I. Phương trình trùng phương
Phương trình trùng phương là phương trình có dạng \(a{x^4} + b{x^2} + c = 0\) \(\left( {a \ne 0} \right)\).
- Bước 1: Đặt \(t = {x^2}\) \(\left( {t \ge 0} \right)\), phương trình trở thành \(a{t^2} + bt + c = 0\)
- Bước 2: Giải phương trình bậc hai theo t.
- Bước 3: Kết luận giá trị của x theo t.
Ví dụ: Giải phương trình \({x^4} + 2{x^2} - 3 = 0\)
Giải: Đặt \(t = {x^2}\) \(\left( {t \ge 0} \right)\)
Phương trình trở thành \({t^2} + 2t - 3 = 0\) (1)
\(\Delta ' = {1^2} - 1.\left( { - 3} \right) = 4 > 0\), \(\sqrt {\Delta '} = 2\)
Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt:
\({t_1} = \dfrac{{ - 1 + 2}}{1} = 1\) (nhận)
\({t_2} = \dfrac{{ - 1 - 2}}{1} = - 3\) (loại)
Với \(t = {t_1} = 1 \Rightarrow x = \pm \sqrt 1 = \pm 1\)
Vậy \(S = \left\{ { - 1;1} \right\}\)
II. Phương trình chứa ẩn ở mẫu thức
- Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình.
- Bước 2: Quy đồng mẫu thức hai vế rồi khử mẫu thức.
- Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được.
- Bước 4: Trong các giá trị tìm được của ẩn, LOẠI các giá trị không thỏa mãn điều kiện xác định, các giá trị thỏa mãn điều kiện xác định là nghiệm của phương trình đã cho.
Ví dụ: Giải phương trình \(\dfrac{{{x^2} - 3x + 6}}{{{x^2} - 9}} = \dfrac{1}{{x - 3}}\)
Giải: Điều kiện xác định: \(x \ne \pm 3\)
Quy đồng mẫu thức hai vế của phương trình, ta được:
\(\dfrac{{{x^2} - 3x + 6}}{{{x^2} - 9}} = \dfrac{{x + 3}}{{{x^2} - 9}}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 6 = x + 3\\ \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 3 = 0\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}(1) \end{array}\)
\(\Delta ' = {\left( { - 2} \right)^2} - 1.3 = 1 > 0\), \(\sqrt {\Delta '} = 1\)
Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt:
\({x_1} = \dfrac{{2 + 1}}{1} = 3\) (loại)
\({x_2} = \dfrac{{2 - 1}}{1} = 1\) (nhận)
Vậy \(S= \left\{ 1 \right\}\).
III. Phương trình tích
Áp dụng tích chất
\(A.B = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} A = 0\\ B = 0 \end{array} \right.\)
Ví dụ: Giải phương trình \(\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 2x - 3} \right) = 0\)
Giải:
\(\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 2x - 3} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x + 1 = 0\\ {x^2} + 2x - 3 = 0 \end{array} \right.\begin{array}{*{20}{c}} {}\\ {} \end{array}\begin{array}{*{20}{c}} {(1)}\\ {(2)} \end{array}\)
Giải (1): \(x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = - 1\)
Giải (2): \({x^2} + 2x - 3 = 0\)
\(\Delta ' = {1^2} - 1.\left( { - 3} \right) = 4 > 0\), \(\sqrt {\Delta '} = 2\)
Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt:
\({x_1} = 1\) \({x_2} = - 3\)
Vậy \(S = \left\{ { - 3; - 1;1} \right\}\)
IV. Bài tập tự luyện
Bài 1. Giải các phương trình sau:
a) \({x^4} - 5{x^2} + 4 = 0\)
b) \(2{x^4} - 3{x^2} - 2 = 0\)
c) \(9{x^4} - 10{x^2} + 1 = 0\)
d) \(3{x^4} + 10{x^2} + 3 = 0\)
Đáp số:
a) S = {-2; -1; 1; 2}
b) S = {-2; 2}
c) \(S = \left\{ { - 1;\dfrac{{ - 1}}{3};\dfrac{1}{3};1} \right\}\)
d) Phương trình vô nghiệm
Bài 2. Giải các phương trình sau:
a) \(\dfrac{{{x^2}}}{{x - 1}} + x = \dfrac{{2{x^2} + 5x}}{{x + 1}}\)
b) \(\dfrac{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}}{3} + 2 = x\left( {1 - x} \right)\)
c) \(\dfrac{4}{{x + 1}} = \dfrac{{ - {x^2} - x + 2}}{{{x^2} + 3x + 2}}\)
Đáp số:
a) S = {0; 2}
b) \(S = \left\{ {\dfrac{{3 - \sqrt {57} }}{8};\dfrac{{3 + \sqrt {57} }}{8}} \right\}\)
c) S = {-2; -3}
Bài 3. Giải các phương trình sau:
a) \(\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 4x + 3} \right) = 0\)
b) \(\left( {1 - 3x} \right)\left( {2x + 5} \right) = 0\)
c) \(\left( {3{x^2} - 5x + 1} \right)\left( {{x^2} - 4} \right) = 0\)
Đáp số:
a) S = {1; 3}
b) \(S = \left\{ { - \dfrac{5}{2};\dfrac{1}{3}} \right\}\)
c) \(S = \left\{ { - 2;\dfrac{{5 - \sqrt {13} }}{2};\dfrac{{5 - \sqrt {13} }}{2};2} \right\}\)
Bài 4. Giải các phương trình sau:
a) \({x^3} + 3{x^2} + 2x = 0\)
b) \({x^3} + 3{x^2} - 2x - 6 = 0\)
c) \(1,2{x^3} - {x^2} - 0,2x = 0\)
d) \(5{x^3} - {x^2} - 5x + 1 = 0\)
Đáp số:
a) S = {-2; -1; 0}
b) \(S = \left\{ { - 3; - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right\}\)
c) \(S = \left\{ { - \dfrac{1}{6};0;1} \right\}\)
d) \(S = \left\{ { - 1;\dfrac{1}{5};1} \right\}\)
Trên đây là toàn bộ nội dung Chuyên đề lý thuyết và bài tập phương trình quy về phương trình bậc hai có đáp án Toán 9. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.
Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.
Chúc các em học tốt!
