Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán có đáp án chi tiết của tỉnh Quảng Bình

Câu 1 (2,0 điểm).

a. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \frac{{\sin x + \cos x + 1}}{{\sqrt {2 + \sin 2x} }}\).

b. Cho hàm số \(y = \frac{x}{{1 - x}}\) có đồ thị (C) và điểm \(A\left( { - 1;\,1} \right)\). Tìm các giá trị của m để đường thẳng \(\left( d \right):y = mx - m - 1\) cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt M, N sao cho \(A{M^2} + A{N^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Câu 2 (2,0 điểm).

a. Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{{1 + {{2019}^x}}}\). Tính tỉ số \(\frac{P}{Q}\), với \(P = f'\left( 1 \right) + 2f'\left( 2 \right) + ... + 2019f'\left( {2019} \right)\) và \(Q = f'\left( { - 1} \right) + 2f'\left( { - 2} \right) + ... + 2019f'\left( { - 2019} \right)\).

b. Giải phương trình: \({\log _2}\left[ {3{{\log }_2}\left( {3x - 1} \right) - 1} \right] = x\).

Câu 3 (2,0 điểm).

a. Cho tam giác đều ABC cạnh 8cm. Chia tam giác này thành 64 tam giác đều cạnh 1cm bởi các đường thẳng song song với các cạnh tam giác ABC (như hình vẽ). Gọi S là tập hợp các đỉnh của các tam giác cạnh 1cm. Chọn ngẫu nhiên 4 đỉnh thuộc S. Tính xác suất sao cho 4 đỉnh được chọn là 4 đỉnh của hình bình hành nằm trong miền trong của tam giác ABC và có cạnh chứa các cạnh của các tam giác cạnh 1 cm ở trên.

b. Tìm công sai d của cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có tất cả các số hạng đều dương và thỏa mãn:

\(\left\{ \begin{array}{l} {u_1} + {u_2} + ... + {u_{2020}} = 4\left( {{u_1} + {u_2} + ... + {u_{1010}}} \right)\\ \log _3^2{u_2} + \log _3^2{u_5} + \log _3^2{u_{14}} = 2 \end{array} \right.\)

Câu 4 (3,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA (ABCD), SA = a. Một mặt phẳng  qua CD cắt SA, SB lần lượt tại M, N. Đặt AM = x, với .

a. Tứ giác MNCD là hình gì? Tính diện tích tứ giác MNCD theo a và x.

b. Xác định x để thể tích khối chóp S.MNCD bằng \(\frac{2}{9}\) lần thể tích khối chóp S.ABCD.

Câu 5 (1,0 điểm).

a. Cho các số thực phân biệt a, b > 1. Chứng minh rằng: \({\log _a}\left( {{{\log }_a}b} \right) > {\log _b}\left( {{{\log }_a}b} \right)\).

b. Cho các số thực \({a_1} > {a_2} > ... > {a_n} > 1,\left( {n \ge 2} \right)\). Chứng minh rằng: \({\log _{{a_1}}}\left( {{{\log }_{{a_1}}}{a_2}} \right) + {\log _{{a_2}}}\left( {{{\log }_{{a_2}}}{a_3}} \right) + ... + {\log _{{a_{n - 1}}}}\left( {{{\log }_{{a_{n - 1}}}}{a_n}} \right) + {\log _{{a_n}}}\left( {{{\log }_{{a_n}}}{a_1}} \right) > 0\).

............ HẾT ............

HƯỚNG DẪN GIẢI (THAM KHẢO)

Câu 1a (1,0 điểm). Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \frac{{\sin x + \cos x + 1}}{{\sqrt {2 + \sin 2x} }}\).

Hướng dẫn

Đặt \(\sin x + \cos x = t \in \left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right] \Rightarrow \sin 2x = {t^2} - 1\), khi đó \(y = \frac{{t + 1}}{{\sqrt {{t^2} + 1} }} = f\left( t \right),t \in \left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right]\).

Ta có \(f'\left( t \right) = \frac{{1 - t}}{{\left( {{t^2} + 1} \right)\sqrt {{t^2} + 1} }} \Rightarrow f'\left( t \right) = 0 \Rightarrow t = 1\).

Tính \(f\left( { - \sqrt 2 } \right) = \frac{{1 - \sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }};f\left( {\sqrt 2 } \right) = \frac{{1 + \sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }},f\left( 1 \right) = \sqrt 2 \).

Suy ra: \(\min y = \frac{{1 - \sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }} \Leftrightarrow x = - \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \); \(\max y = \sqrt 2 \Leftrightarrow x = k2\pi ,x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \).

