Trên đây là trích dẫn một phần nội dung tài liệu Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 12 tỉnh Quảng Trị có đáp án chi tiết. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Chúc các em học tốt!