Câu 1b (1,0 điểm). Cho hàm số \(y = \frac{x}{{1 - x}}\) có đồ thị (C) và điểm A(-1;1). Tìm các giá trị của m để đường thẳng \(\left( d \right):y = mx - m - 1\) cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt M, N sao cho \(A{M^2} + A{N^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Hướng dẫn

Cách 1:

Dễ thấy đường thẳng \(\left( d \right):y = mx - m - 1\) luôn đi qua điểm \(I\left( {1;\, - 1} \right)\) là giao điểm của hai đường tiệm cận. Ta có \(y' = \frac{1}{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}} > 0,\forall x \ne 1\) nên để đường thẳng (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt M, N thì m < 0. Khi đó \(I\left( {1;\, - 1} \right)\) luôn là trung điểm của đoạn MN.

Ta có \(A{M^2} + A{N^2} = {\left( {\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {AN} } \right)^2} - 2\overrightarrow {AM} \overrightarrow {AN} = 4{\overrightarrow {AI} ^2} - 2\overrightarrow {AM} \overrightarrow {AN} = 32 - 2\overrightarrow {AM} \overrightarrow {AN} \) (*).

Do A cố định nên: nếu ta xét được \(\overrightarrow {AM} \overrightarrow {AN} \) là số dương và trong tam giác AMN có cạnh MN nhỏ nhất thì tìm được giá trị nhỏ nhất. Mà (C) là Hypebol nên khi (d) là đường phân giác của góc tạo bởi hai tiệm cận thì m = -1 và \(\left( d \right):y = - x\) cắt (C) tại hai điểm phân biệt \(M\left( {0;0} \right),N\left( {2; - 2} \right)\) và MN nhỏ nhất, ta có: \(\overrightarrow {AM} \overrightarrow {AN} = 1.3 + \left( { - 1} \right)\left( { - 3} \right) = 6 > 0\), hơn nữa \(A{M^2} + A{N^2} = 32 - 12 = 20\). Vậy \(\min \left( {A{M^2} + A{N^2}} \right) = 20 \Leftrightarrow m = - 1\).

Cách 2:

Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) cắt và (C) : \(mx - m - 1 = \frac{x}{{1 - x}},x \ne 1\)

\( \Leftrightarrow m{x^2} - 2mx + m + 1 = 0\) (vì x = 1 không là nghiệm).

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì \(\left\{ \begin{array}{l} m \ne 0\\ {m^2} - m\left( {m + 1} \right) > 0 \end{array} \right. \Rightarrow m < 0\).

Theo định lý Viet ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} = 2\\ {x_1}{x_2} = \frac{{m + 1}}{m} \end{array} \right.\).

Mặt khác \(A{M^2} + A{N^2} = {\left( {{x_1} + 1} \right)^2} + {\left( {{x_2} + 1} \right)^2} + {\left( {m\left( {{x_1} - 1} \right) - 2} \right)^2} + {\left( {m\left( {{x_2} - 1} \right) - 2} \right)^2}\)

\(A{M^2} + A{N^2} = 10 - \frac{{2\left( {m + 1} \right)}}{m} + {m^2}\left[ {{{\left( {{x_1} - 1} \right)}^2} + {{\left( {{x_2} - 1} \right)}^2}} \right] - 4\left( {m\left( {{x_1} - 1} \right) + m\left( {{x_2} - 1} \right)} \right) + 8\)

\(A{M^2} + A{N^2} = 18 - \frac{{2\left( {m + 1} \right)}}{m} + {m^2}\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2} - 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 2} \right]\)

\(A{M^2} + A{N^2} = 18 - \frac{{2\left( {m + 1} \right)}}{m} + {m^2}\left[ {2 - \frac{{2\left( {m + 1} \right)}}{m}} \right] = 16 + 2\left( { - m - \frac{1}{m}} \right) \ge 16 + 4\sqrt {\left( { - m} \right).\frac{1}{{\left( { - m} \right)}}} \)

\( \Rightarrow \min \left( {A{M^2} + A{N^2}} \right) = 20 \Leftrightarrow - m = 1 \Leftrightarrow m = - 1\)

---Để xem đầy đủ đáp án của đề thi các em vui lòng xem online hoặc tải về máy---

Trên đây là trích dẫn một phần nội dung tài liệu Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán có đáp án chi tiết của tỉnh Quảng Bình. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Ngoài ra các em học sinh có thể tham khảo các tài liệu cùng chuyên mục:

• Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 12 tỉnh Quảng Trị có đáp án chi tiết

Chúc các em học tốt!